Leyes de conservacion 1 Trabajo y Energia 3

1.3. Un balde de 15 kg es levantado 4 m, aplicándole una fuerza vertical F cuyo módulo constante es 18 kgf. Determinar:

a. El trabajo que realiza la fuerza F.

b. El trabajo que realiza la fuerza peso.

c. La velocidad que alcanzará el balde, si inicialmente estaba en reposo.

El trabajo de fuerzas constantes y desplazamientos rectilíneos se puede calcular como:

W = F  * Δx  * cos α

donde α es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento

El trabajo de la fuerza F

W = 18 kgf * 10 N / kgf  * 4 m  * cos 0º =

W = 720 J 

El trabajo del Peso

W_P = 15 kg * 10 m/s² * 4 m  * cos 180º =

W_P = – 600 J 

La variación de energía cinética es igual al trabajo de la fuerza resultante (Res)

W_Res = ΔE_c

La fuerza resultante será

Res = F – P = 18 kgf * 10 N / kgf - 15 kg * 10 m/s² = 180 N – 150 N = 30 N

Aplicando la formula del trabajo

W_Res = 30 N * 4 m * cos 0º = 120 Nm

La variación de la energía cinética

ΔE_c = ½ m v_F² — ½ m v_o²

Como v_o = 0 ( el cuerpo esta n reposo)

ΔE_c = ½ m v_F²

Entonces

½ m v_F² = 120 N

despejando

v_F² = 120 Nm * 2 * 15 kg

v_F = 4 m/s 

Leyes de conservacion 1 Trabajo y energia 4

1.4. Claudia pesa 60 kgf, y viaja en un ascensor desde el piso 4° hasta planta baja. Hallar el trabajo que realiza la fuerza que hace el piso del ascensor («normal») sobre ella, en los siguientes tramos de 4 m de longitud cada uno:

a- Arranque con aceleración constante, de 0,5 m/s²

b- Descenso con velocidad constante de 2 m/s

c- Frenado con aceleración constante, de 0,5 m/s².

La ecuación de Newton en los tres casos será:

N — P = m a

De donde

N = m a + P

El trabajo de la Normal

W_a = N * Δx * cos (180º)

Recordar que el ascensor esta “bajando” y la reacción del piso del ascensor tiene la dirección opuesta el ángulo resulta 180º.

Por otro lado la masa de Claudia resulta

P = m *g

Despejando

, m = P /g = 60 kgf  * (10 N / kgf ) / 10 m/s² = 60 kg

Primer caso (a)

La aceleración a = - 0,5 m/s²

Se considera la aceleración negativa porque el ascensor, a pesar de aumentar su velocidad (“acelera”) esta “bajando” (se acerca al origen) eso es velocidad negativa y aceleración negativa

Reemplazando

N = m a + P = 60kg *(- 0,5 m/s²) + 60 kg * (10 m/s²) =  570 N

Entonces el trabajo será

W_a = 570 N * 4 m * cos (180º)

W_a = — 2.280 J 

Segundo caso (b)

La aceleración a =  0 m/s²  (la velocidad es constante)

Reemplazando

N = 0 + P =  60 kg * (10 m/s²) =  600 N

Entonces el trabajo será

W_b = 600 N * 4 m * cos (180º)

W_b = — 2.400 J 

Tercer caso (c)

La aceleración a =  0,5 m/s²

Se considera la aceleración positiva porque el ascensor, a pesar de disminuir su velocidad (“frena”) esta “bajando” (se acerca al origen) eso es velocidad negativa y aceleración positiva.

N = m a + P = 60kg *(0,5 m/s²) + 60 kg * (10 m/s²) =  630 N

Entonces el trabajo será

W_c = 630 N * 4 m * cos (180º)

W_c = — 2.520 J 

Cinematica 3 MRUV 7

3.7. El conductor de un tren subterráneo de 40 m de longitud, y que marcha a 15 m/s, debe aplicar los frenos 50 m antes de entrar en una estación cuyo andén mide 100 m de longitud.

Calcular entre qué valores debe hallarse el de la aceleración de frenado, para que el tren se detenga dentro de los límites del andén.

Las ecuaciones horarias del tren serán

x = x_o + v_o ( t – t_o ) + ½ a ( t – t_o )²

v = v_o + a ( t – t_o )

Donde

t_o  = 0

x_o  = 0

v_o = 15 m/s

Reemplazando en ambas ecuaciones

x  = 15 m/s *  t  + ½ a * t²

0 m/s = 15 m/s + a * t

Despejando t de la segunda ecuación

t  = - 15 m/s / a

Reemplazando en la primera

x = 15 m/s *  (- 15 m/s / a )  + ½ a * (- 15 m/s / a )²

x =  - (15 m/s)² / a   + ½ (- 15 m/s )² / a

x = - 112,5  m²/s² / a

O bien

a = - 112,5  m²/s² / x

Lo que varia es la distancia recorrida por el tren antes de parar.

