Cinemática - 1 Cinemática en una dimensión – Aceleración variable 26

Aceleración variable 26. La posición de una partícula está dada por la ecuación:

x(t) = t³ – 6 t² – 20 t – 50,

donde x se expresa en metros y t en segundos.

a) Calcular el instante en el cual su velocidad se anula.

derivando

v(t) = dx(t)/dt = 3 t² – 12 t  - 20

igualando a cero y despejando t, utilizando Bhaskara, tiene dos soluciones

t = -1,27 (descartado)

t = 5,27 s < --------- velocidad = 0

b)

b.1. Calcular la aceleración instantánea en dicho instante.

derivando

a(t) = dv(t)/dt = d²x(t)/dt² = 6 t – 12

reemplazando t = 5,27

a(5,27) = 6 * 5,27 – 12 = 19,60 m/s² <  ------ aceleración instantánea en t = 5,27 s

b.2. Calcular la aceleración media en el intervalo comprendido entre t = 0 s y t = t(v = 0).

am = ( v2 – v1) / (t2 – t1)     aceleración media

con

t1 = 0 --- > v1 = v(0) = -20

t2 = 5,27 s --- > v2 = 0

reemplazando

am = ( 0 – (-20)) / (5,27 – 0) = 3,80 m/s² <  ------ aceleración media entre t1 = 0 y  t2 = 5,27 s

c) Trazar las gráficas x(t); v(t); y a(t).

x(t) = t³ – 6 t² – 20 t – 50 < --------- posición

v(t) = x'(t) = 3 t² – 12 t  - 20 < ---------- velocidad

a(t) = x"(t) = 6 t – 12 < --------- aceleración

Gráfico x vs t

Gráfico v vs t

Gráfico a vs t

Establecer cuáles son los intervalos en los que le movimiento es acelerado y cuales en los que es desacelerado. Determina, si corresponde, cual/les es/son los instantes en el/los cual/cuales la rapidez es máxima

Analizando las ecuaciones de v(t) y a(t) (usando Bolzano u otro método)

v(t) es una cuadrática con coeficiente principal es positiva ( 3 > 0) y la ordenada al origen es positiva (-20 < 0) se anula en t = - 1,27 ( descartada) y t = 5,27

a(t) es lineal y tiene un cero en t = 12/6 = 2

t	[0 – 2)	2	(2 - 5,27)	5,27	(5,27 – oo)
a(t)	a(t)<0	0	a(t)>0		a(t)>0
v(t)	v(t)<0	Mínima	v(t)<0	0	v(t)>0
(*)	acelerado		desacelerado		acelerado

(*)

Signo de v(t) = signo de a(t) ---- > movimiento acelerado

Signo de v(t) ≠ signo de a(t) ---- > movimiento desacelerado