Cinemática - 2 Cinemática en dos dimensión – 14 Movimiento Circular

Movimiento circular 14. Si el período de un movimiento circular uniforme (MCU) se triplica, manteniendo el radio constante, ¿cómo cambian su:

a) velocidad angular?

Velocidad angular = ω  = ángulo recorrido / tiempo empleado = 2 π / período

ω = 2 π / T

ω´ = 2 π / T´

reemplazando T´ = 3T

ω´ = 2 π / 3T = ω / 3  < ---------- velocidad angular disminuye a la 3ra parte

b) frecuencia?

Frecuencia = f = 1 / periodo

f = 1 / T

f´ = 1 / T´

reemplazando T´ = 3T

f´ = 1 / T´ = 1 / (3T) = f / 3  < ---------- frecuencia disminuye a la 3ra parte

c) aceleración normal o centrípeta?

Aceleración centrípeta = ac = velocidad tangencial * velocidad angular = v * ω

Velocidad tangencial = v = velocidad angular * radio = ω *R

reemplazando v en ac

ac = v * ω = (ω)² * R

ac´ = (ω´)² * R

reemplazando ω´ = ω / 3

ac´ = (ω/3)² * R = ω² / 9 * R = ac / 9 < ----------- aceleración disminuye a la 9na parte

Cinemática - 2 Cinemática en dos dimensión – 13 Movimiento Circular

Movimiento circular 13. Un piloto de avión bien entrenado soporta aceleraciones de hasta 8 veces la de la gravedad, durante tiempos breves, sin perder el conocimiento. Si un avión vuela a 2.300 km/h, ¿cuál será el radio de giro mínimo que puede soportar?

Velocidad tangencial = v = 2.300 km/h = 2.300 km/h  * ( 1.000 m/km) * ( 1 h/ 3.600 s) = 628,9 m/s

Aceleración centrípeta = ac = velocidad tangencial * velocidad angular = v * ω

Velocidad tangencial = v = velocidad angular * radio = ω *R

reemplazando ω en ac

ac = v * ω = v * (v/R) = v² / R = 8 * g

reemplazando y despejando R

R = v² / (8 * g) =  (628,9 m/s)² / (8* 10 m/s² ) = 5.102 m  < ---------- radio

Cinemática - 1 Cinemática en una dimensión – Aceleración variable 25 versión 2018

Aceleración variable 25 versión 2018.  La velocidad de una partícula que realiza un movimiento rectilíneo , para t ≥ 0 s, viene dado por la ecuación : v(t) =  3 t² – 20 t – 20, donde v se expresa en metros por segundo y t en segundos. Sabiendo que para t = 0 s el móvil se encuentra en x(t=0) = -16 m.

a) Calcular la velocidad media y aceleración media de la partícula en el intervalo comprendido entre t = 0s y t = 12s.

v(t) = x'(t) = 3 t² – 20 t  - 20

integrando

x(t) = ∫ (3 t² – 20 t  - 20) dt = 3 t³ / 3 – 20 t²/2  - 20 t + C

reemplazando x(t=0) = -16 m

x(t=0) =  C = -16 m

reemplazando en x(t)

x(t) =  t³ – 10 t² - 20 t – 16  < ------------ posición

velocidad media

vm = distancia recorrida / tiempo empleado = (x(12) – x(0)) / ( 12 – 0)

reemplazando las t en x(t)

x(0) = 0³ – 10 * 0² – 20 * 0 – 16 = -16

x(12) = 12³ – 10 * 12² – 20 * 12 – 16 = 32

reemplazando la vm

vm = ( 32 – (-16)) / ( 12 – 0 ) =  4 m/s  < ---------- velocidad media

aceleración media

am = variación de la velocidad / tiempo empleado

reemplazando las t en v(t)

v(0) = 3 0² – 20 0  - 20 = -20

v(12) = 3 12² – 20 12  - 20 = 172

reemplazando la vm

am = ( 172 – (-20)) / ( 12 – 0 ) =  16 m/s²  < ---------- velocidad media

b) Trazar las gráficas de x(t), v(t) y a(t)

x(t) = t³ – 10 t² – 20 t – 16  < ------- posición

v(t) = 3 t² – 20 t  - 20 < -------- velocidad

a(t) = v´(t) = 6 t – 20 < -------- aceleración

Gráfico x vs t

Gráfico v vs t

Gráfico a vs t

Establecer cuales son los intervalos en los que le movimiento es acelerado y cuales en los que es desacelerado. Determina, si corresponde, cual/les es/son los instantes en el/los cual/cuales la rapidez es máxima

Analizando las ecuaciones de v(t) y a(t) (Teorema de Bolzano)

v(t) es una cuadrática con coeficiente principal es positiva ( 3 > 0) y la ordenada al origen es negativa (-20>0), se anula en t1 = -0,88 (descartada) y t2 = 7,55.

