Física 1 (Ing.) Práctica 1.18A - Cinemática y Dinámica

Un hombre de masa mh se encuentra parado sobre una plataforma de masa m_p, encontrándose inicialmente ambos en reposo. En un determinado momento, el hombre comienza a tirar de una soga ideal con una fuerza F para acercarse a la pared.

 

Si el hombre no se desplaza respecto de la plataforma y el rozamiento entre la plataforma y el piso es despreciable, calcular la aceleración del sistema hombre-plataforma y la fuerza de rozamiento estática entre el hombre y la plataforma para los siguientes casos:

 DCL

 

Ecuaciones de Newton

Hombre, según x:  F -  Froz A = mh ah

Plataforma, según x:  F + Froz B = mp ap

Polea: F + F – T = 0

 

Donde

F = fuerza

Froz A = fuerza de rozamiento estática entre el hombre y la plataforma

mh = masa del hombre

ah = aceleración del hombre

Froz B = fuerza de rozamiento estpatica entre el hombre y la plataforma = Froz A

mp = masa de la plataforma

ap = aceleración de la plataforma

T = tensión de la polea

 

“… el hombre no se desplaza respecto de la plataforma ..” à | ap | = |ah | = a 

 

Sumando las ecuaciones

F + F = (mh + mp) a

 

Despejando a

a = 2 F / (mh + mp)

 

Restando ambas ecuaciones

Froz A + Froz B = (mp – mh) a

 

Despejando Froz

Froz = (mp – mh) a / 2 = F (mp – mh) / (mh + mp)

 

 

a.     mh > mp

 

mp / mh à 0

 

Reemplazando

a = 2 F / (mh + mp) = 2 F / (mh (1 + mp / mh)) = 2 F / mh  

Froz = F (mp – mh) / (mh + mp) = F mh (mp / mh – 1) / (mh (1 + mp / mh)) = - F

 

 

 

b.     mh = mp

 

mp = mh = m

 

Reemplazando

a = 2 F / (mh + mp) = 2 F / (m + m) = F / m  

Froz = F (mp – mh) / (mh + mp) = F (m – m) / (m + m) = 0

 

 

c.      mh < mp

 

mh / mp à 0

a = 2 F / (mh + mp) = 2 F / (mp (mh / mp + 1)) = 2 F / mp  

Froz = F (mp – mh) / (mh + mp) = F mp (1 – mh / mp) / (mp (mh / mp + 1) = F  

 

 

d.     Si el sistema parte del reposo, ¿Depende el sentido de la fuerza de rozamiento estático de la dirección del desplazamiento?  

  

           d.a. mh > mp

Froz de la plataforma hacia la izquierda

Froz del hombre hacia la derecha

 

 

        d.b. mh = mp

 Froz = 0

  

        d.c. mh < mp

Froz de la plataforma hacia la derecha

Froz del hombre hacia la izquierda

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 1.17 - Cinemática y Dinámica

Halle la expresión para la aceleración de los cuerpos m₁ y m₂ y la tensión en las cuerdas en cada caso. Considere las poleas como ideales, y desprecie la fricción de m₁ con la superficie.

Primero resuelva algebraicamente y luego analice el movimiento para m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

Caso A 

DCL

 

 

Cuerpo 1. Según x: T = m1 a1

Cuerpo 1. Según y: N – P1 = 0

Cuerpo 2. Según x: P2 – T = m2 a2

 

Donde

T = tensión

a1 = aceleración del cuerpo 1

N = reacción de la superficie

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2 = a1 = a (cuerda ideal)

 

Sumando ambas ecuaciones

m2 g = (m1 + m2) a

 

Despejando a

a = m2 g / (m1 + m2)

 

Reemplazando T

T = m1 a = m1 m2 g / (m1 + m2)

 

Con m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

a = m2 g / (m1 + m2) = 6 kg 10 m/s² / (4 kg + 6 kg) = 6 m/s²

T = m1 m2 g / (m1 + m2) = 4 kg 6 kg 10 m/s² / (4 kg + 6 kg) = 24 N

 

 

Caso B

DCL

 

