Física UBA XXI Guía I.2.5. Dinámica

2.5. Un resorte cuya constante elástica es 4,00x10⁴ N/m ya se ha descomprimido y ha impulsado un bloque de piedra de 10 kg de masa, el cual se desliza sobre una superficie libre de rozamiento, pasando por el punto p● con una rapidez de 5,00 metros por segundo. A continuación, el bloque atraviesa una superficie de madera de 1,25 metros de longitud, para llegar finalmente al punto q● con una rapidez de 4,00 metros por segundo.

 

a. Calcule cuántos centímetros se encontraba comprimido el resorte antes de impulsar a la roca.

 

Epe = Ec

 

Donde

Epe = energía potencial elástica = 1/ 2 K x²

K = constante del elástico = 4,00 x 10⁴ N/m = 40.000 N/m

x = distancia de expansión /compresión

 

Ecp = energía cinética en p = 1/ 2 m vp²

m = masa de la piedra = 10 kg

vp = velocidad en p = 5 m/s

 

Reemplazando y despejando x

x = (1/ 2 m vp² / (1/ 2 K))^1/2  = (m vp² / K)^1/2 = (10 kg (5 m/s)² / 40.000 N/m)^1/2 = 0,0791 m  = 7,91 cm ---------- compresión

 

b. Calcule la energía cinética del bloque al pasar por el punto p.

 

Ecp = 1/ 2 m vp² = 1/ 2 10 kg (5 m/s)²  = 125 J ----------- energía cinética

 

c. Calcule el coeficiente de fricción dinámico piedra-madera.

 

ΔEc = Wfroz

 

Donde

ΔEc = variación de la energía cinética = Ecq – Ecp

Ecq = energía cinética en q = 1/ 2 m vq²

vq = velocidad en q = 4 m/s

 

Ecp = energía cinética en p = 1/ 2 m vp² = 125 J

 

Wfroz = trabajo de la fuerza de rozamiento = Froz d cos 180º

Froz = fuerza de rozamiento = μ N

μ = coeficiente de rozamiento

N = reacción normal del piso = m g

g = aceleración de la gravedad = 9,8 m/s²

d = distancia recorrida = 1,25 m

cos 180º  = coseno del ángulo entre la dirección de la fuerza de rozamiento y la dirección de desplazamiento = -1

 

reemplazando

1/ 2 m vq²– 1/ 2 m vp²  = - μ m g d

 

despejando μ

μ = - (1/ 2 m vq²– 1/ 2 m vp²) / (m g d) = (vp²–vq²) / (2 g d) =  ((5 m/s)²– (4 m/s)²) / (2 * 9,8 m/s² 1,25 m) = 0,37

 

 

Física UBA XXI Guía I.2.4. Cinemática y Dinámica

2.4. En la situación esquematizada un resorte, que se ha descomprimido, impulsó una locomotora de 240 gramos de masa, que ahora se desplaza sin rozamiento sobre una mesa y recorre 1,50 metros en 0,50 segundos.

 

a. ¿A qué distancia horizontal -respecto del extremo derecho de la mesa- tocará la locomotora el piso?

 

Tramo A. locomotora sobre la mesa

 

Ecuación horaria

xA = xo + vA t 

 

donde

xA = posición en el instante t = 1,50 m

xo = posición inicial = 0

vA = velocidad

t = tiempo transcurrido = 0,5 seg

 

reemplazando y despejando vA en la ecuación de la posición

vA  = xA/ t = 1,50 m / 0,5 seg = 3 m/s

 

Tramo B. Locomotora cayendo

 

Ecuaciones horarias

xB = xo + vox t

yB = yo + voy t – 1/ 2 g t²

 

donde

xB = posición en el instante t

xo = posición inicial (en el extremo derecho de la mesa) = 0

y = altura en el instante t (el suelo) = 0

yo = altura inicial (altura de la mesa) = 0,80 m

vox = velocidad inicial según x (horizontal) = vA = 3 m/s

voy = velocidad inicial según y = 0

g = aceleración de la gravedad = 9,8 m/s²

t = tiempo transcurrido 

 

reemplazando en la ecuación según y, y despejando t

t = (2 yo / g)^1/2 = (2 * 0,8 m / 9,8 m/s²)^1/2 = 0,40 seg ----------- tiempo en llegar al piso

 

reemplazando en la ecuación según y

x = vA t = 3 m/s 0,40 seg = 1,21 m ------------- distancia a la mesa

 

 

b. Informe con qué velocidad de la locomotora llega al piso.