a(t) es lineal y tiene un cero en t = 3,33

T	[0 - 3,33)	3,33	(3,33 - 7,55 )	7,55	(7,55 – oo)
a(t)	a(t)<0	0	a(t)>0		a(t)>0
v(t)	v(t)<0	Mínima	v(t)<0	0	v(t)>0
(*)	acelerado		desacelerado		acelerado

 (*)

Signo de v(t) = signo de a(t) ---- > movimiento acelerado

Signo de v(t) ≠ signo de a(t) ---- > movimiento desacelerado

Cinemática - 2 Cinemática en dos dimensión – 12 Movimiento Circular

Movimiento circular 12. Una varilla metálica de 30 cm de longitud gira respecto a uno de sus extremos a 60 rpm. Calcular:

a) El período y el número de vueltas en 30 s.

período = tiempo de completar 1 vuelta = T

rpm = revoluciones por minutos

60 rpm = 60 vueltas / min = 60 vueltas / 60 segundos = 1 vuelta/seg

T = 1 seg < ------- periodo

Número de vueltas = tiempo / período = n

n = 30 s / 1s = 30 < ------- número de vuelta en 30 s

b) El módulo de la velocidad de un punto de la varilla situado a 10, 20 y 30 cm del extremo fijo.

Velocidad tangencial = distancia recorrida / tiempo empleado = v

Distancia recorrida en 1 revolución = 2π * radio

v  = 60 rev / 60 seg * 2π * radio = 6,28 rad/seg * r = 2π /seg * radio

v1 = 6,28 rad/seg * 0,1 m = 0,63 m/s = 0,2 π m/s < -----  velocidad tangencial a los 10 cm

v2 = 6,28 rad/seg * 0,2 m = 1,26 m/s = 0,4 π m/s < -----  velocidad tangencial a los 20 cm

v3 = 6,28 rad/seg * 0,3 m = 1,88 m/s = 0,6 π m/s < -----  velocidad tangencial a los 30 cm

Cinemática - 2 Cinemática en dos dimensión – 11 Movimiento Circular

Movimiento circular 11. Un CD, de radio de 6 cm, gira a 2.500 rpm. Calcular:

a) El módulo de la velocidad angular en rad/s.

Velocidad angular = ángulo recorrido / tiempo empleado = ω

rpm = revoluciones por minuto

ángulo recorrido en 1 revolución = 2π

ω = 2.500 revoluciones / 60 seg * 2π = 83,33 π rad/seg = 261,8 rad/seg < -------- velocidad angular

b) El módulo de la velocidad tangencial de un punto sobre su borde.

Velocidad tangencial = distancia recorrida / tiempo empleado = v

Distancia recorrida en 1 revolución = 2π * radio

v  = 2.500 rev / 60 seg * 2π * radio = 261,8 rad/seg * 0,06 m = 15,71 m/s < -----  velocidad tangencial

c) La frecuencia en Hz.

Frecuencia = cantidad de vuelta en la unidad de tiempo = f

f = 2.500 rpm = 2.500 / 60 s = 41,66 seg^-1 = 41,66 Hertz < -------- frecuencia

Cinemática - 2 Cinemática en dos dimensión – 10 Tiro oblicuo

Tiro oblicuo 10. Las coordenadas de un ave que vuela en el plano xy son:

x = 2,0 m – 3,6 m/s. t

y = 1,8 m/s². t²

a) Dibujar la trayectoria del ave.

Despejando t de la ecuación de x

t = (x – 2,0 m)/ (-3,6 m/s)

Reemplazando en la ecuación de y

y = 1,8 m/s² * ((x – 2,0 m)/ (-3,6 m/s))²

y = 0,1389 * (x – 2,0 m)²

b) Calcular los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo.

vx(t) = x´(t) = – 3,6 m/s

vy(t) = y´(t) = 2 * 1,8 m/s²* t = 3,6 m/s²* t

v(t) = – 3,6 m/s î  +3,6 m/s²* t ĵ < ----------- vector velocidad

ax(t) = x”(t) = 0

ay(t) = y” (t) = 3,6 m/s²

a(t) = 3,6 m/s² ĵ < ----------- vector aceleración

c) Dibujar los vectores velocidad y aceleración para t = 3 s. En ese instante, el ave ¿está acelerando, frenando o su rapidez no está cambiando?