Cuerpo 1. Según x: T1 = m1 a1

Cuerpo 1. Según y: N – P1 = 0

Polea:  T2 – T1 – T3 = 0

Cuerpo2. Según x: P2 – T2 = m2 a2

 

Donde

T1 = tensión del cuerpo 1

a1 = aceleración del cuerpo 1

N = reacción de la superficie

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

T2 = tensión del cuerpo 2

T3 = tensión de la polea al techo 

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

Relación de movimientos

 

 

 

 

L = AB + BC + CD

L´ = A´B + BC´+ C´D

 

Restando ambas ecuaciones

L – L´ = AB – A´B + BC – BC´+ CD – C´D

 

Con

L = L’ = longitud de la cuerda

AB – A´B = d1

BC – BC´= - dp

CD – C´D = - dp

 

reemplazando

 d1 – dp – dp = 0 à d1 = 2 dp

 a1 = 2 a2

 

Polea

T2 – T1 – T3 = 0 à T2 = 2 T1

 

Reemplazando en las ecuaciones

T1 = m1 a1

m2 g – 2 T1 = m2 a1 / 2

 

Reemplazando T1

.m2 g – 2 m1 a1 = m2 a1 / 2

 

Despejando a1

a1 = m2 g / (m2 / 2 + 2 m1)

a2 =  a1 / 2

 

Reemplazando T

T1 = m1 a1 = m1 m2 g / (m2 / 2 + 2 m1)

T2 = 2 T1

 

Con m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

a1 = m2 g  / (m2 / 2 + 2 m1)  = 6 kg 10 m/s² / (6 kg / 2  + 2 * 4 kg) = 5,45 m/s²

a2 = 5,45 m/s² / 2 = 2,73 m/s²

T1 = m1 m2 g / (m2 / 2 + 2 m1) = 4 kg 6 kg 10 m/s² / (6 kg / 2 + 2 * 4 kg) = 21,82 N

T2 = 2 T1 = 2 * 21,82 N = 43,64 N

 

  

Caso C 

 

DCL

Cuerpo 1. Según x: T1 = m1 a1

Cuerpo 1. Según y: N – P1 = 0

Polea:  T2 + T3 – T1 = 0

Cuerpo2. Según x: P2 – T2 = m2 a2

 

Donde

T1 = tensión del cuerpo 1

a1 = aceleración del cuerpo 1

N = reacción de la superficie

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

T2 = tensión del cuerpo 2

T3 = tensión de la polea al piso 

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

Relación de movimientos 

L1 = AB + BC

L1´ = A´B + BC´

 

Restando ambas ecuaciones

L1 – L1´ = AB – A´B + BC – BC´

 

Con

L1 = L1’ = longitud de la cuerda 1 (desde el cuerpo 1 a la polea móvil)

AB – A´B = d1

BC – BC´= - dp

 

reemplazando

d1 – dp = 0 à d1 =  dp

a1 = ap

 

L2 = EC + CD

L2´ = EC´ + C´D´

 

Restando ambas ecuaciones

L´2 – L2´ = EC – EC´ + CD – C´D´

 

Con

L2 = L2’ = longitud de la cuerda 2 (desde el cuerpo 2 al piso)

EC– EC´ = dp

CD – C´D´ = CD – C´D + C´D – C´D´ = dp + d2

 

reemplazando

 dp  + dp – d2 = 0 à 2 dp =  d2

 ap = a2

 2 a1 = a2

 

Polea

T2 + T3 – T1 = 0 à 2 T2 = T1

 

Reemplazando en las ecuaciones

T1 = m1 a1

m2 g – T1 / 2 = m2 2 a1

 

Reemplazando T1

m2 g –  m1 a1 / 2 = m2 2 a1

m2 g = 2 m2 a1 + m1 /2 a1

 

Despejando a

a1 = m2 g / (2 m2 + m1 / 2)

a2 =  2 a1 

 

Reemplazando T

T1 = m1 a1 = m1 m2 g / (2 m2 + m1 / 2)

T2 = T1 / 2  

 

