Cinemática - 2 Cinemática en dos dimensión – 3 Tiro oblicuo

Tiro oblicuo 3. Un arquero dispara desde el piso una flecha cuya velocidad de salida es de 50 m/s y forma un ángulo de 37º con la horizontal. Considerando despreciable el rozamiento con el aire y utilizando un sistema de coordenadas con el î hacia el lado del lanzamiento y el ĵ hacia arriba calcular:

Ecuaciones horarias

x = x_o + v_x (t – t_o)

y = y_o + v_oy (t – t_o) - ½ g (t – t_o)²

v_x = v_ox

v_y = v_oy - g (t – t_o)

donde

t_o = tiempo inicial = 0

x_o = posición inicial = 0

y_o = altura inicial = 0

v_ox= velocidad inicial según x = v_{o *} cos 37º = 50 m/s * cos 37º = 40 m/s

v_oy = velocidad inicial según y = v_{o *} sen 37º = 50 m/s * sen 37º = 30 m/s

g = 10 m/s²

reemplazando

x = 40 m/s * t   < ------------ ecuación de la posición

y =  30 m/s * t - ½ 10 m/s² * t² < ----------- ecuación de la altura

v_x = 40 m/s < --------- ecuación de la velocidad según x

v_y = 30 m/s  - 10 m/s² * t < ------- ecuación de la velocidad según y

a) El tiempo que la flecha está en el aire.

Tiempo que la flecha está en el aire ---- > y = 0

Reemplazando en la ecuación de la altura (y)

0 =  30 m/s * t - ½ 10 m/s² * t²

La ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = 0 (cuando parte la flecha)

t2 = 30 m/s / (½ 10 m/s²) = 6 s < ------- tiempo que la flecha  está en el aire

b) La altura máxima.

Altura máxima ----- > v_y = 0

Reemplazando en la ecuación de la velocidad según y (v_y)

0 =  30 m/s  - 10 m/s² * t_M

Despejando t_M

t_M =  30 m/s / 10 m/s²  = 3 s

Reemplazando en la ecuación de la altura (y)

y_M =  30 m/s * 3s - ½ 10 m/s² * ( 3s)² = 45 m < -------- altura máxima

c) El alcance.

Alcance --- > posición x para t = tiempo de vuelo = 6s

Reemplazando en la ecuación de la posición  (x)

x = 40 m/s * 6s = 240 m < ----- alcance

d) El vector velocidad a los 5 segundos.

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s  - 10 m/s² * 5s = - 20 m/s

vector velocidad = 40 m/s î – 20 m/s ĵ   < ---------- velocidad a 5 s

e) El vector velocidad final.

v_x = 40 m/s

v_y = 30 m/s  - 10 m/s² * 6s = - 30 m/s

vector velocidad = 40 m/s î – 30 m/s ĵ   < ---------- velocidad a 6 s (final)

f) Los vectores desplazamiento, velocidad media y aceleración media en los intervalos comprendidos entre los instantes 0 s y t_hmáx; y entre 0 s y t_alcance.

f.1. entre los instantes 0 s y t_hmáx

t_hmáx = 3s

vector desplazamiento = Δr = r(3s) – r(0)

r (0) = 0 m î + 0 m ĵ

r(3s) = 40 m/s * 3s  î + (30 m/s * 3s - ½ 10 m/s² * (3s )² ) ĵ = 120 m î + 45 m ĵ

reemplazando

Δr = 120 m î + 45 m ĵ  < ----------- desplazamiento (0 – 3s)

velocidad media = Δr/t

vm = (120 m î + 45 m ĵ )/ 3s = 40 m/s î + 15 m/s ĵ  < --------- velocidad media (0 – 3s)

aceleración media = Δv/t

v (0) = 40 m/s î + 30 m/s ĵ

v(3s) = 40 m/s î + (30 m/s - 10 m/s² * 3s) ĵ = 40 m/s î + 0 m/s ĵ

reemplazando

Δv = (40 m/s î + 0 m/s ĵ) – (40 m/s î + 30 m/s ĵ) = 0 m/s î - 30 m/s ĵ

am = (0 m/s î - 30 m/s ĵ) / 3s = - 10 m/s ĵ  < --------- aceleración media (0 – 3s)

f.2. entre los instantes 0 s y t_alcance

t_alcance = 6s

vector desplazamiento = Δr = r(6s) – r(0)

r (0) = 0 m î + 0 m ĵ

r(6s) = 40 m/s * 6s  î + (30 m/s * 6s - ½ 10 m/s² * (6s )² ) ĵ = 240 m î

reemplazando

Δr = 240 m î  < ----------- desplazamiento (0 – 6s)

velocidad media = Δr/t

vm = 240 m î / 6s = 40 m/s î  < --------- velocidad media (0 – 6s)

aceleración media = Δv/t

v (0) = 40 m/s î + 30 m/s ĵ

v(6s) = 40 m/s î + (30 m/s - 10 m/s² * 6s) ĵ = 40 m/s î – 30  m/s ĵ

reemplazando

Δv = (40 m/s î - 30 m/s ĵ) – (40 m/s î + 30 m/s ĵ) = - 60 m/s ĵ

am =  - 60 m/s ĵ / 6s = - 10 m/s ĵ  < --------- aceleración media (0 – 6s)