Caso 1. El Tren se detiene con su primer vagón en el extremo más lejano del andén

La distancia recorrida será

x = 100 m (longitud del anden) + 50 m ( distancia a la que debe aplicar los frenos antes del anden) = 150 m

a = - 112,5  m²/s² / 150 m

a = - 0,75  m/s²

Caso 2. El Tren se detiene con su último vagón en el extremo más cercano del andén

La distancia recorrida será

x = 40 m (longitud del tren) + 50 m ( distancia a la que debe aplicar los frenos antes del anden) = 90 m

a = - 112,5  m²/s² / 90 m

a = - 1,25  m/s²

Cinematica 3 MRUV 6

3.6. Un tren reduce uniformemente su velocidad, desde 12 m/s hasta 8 m/s, en una distancia de 100 m. Determinar su aceleración de frenado, y qué distancia recorrerá hasta detenerse si prosigue así.

Las ecuaciones horarias del tren serán:

, x = x_o + v_o ( t – t_o ) + ½ a ( t – t_o )²

, v = v_o + a ( t – t_o )

Donde:

, x = 100 m

, x_o = 0

_, t_o = 0

, v =  8 m/s

, v_o = 10 m/s

Reemplazando

, 100m = 12 m/s * t + ½ a * t²

, 8 m/s = 12 m/s + a *t

Resulta un  sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Despejando t de la segunda

, t = ( 8 m/s – 10 m/s ) / a = - 4 m/s / a

y reemplazando en la primera

100 m = 12 m/s * (- 4 m/s / a)  + ½ a * (- 4 m/s / a )²

100 m = - 40 m²/s² / a  

, a =  - 40 m²/s² / 100 m

, a = -0,4  m/s²

La distancia que recorre antes de detenerse, resulta de calcular el tiempo que tarda en detenerse

, v = v_o + a ( t – t_o )

Donde

, v = 0

, v_o = 12 m/s

, a = - 0,4 m/s²

, t_o  = 0

Reemplazando

 0 = 12 m/s – 0,4 m/s²* t

Despejando t

, t = - 12 m/s / (– 0,4 m/s² ) =  30 s

Reemplazando en x

, x = 12 m/s * 30s + ½ *(– 0,4 m/s² )* ( 30s )²

, x = 180 m

Cinematica 2 MRU 4

2.4. Un ciclista que viaja en una trayectoria rectilínea recorre la mitad de su
camino a 30 km/h, y la otra mitad a 20 km/h. Despreciando el tiempo empleado en
variar la velocidad:
a. Estimar entre qué valores estará el de la velocidad media con que hizo el viaje.
b. Trazar los gráficos cualitativos de posición y velocidad en función del tiempo.
c. Calcular el valor de dicha velocidad media.
ADVERTENCIA: vm ≠ (v1+v2)/2.

Según la definición de velocidad

, vm = distancia recorrida / tiempo empleado

Donde la distancia recorrida

,x=v*t

La primera parte la recorre a 30 km/h, entonces

, x1 = v1 * t1 = 30 km/ h * t1

Despejando t1

, t1 = x1 / 30 km/h

La segunda parte la recorre a 20 km/h

, x2 = v2 * t2 = 20 km/h * t2

Despejando t2

, t2 = x2 / 20 km/h

Además, el enunciado dice que x1 = x2 = ½ de la distancia total = d

Reemplazando en vm

, vm = (d + d) / ( d / 30 km/h + d / 20 km/h)

Simplificando d

, vm = 2/ (1/ 30 km/h + 1/20 km/h)

, vm = 24 km/h

Cinematica 4 Movimiento relativo 4

4.4. Entre los muelles A y B, que están en la misma orilla de un canal rectilíneo,
hay una distancia de 400 m. Un bote de remos tarda 40 segundos en ir de A
hasta B, y 50 segundos en regresar. Considerando constantes los módulos de las
velocidades del bote respecto del agua y de la corriente respecto a la orilla, hallar
el valor de los mismos.

La velocidad del bote con respecto a tierra (VBT) será

VBTi = Δxi / Δti = 400 m / 40 s = 10 m/s

VBTv = Δxv / Δtv = – 400 m / 50 s = – 8 m/s

Si bien el desplazamiento AB = BA = 400 m en un caso el bote se dirige a B (lo
consideramos positivo), cuando “vuelve” se dirige a A por lo tanto el desplazamiento
será negativo.