 

Ecuación horaria

vx = vox

vy = voy – g t

 

donde

vx = velocidad según x

vox = velocidad inicial del tramo B = vA = 3 m/s

vy = velocidad según y

voy = velocidad inicial según y = 0

t = tiempo de caída = 0,40 seg

 

reemplazando en la ecuación de la velocidad según y

vy = - g t = - 9,8 m/s² 0,40 seg = - 3,96 m/s

 

v = (vx² + vy²)^1/2 = ((3 m/s)² + (- 3,96 m/s)²)^1/2  = 4,96 m/s ------------- velocidad

 

c. Calcule el ángulo formado entre la velocidad de la locomotora y el piso cuando choca con él.

 

tan α = vy / vx

α = arco tan (vy/vx) = arco tan ( - 3,96 m/s / 3 m/s) = - 52,85º -------------- ángulo

 

d. Calcule la energía cinética de la locomotora en el extremo derecho de la mesa.

 

Ec = 1/ 2 m v²

 

Donde

Ec = energía cinética

m = masa = 240 gr = 0,24 kg

v = velocidad en el extremo derecho de la mesa = vA = 3 m/s

 

reemplazando

Ec = 1/ 2 * 0,24 kg (3 m/s)² = 1,08 J ------------ energía cinética

 

 

e. Si el resorte se expandió 5 centímetros al empujar la locomotora, calcule la constante elástica del mismo.

 

Epe = Ec

 

Donde

Epe = energía potencial elástica = 1/ 2 K x²

K = constante del elástico

x = distancia de expansión = 5 cm = 0,05 m

Ec = energía cinética = 1,84 J

 

Reemplazando y despejando K

K = Ec / (1/ 2 x²) =  1,84 J / (1/ 2 * (0,05 m)²) = 864 N/m ------------- constante de resorte

 

Física UBA XXI Guía I.2.3. Cinemática

2.3. Tal como muestra la figura, un jugador de básquet está practicando tiros al aro, y lanza la pelota desde 2 metros de altura en una dirección que forma un ángulo de 40° respecto de la horizontal, estando parado a una distancia de 10 m del sitio por encima del cual se encuentra el aro.

La pelota tarda en llegar al aro 2,20 segundos, y el aro se encuentra a una altura de 3,05 metros.

a. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota respecto del piso?

 

Ecuaciones horarias

x = xo + vox t

y = yo + voy t – 1/ 2 g t²

vx = vox

vy = voy – g t

 

donde

x = posición en el instante t

xo = posición inicial = 0

y = altura en el instante t

yo = altura inicial = 2 m

vox = velocidad inicial según x = vo cos 40º

voy = velocidad inicial según y = vo sen 40º

vo = velocidad inicial

g = aceleración de la gravedad = 9,8 m/s²

t = tiempo transcurrido 

 

reemplazando en la ecuación del desplazamiento para la posición y despejando t

t = x / (vo cos 40º)

 

reemplazando en la ecuación de la altura

y = yo + vo sen 40º x / (vo cos 40º) - 1/ 2 g (x / (vo cos 40º))²

 

despejando vo

vo = (g x² / (2 (cos 40º)² (yo + x  tan 40º - y)))^1/2

 

reemplazando en la posición del aro (x = 10 m, y = 3,05 m)

vo = (9,8 m/s² (10 m)²  / (2 (cos 40º)² (2 m + 10 m tan 40º - 3,5 m)))^1/2 = 10,67 m/s

 

 

reemplazando en la ecuación  de velocidad según y para la altura máxima (v = 0)

0 = vo sen 40º - g t

 

Despejando t

t = vo sen 40º / g = 10,67 m/s  sen 40º / 9,8 m/s² =  0,70 seg

 

reemplazando en la ecuación de la altura para t = 0,70 seg

y = yo + vo sen 40º t – 1/ 2 g t²  = 2 m + 10,67 m/s sen 40º 0,70 seg – 1/ 2 * 9,8 m/s² (0,70 seg)² = 4,40 m --- altura máxima

  

b. ¿Cuál es la velocidad de lanzamiento de la pelota?