Para t = 3s

v = – 3,6 m/s î  +3,6 m/s²* (3s)  ĵ = – 3,6 m/s î  +10,8 m/s²* ĵ < ------ vector velocidad t = 3s

a = 3,6 m/s² ĵ < ----------- vector aceleración t = 3s

Según x mantiene su velocidad constante (a=0)

Según y esta acelerando (signo de vy = signo de ay)

d) Calcule los vectores desplazamiento, velocidad media y aceleración media en el intervalo comprendido entre los instantes t = 0 s y t = 3 s.

x = 2,0 m – 3,6 m/s * t

y = 1,8 m/s ² * t²

o bien

r = (2,0 m – 3,6 m/s * t) î  +1,8 m/s² * t² ĵ

v = – 3,6 m/s î  +3,6 m/s²* t ĵ

a = 3,6 m/s² * ĵ

para t = 0s

r = 2,0 m î  < ------------  vector posición t= 0

v = – 3,6 m/s î < ------- vector velocidad t = 0

para  t= 3 s

r = (2,0 m – 3,6 m/s * 3 s) î  +1,8 m/s² * (3s)² ĵ = – 8,8 m î  + 16,2 m ĵ < -------vector  posición t=3s

v = – 3,6 m/s î  +3,6 m/s²* 3s ĵ = – 3,6 m/s î  +10,8 m/s* ĵ < -------vector  velocidad t=3s

Δr = r(3s) – r(0s) = – 10,8 m î  +16,2 m* ĵ < ---------- vector desplazamiento

vm = Δr /t = – 3,6 m/s î  +5,4 m/s* ĵ < ------ vector velocidad media

am = Δv /t

Δv  = v(3s) – v(0s) = 10,8 m/s* ĵ

am = Δv /t = 10,8 m/s* ĵ / 3 = 3,6 m/s² < ------ vector aceleración  media

Cinemática - 2 Cinemática en dos dimensión – 9 Tiro oblicuo

Tiro oblicuo 9. Una botella que se encuentra en la posición x = 20 m e y = 30 m se deja caer desde el reposo. Al mismo tiempo, se lanza desde el origen de coordenadas una piedra con una velocidad de módulo 15 m/s.

Botella

Ecuaciones horarias

x = x_o + v_ox ( t – t_o )

y = y_o + v_oy ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

v_x = v_ox

v_y = v_oy - g ( t – t_o )

donde

t_o = 0 s

x_o = 20 m

y_o = 30 m

v_ox = 0 (parte del reposo)

v_{oy =} 0 (parte del reposo)

|g | = 10 m/s²

Reemplazando

x_b = 20 m  < -----  ecuación de la posición

y_b = 30 m -  ½ * 10 m/s² * t² < ------- ecuación de la altura

v_xb = 0 < ----------- velocidad según x

v_yb = - 10 m/s² * t < ------- velocidad según y

Piedra

Ecuaciones horarias del tiro oblicuo

x = x_o + v_ox ( t – t_o )

y = y_o + v_oy ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

v_x = v_ox

v_y = v_oy - g ( t – t_o )

a_y = - g

donde

t_o = 0 s

x_o = 0 m

y_o = 0 m

v_ox = v_o * cos α = 15 m/s * cos α

v_{oy =}  v_o * sen α = 15 m/s * sen α

|g | = 10 m/s²

Reemplazando

x_p = 15 m/s * cos α * t    < -----  ecuación de la posición

y_p =  15 m/s * sen α *t  – ½ * 10 m/s² * t² < ------- ecuación de la altura

v_xp = 15 m/s * cos α < ----------- velocidad según x

v_yp = 15 m/s * sen α – 10 m/s² * t < ------- velocidad según y

a) Determinar el ángulo con el que debe lanzarse la piedra para que rompa la botella.

Para que se encuentren (x;y)_b = (x;y)_p para t = te

Igualando las ecuaciones

20 m = 15 m/s * cos α * te

30 m -  ½ * 10 m/s² * te² =  15 m/s * sen α *te  – ½ * 10 m/s² * te²

Despejando te de la ecuación de la posición

te = 20 m / (15 m/s * cos α )

Reemplazando en la ecuación de la altura

30 m  =  15 m/s * sen α *(20 m / (15 m/s * cos α )) 

Reordenando

30 m  =  20 m  tan α

α = arco tan (30m/20m) = 56,3º < ---------- ángulo de lanzamiento de la piedra

b) Si el ángulo es el hallado en a), calcular la altura a la que se produce el impacto.

Reemplazando en te

te = 20 m / (15 m/s * cos 56,3º ) = 2,4 s

altura en el instante te = 2,4 s

y_b = 30 m -  ½ * 10 m/s² * (2,4 s)² = 1,11 m < -------- altura del encuentro

y_p =  15 m/s * sen 56,3º * (2,4 s)  – ½ * 10 m/s² * (2,4 s)² = 1,11 m < -------- altura del encuentro

c) Dibujar en un mismo gráfico la trayectoria de la piedra y la de la botella.

Gráfico de trayectoria