La velocidad del bote (medida desde la orilla) = la velocidad del bote (en el agua) + la
velocidad del agua

VBT = VB + VAT

Para la ida, tanto el bote como el agua tienen el mismo sentido:

VBT i = VB + VAT = 10 m/s [1]

Para la vuelta, el bote tiene el sentido opuesto al agua:

VBT v = - VB + VAT = – 8 m/s [2]

Sumando [1] y [2]

2 VAT = 10 m/s – 8 m/s = 2 m/s

VAT = 1 m/s (velocidad del río)

Restando [1] y [2]

2 VB = 10 m/s – ( - 8 m/s) = 18 m/s

VB = 9 m/s (velocidad del bote)

Cinematica 6 MCU 2

6.2. Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra, completando un ciclo en
aproximadamente 90 minutos. Suponiendo que su órbita es circular, que el
radio medio de la Tierra es 6.370 km, y que la altura media del satélite sobre su
superficie es 280 km, determinar su velocidad tangencial.

El satélite en orbita describe un movimiento circular uniforme (MCU), con centro en el
centro de la Tierra

El radio = radio terrestre + altura sobre la superficie

R = RT + h = 6.370 km + 280 km = 6.650 km = 6,65 10⁶ m

El periodo (tiempo que tarda en completar un ciclo) = 90 minutos = 5.400 s

La velocidad angular (ω) resulta

,ω=2π/T

Y la velocidad tangencial

V=R*ω

Reemplazando

V = R * 2 π / T = 6,65 10⁶ m * 2 * π / 5.400 s

V = 7.737 m/s

Cinematica 6 MCU 1

6.1. Un disco fonográfico de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm.
a. Hallar su velocidad angular, y la tangencial en un punto de su borde.
b. Repetir para otro punto situado a 10 cm del centro.

Recordar rpm = revoluciones por minuto

La velocidad angular (ω) será
, ω = 33,33 rpm = 33,33 vueltas / 1 minuto

Además en 1 vuelta recorre un ángulo de 2 π radianes, entonces:
, ω = 33,33 * 2 π / 60 seg
, ω = 3,5 1/s

La velocidad tangencial V en un punto situado a una distancia R del centro será :
V=R*ω

En el borde R = 20 cm
V(20 cm) = 0,2 m * 3,5 1/s
V(20 cm) = 0,7 m/s

Y a los 10 cm
V(10 cm) = 0,1 m * 3,5 1/s
V(10 cm) = 0,35 m/s

Cinematica 3 MRUV 3

3.3. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 2 m/s² y se
mueve durante 5 segundos. ¿Cuánto se desplaza durante el primer segundo?;
¿cuánto durante el último? El mismo coche, que viene moviéndose a 20 m/s, frena
con aceleración constante hasta detenerse en 8 segundos. Hallar su desplazamiento
durante el primero y durante el último segundo de su frenado. ¿Avanzó?

Primera parte

La ecuación horaria del auto será:
x = xo + vo * ( t – to ) + ½ * a *( t – to )2

Donde: xo = 0, vo = 0, to = 0 y a = 2 m/s²

Reemplazando
x = ½ * 2 m/s² * t²
Para el primer segundo
xo = 0 m (desde)
x1 = ½*2 m/s² *1 s² = 1 m (hasta)

Desplazamiento = x1 - xo = 1 m – 0 m
Desplazamiento = 1 m

Para el último segundo
x4 = ½ * 2 m/s² (4 s)² = 16 m (desde)
x5 = ½ * 2 m/s² (5 s)² = 25 m (hasta)

Desplazamiento = x5 – x4 = 25 m – 16 m
Desplazamiento = 9 m

Segunda parte

Las ecuaciones de movimiento del auto serán:
x = x o + v o * ( t – t o ) + ½ * a * ( t – t o )²
v = vo + a * ( t – t o )

Donde: xo = 0, vo = 20 m/s y to = 0

Reemplazando
x = 20 m/s * t + ½ *a2 * t²
v = 20 m/s + a2 * t

En el “segundo 8” el auto se detiene, reemplazando en la ecuación de la velocidad

0 = 20 m/s + a2 * 8 seg

Despejando la aceleración
a2 = - 20 m/s / 8 seg = - 2,5 m/s²

Para el primer segundo

xo = 0 m (desde)
x1 = 20 m/s * 1 s - ½ * 2,5 m/s² * (1 s)² = 18,75 m (hasta)