 

reemplazando en la posición del aro (x = 10 m, y = 3,05 m)

vo = (9,8 m/s² (10 m)²  / (2 (cos 40º)² (2 m + 10 m tan 40º - 3,5 m)))^1/2 = 10,67 m/s  ----------- velocidad inicial

 

Física UBA XXI Guía I.2.2. Dinámica

2.2. Una pesa de 5,1 kg reposa sobre una superficie rugosa cuyos coeficientes de rozamiento estático y dinámico tienen un valor de 0,40 y 0,20 respectivamente. Si luego sobre ella se mantuviera aplicada una fuerza del modo representado por la figura:

a. ¿Cuál es el mínimo valor de fuerza (en Newton) que se deberá aplicar para que el cuerpo comience a moverse?

Según x ----------- Σ Fx = Fx – Froz = 0 (Froz estático)

Según y ----------- Σ Fy = N – Fy – P = 0

 

Donde

Fx = componente según x de la fuerza F = F cos 41,4º

Fy = componente según y de la fuerza F = F sen 41,4º

F = fuerza aplicada

Froz = máxima fuerza de rozamiento estático = μe N

μe = coeficiente de rozamiento estático = 0,40

N = fuerza de reacción del plano

P = peso de pesa = m g

m = masa de la pesa = 5,1 kg

g = aceleración de la gravedad = 9,8 m/s²

 

despejando N de la ecuación según y

N = P + Fy = m g + F sen 41,4º

 

Reemplazando en la ecuación según x

F cos 41,4º - μe (m g + F sen 41,4º ) = 0

 

Despejando F

F = μe m g / ( cos 41,4º - μe sen 41,4º) = 0,40 * 5,1 kg 9,8 m/s²  / ( cos 41,4º - 0,4 sen 41,4º) = 41,2 N

 

b. Si se mantuviese aplicada una fuerza de 50 Newton, ¿con qué aceleración (en m/s²) se movería la pesa?

 

Según x ----------- Σ Fx = Fx – Froz = m a

Según y ----------- Σ Fy = N – Fy – P = 0

 

Donde

Fx = componente según x de la fuerza F = F cos 41,4º

Fy = componente según y de la fuerza F = F sen 41,4º

F = fuerza aplicada = 50 N

Froz = fuerza de rozamiento dinamia = μd N

μe = coeficiente de rozamiento dinámico = 0,20

N = fuerza de reacción del plano

P = peso de pesa = m g

m = masa de la pesa = 5,1 kg

g = aceleración de la gravedad = 9,8 m/s²

 

despejando N de la ecuación según y

N = P + Fy = m g + F sen 41,4º

 

Reemplazando en la ecuación según x

F cos 41,4º - μe (m g + F sen 41,4º ) = m a

 

Despejando a

a = (F cos 41,4º - μe (m g + F sen 41,4º )) / m = (50 N cos 41,4º - 0,20 (5,1 kg 9,8 m/s² + 50 N sen 41,4º )) / 5,1 kg =

a = 4,1 m/s² --------------- aceleración

 

Física UBA XXI Guía I.2.1. Dinámica

2.1. En un dispositivo -semejante al representado- destinado a probar dispositivos de frenado se hace rodar cuesta abajo (partiendo del reposo y con rozamiento despreciable) un vagón de dos toneladas. Luego del descenso el vagón atraviesa una zona de frenado en donde aplica los frenos a lo largo de una trayectoria de 40,0 metros, para luego impactar contra un robusto resorte que “absorberá” el impacto.

a. ¿Con qué velocidad (en km/h) pasará el vagón por el punto ● p?

