Cinemática - 1 Cinemática en una dimensión – MRUV 9

MRUV 9. Un automovilista se da cuenta, al sobrepasar a un motociclista, de que se trata de un amigo e instantáneamente (se desprecia el tiempo de reacción) aplica los frenos. Toda la información está contenida en el gráfico v vs. t, en el que se ha prendido el cronómetro en el instante en el que el auto sobrepasa a la moto.

a. Cuatro segundos después de que el coche pasa a la moto, ¿quién va adelante?, ¿o van juntos? Justifique la respuesta.

Auto

Ecuaciones horarias

x_a =  x_a0 + v_a0 * t + ½ a * t²

v_a = v_a0 + a* t

donde

x_a = posición del auto en el instante t

t_a0 = 0 s

x_a0 = 0 m

v_a0 = 90 km/h = 90 * 1000 /3600 m/s = 25 m/s

a_a = (v_a1 – v_a0) / (t₁ - t₀) = ( 15 m/s – 25 m/s)/( 4s -0s) = -2,5 m/s²

v_a = velocidad del auto en el instante t 

reemplazando por los datos

x_a = 25 m/s * t + ½ *(-2,5 m/s²) * t²   < ------- ecuación horaria del auto

v_a = 25 m/s + (-2,5 m/s²) * t < ------ ecuación de velocidad del auto

Moto

Ecuación horaria

x_m =  x_m0+ v_m0 * t

donde

x_m = posición de la moto en el instante t

t_m0 = 0 s

x_m0 = 0 m

v_m0 = 54 km/h = 54 * 1000 /3600 m/s = 15 m/s

reemplazando por los datos

x_m = 15 m/s * t < --------- ecuación horaria de la moto

En t₁ = 4s la posición de ambos móviles

x_m1 = 15 m/s * 4s =  60 m < --------- posición de la moto para t=4s

x_a1 = 25 m/s * 4s + ½ *(-2,5 m/s²) * (4s)²  = 80 m < ------ posición del auto para t = 4s

El auto esta adelante

b. ¿Cuándo y dónde vuelven a encontrarse?

Encuentro = en el mismo sitio (x_m = x_a)  y en el mismo momento (t_e)

igualando las ecuaciones

15 m/s * t_e = 25 m/s * t_e + ½ * (-2,5 m/s²) * t_e²

Reordenando los términos

(25 m/s – 15 m/s) * t_e + ½ * (-2,5 m/s²) * t_e²  = 0

Como toda cuadrática tiene dos soluciones

t_e = 0s (cuando el auto adelanto la moto)

t_e = 8s (segundo encuentro)

reemplazando en la ecuación horaria de la moto

x_m = 15 m/s * 8s =  120 m < --------- posición en el momento del encuentro (t_e = 8s)

c. ¿Cuál es la velocidad del auto en ese momento?

Reemplazando t_e = 8s  en la ecuación de velocidad

v_a = 25 m/s + (-2,5 m/s²) * 8s = 5 m/s  < ------ velocidad del auto

d. Grafique x vs. t para ambos móviles.

e. ¿Podría hallar las soluciones a partir del gráfico v vs. t?

Distancia recorrida = superficie bajo la curva velocidad vs tiempo

Auto = ½  base ( 4s) * altura ( 25 -15 m/s) + base (4s) * altura ( 15 m/s) = 80 m

Moto = base (4s) * altura ( 15 m/s) = 60 m