Desplazamiento = x1 - xo = 18,75 m – 0 m
Desplazamiento = 18,75 m

Para el último segundo
x7 = 20 m/s * 7 s - ½ * 2,5 m/s² * (7 s)² =78,75 m (desde)
x8 = 20 m/s * 8 s - ½ * 2,5 m/s² * (8 s)² = 80 m (hasta)

Desplazamiento = x8 – x7 = 80 m – 78,75 m
Desplazamiento = 1,25 m

Cinematica 3 MRUV 4

3.4. Hallar qué velocidad traía una locomotora, que acelerando a razón de 1 m/s²,
recorrió 20 m en 5 s.

La ecuación horaria de desplazamiento
x = xo + vo ( t – to ) + ½ a ( t – to )²

donde 

x = posición en el instante t = 20 m

xo = posición inicial = 0

vo = velocidad inicial

t = tiempo transcurrido = 5 s

to = tiempo inicial = 0

a = aceleración = 1 m/s²

Reemplazando los datos
20 m = vo * 5 s + ½*1 m/s² * (5 s)²

Despejando la velocidad
vo = ( 20 m – ½* 1 m/s² * (5 s)²) / 5 s = 1,5 m/s

Hidrostatica 19

Hidrostática 19. Calcular el volumen que se encuentra sumergido en un barco de
10.000 toneladas que flota en equilibrio si la densidad del agua del mar es 1030 kg/
m3

1 Tn = 1.000 kg

El barco esta en equilibrio entonces el empuje es igual al peso.

E=P

Según Arquímedes:

E = δagua * g * Vs

Donde Vs es el volumen de agua desalojada por el barco y es igual al volumen del barco
sumergido.

Vs = E / (δagua * g) = P / (δagua * g)

Reemplazando

Vs = 10.000.000 kg * 10 m/s² / (1.030 kg/m3 * 10 m/s²) = 10.000.000 kg / 1.030 kg/m3

Vs = 9.709 m3

Hidrostatica 18

Hidrostática 18. EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY: El rey Hierón
le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si
bien ése fue el peso de la corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo
había estafado sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la corona.
Le encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la
corona. La densidad del oro es 19,3 g/cm3. Al sumergirla observó que el volumen
de líquido desplazado era 166 cm3. ¿Cuál debería ser el volumen de líquido
desplazado por la corona hecha 2,5 kg de oro? La densidad de la plata es 10,5 g/
cm3 ¿Qué cantidad de oro sustituyó el joyero por plata?

Si la corona es de oro, la densidad de la corona es igual a la densidad del oro.

Por definición la densidad de la corona será:

δcorona = m / V = δoro

Despejando el Volumen

V = m / δoro = 2.500 g / 19,3 g/cm3

V = 129,53 cm3

Como el volumen resulto diferente a 166 cm3 la corona no es de oro puro.

Para determinar la cantidad de oro sustituida, se pueden plantear dos ecuaciones:

m = moro + mplata = 2.5 kg [1]

V = Voro + Vplata ( volumen del agua desplazada)

Reemplazando los Volúmenes por las masas en función de las densidades

V = (moro / δoro ) + (mplata / δplata) = 166 cm3 [2]

Este sistema de dos ecuaciones [1] y [2] (masa y Volumen) con dos incógnitas (moro y
mplata ) se puede resolver por cualquier método algebraico.

mplata = 840 gr

Hidrostatica 16

Hidrostática 16. Se quiere diseñar un globo aerostático que pueda levantar una
carga de 200 kg. El aire en el interior del mismo se calienta con una llama de
manera que su densidad es 0,95 kg/m3 mientras que el aire exterior, más frío, tiene
una densidad de 1, 20 kg/m3. ¿Cuál es el radio mínimo del globo?

El globo esta en equilibrio ( no hay aceleración), “sumergido” en aire frío

E=P

Donde E es el empuje y P el peso total del globo ( globo + carga)

Según el principio de Arquímedes, el empuje será igual al peso del volumen desalojado
( de aire frío)

E = δAF * g * V

En cambio el globo esta lleno de aire caliente, entonce su peso será:

P = δAC * g * V + carga* g

Reemplazado en la ecuación de equilibrio

δAF * g * V = δAC * g * V + carga * g

Despejando V

V = Carga / (δAF — δAC)

V = 200 kg / 0,25 kg/m3 = 800 m3

El volumen de la esfera = 4/3 π R3

De donde R

R = ( 800 m3 / 4/3 π.) 1/3

R = 5,8 m