 

ΔEm = EmP – Emo = 0 (no hay trabajo de fuerzas no conservativas)

 

Donde

ΔEm = variación de  la energía mecánica

 

EmP = energía mecánica en P  = EcP + EpP

EcP = energía cinética en P = 1/ 2 m vP²

m = masa del vagón = 2 Ton = 2.000  kg

vP = velocidad en P

EpP = energía potencial en P  = m g hP

g = aceleración de la gravedad = 9,8 m/s²

hP = altura en P = 0

 

EmP  = 1/ 2 m vP²

 

Emo = energía mecánica inicial = Eco + Epo

Eco = energía cinética inicial = 1/ 2 m vo²

vo = velocidad inicial = 0 (parte del reposo)

Epo = energía potencial inicial  = m g ho

ho = altura inicial = 10 m

 

Emo =  m g ho

 

reemplazando y despejando vP

vP =  ( m g ho  / (1/ 2) m )^1/2 = (2 g ho)^1/2  = (2* 9,8 m/s²  10 m)^1/2  = 14 m/s = 50,4 km/h

 

Si luego de atravesar la zona de frenado la velocidad remanente es de 5 km/h

b. ¿Cuánto es el trabajo realizado por la fuerza de frenado?

 

ΔEm = EmF – EmP = WF

 

Donde

ΔEm = variación de  la energía mecánica

 

EmF = energía mecánica en F (después del frenado)  = EcF + EpF

EcF = energía cinética en F = 1/ 2 m vF²

vF = velocidad en F = 5 km/h = 1,39 m/s

EpF = energía potencial en F  = m g hF

hF = altura en F = 0

 

EmF  = 1/ 2 m vF²

 

EmP  = 1/ 2 m vP²   (ver ítem a)

 

WF = trabajo de la fuerza de frenado

 

reemplazando

WF =  1/ 2 m (vF² – vP²)  = 1/ 2 * 2.000 kg ((1,39 m/s)² – (14 m/s)²)  = - 194.071 J ------------ trabajo

 

c. ¿cuál es el valor de la fuerza de frenado?

 

WF = F d cos 180º

 

donde

F = fuerza de frenado

d = distancia recorrida = 40 m

cos 180º = coseno del ángulo formado entre la dirección de la fuerza y la dirección de desplazamiento = -1

 

reemplazando y despejando F

F = - WF / d = - (- 194.071 J) / 40 m = 4.851,77 N ----------- fuerza de frenado

 

d. ¿Cuánto vale la “desaceleración” del vagón durante el frenado?

 

F = m a

 

Donde

F = fuerza de frenado

m = masa del vagón

a = aceleración

 

reemplazando y despejando a

a = F / m = 4.851,77 N / 2.000 kg = 2,43 m/s²  --------------- aceleración

 

e. ¿Cuánto tarda en atravesar la zona de frenado?

 

Ecuación horaria de la velocidad

v = vo + a t

 

donde

v = velocidad final = 1,39  m/s

vo = velocidad inicial = 14 m/s

a = aceleración = - 2,43 m/s²

t = tiempo transcurrido

 

reemplazando y despejando t

t = (v – vo) / a = (1,39 m/s – 14 m/s) / ( - 2,43 m/s2) = 5,20 seg -------------- tiempo

 

f. ¿Cuál es el valor de la potencia de frenado en watts? ¿Y en Hp?

 

Pot = W / t

 

Donde

Pot = potencia

W = trabajo de la fuerza = 194.071 J

t = tiempo = 5,20 seg

 

reemplazando

Pot = 194.071 J / 5,20 seg = 37.332 Watt = 37.332 W ( 1 Hp / 746 W) = 50,04 Hp ---------- Potencia

 

Si al llegar al resorte el vagón se detiene cuando el resorte se ha comprimido 30 cm,

g. ¿Cuál es el valor de la constante elástica del resorte?

 

 

ΔEm = EmR – EmF  =  0 (no hay trabajo de fuerzas no conservativas)

 

Donde

ΔEm = variación de  la energía mecánica

 

EmR = energía mecánica en R (resorte comprimido)  = EcR + EpR + Epe

EcR = energía cinética en R = 1/ 2 m vR²

vR = velocidad en R = 0

EpR = energía potencial en R  = m g hR

hR = altura en R = 0

Epe = energía potencial elástica = 1/ 2 K x²

K = constante del resorte

x = compresión del resorte = 30 cm = 0,3 m

 

EmR  = 1/ 2 K x²

 

EmF  = 1/ 2 m vF²   (ver ítem b)

 

Reemplazando y despejando K

K = 1/ 2 m vF²  / (1/ 2 x²) =  m vF²  / x²  = 2.000 kg  (1,39 m/s)²  / (0,9 m)² = 42.867 N/ m ----------- constante