Cinemática - 1 Cinemática en una dimensión – Aceleración variable 29

Aceleración variable 29. La aceleración de una motocicleta que viaja en línea recta es

a = A t – B t²,

con A = 1,2 m/s³  y B = 0,120 m/s⁴.

La moto está en el origen de coordenadas en t = 0 s, en reposo.

a) Obtener la posición y la velocidad en función del tiempo.

a(t) = dv(t)/dt = A t – B t²

integrando

v(t) = ∫ A t – B t² dt   = A/2 t²– B/3 t³  + C1

reemplazando para t = 0 está en reposo v = 0

0 = A/2 0²– B/3 0³  + C1 ---- > C1 = 0

Reemplazando los valores de A y B

v(t) =  1,2 m/s³/2 t²– 0,120 m/s⁴/3 t³  = 0,6 m/s³ t²– 0,04 m/s⁴ t³ < ---------- velocidad

v(t) = dx(t)/dt = A/2 t²– B/3 t³

integrando

x(t) = ∫ A/2 t²– B/3 t³   dt = A/2/3 t³– B/3/4 t⁴ + C2

para t = 0 está en el origen  x = 0

reemplazando

0 = A/6 0³– B/12 0⁴  + C2 --- > C2 = 0

Reemplazando los valores de A y B

x(t) = 1,2 m/s³/6 t³– 0,120 m/s⁴/12 t⁴  = 0,2 m/s³ t³– 0,01 m/s⁴ t⁴ < ---------- posición

b) Graficar la posición, la velocidad y la aceleración en función del tiempo.

Gráfico x vs t

Gráfico v vs t

Gráfico a vs t

c) Calcular la velocidad máxima que alcanza.

Analizando las ecuaciones de v(t) y a(t)

a(t) es una cuadrática con ceros en t1 = 0 y t2 = A/B = 1,2 m/s³ / 0,120 m/s⁴ = 10 s

v(t) es una cubica con ceros es t1 = t2= 0 y t3 = 0,6 m/s³ / 0,04 m/s⁴  = 15s

t	[0 – 10)	10	(10  - 15)	15	(15 – oo)
a(t)	a(t)>0	0	a(t)<0		a(t)<0
v(t)	v(t)>0	máximo	v(t)>0	0	v(t)<0
	acelerando		desacelerando		acelerando

La velocidad máxima corresponde a t =  10 s

reemplazando t = 10 s

v(t) =  0,6 m/s³ (10s)²– 0,04 m/s⁴ (10s)³ =  20 m/s  <---------- velocidad máxima