Con m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

a1 = m2 g / (2 m2 + m1 / 2)  = 6 kg 10 m/s² / (2 * 6 kg  + 4 kg / 2) = 4,29 m/s²

a2 = 2 * 4,29 m/s² / 2 = 8,57 m/s²

T1 = m1 m2 g / (2 m2 + m1 / 2) = 4 kg 6 kg 10 m/s² / (2 * 6 kg + 4 kg / 2 = 17,14 N

T2 = T1 / 2 = 17,14 N / 2 = 8,57 N

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 1.16 - Cinemática y Dinámica

Dos bloques, que pesan 8 kg y 80 kg respectivamente, están unidos por una barra y deslizan hacia abajo sobre un plano inclinado 30⁰ respecto de la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque de menos masa y el plano es 0,25 y el correspondiente al otro bloque es 0,5.

 

a.   Calcular la aceleración y la tensión en la barra. ¿La barra está comprimida o traccionada? ¿Depende el resultado de la ubicación relativa de los bloques?

 

  

Ecuación de Newton

Bloque 1:

Según x: P1 sen 30° - Froz1 – T = m1 a

Según y: N1 – P1 cos 30° = 0

Bloque 2:

Según x: T + P2 sen 30° - Froz2 = m2 a

Según y: N2 – P2 cos 30° = 0

Donde

P1 = peso del bloque 1 = m1 g

m1 = masa del bloque 1

Froz1 = fuerza de rozamiento dinámico del bloque 1 = μ1 N1

μ1 = coeficiente de rozamiento del bloque 1

N1 = reacción del plano = m1 g cos 30° (ecuación según y)

T = fuerza de la barra

a = aceleración

P2 = peso del bloque 2 = m2 g

m2 = masa del bloque 2

Froz2 = fuerza de rozamiento dinámico del bloque 2 = μ2 N2

μ2 = coeficiente de rozamiento del bloque 2

N2 = reacción del plano = m2 g cos 30° (ecuación según y)

 

Reemplazando y sumando ambas ecuaciones

m1 g sen 30° -  μ1 m1 g cos 30° + m2 g sen 30° -  μ2 m2 g cos 30° = (m1 + m2) a

 

Despejando a

a = ((m1 + m2) g sen 30° - (μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

 

Reemplazando en la ecuación del bloque 1 según x

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

 

 

a.1. m1 = 80 kg y m2 = 8 kg;  μ1 = 0,50 y μ2 = 0,25

 

Reemplazando en la ecuación de a

a = ((m1 + m2) g sen 30° - (μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

a = ((80 kg + 8 kg) 10 m/s² 0,5 - (0,50 * 80 kg + 0,25 * 8 kg) 10 m/s² 0,867) / (80 kg + 8 kg)

a = 0,87 m/s²

 

Reemplazando en la ecuación de T

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

T = 80 kg (10 m/s² 0,5 – 0,50 *10 m/s²  0,867 - 0,867 m/s²)   

T = - 15,75 N à barra esta comprimida

 

 

a.2. m1 = 8 kg y m2 = 80 kg;  μ1 = 0,25 y μ2 = 0,5

 

Reemplazando en la ecuación de a

a = ((m1 + m2) g sen 30° - (μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

a = ((8 kg + 80 kg) 10 m/s² 0,5 - (0,25 * 8 kg + 0,5 * 80 kg) 10 m/s² 0,867) / (8 kg + 80 kg)

a = 0,87 m/s²

 

Reemplazando en la ecuación de T

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

T = 8 kg (10 m/s² 0,5 – 0,25 *10 m/s²  0,867 - 0,87 m/s² )  

T = 15,75 N à barra esta traccionada

 

 

 

b.  ¿Cuál sería la aceleración y la tensión en la barra si los bloques intercambian los coeficientes de rozamiento?

  

b.1. m1 = 80 kg y m2 = 8 kg; μ1 = 0,25 y μ2 = 0,50

 

Reemplazando en la ecuación de a

a = ((m1 + m2) g sen 30° -  ( μ1 m1 +  μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

a = ((80 kg + 8 kg) 10 m/s² 0,50 - (0,25 * 80 kg + 0,50 * 8 kg) 10 m/s² 0,867) / (80 kg + 8 kg)

a = 2,64 m/s²

 

Reemplazando en la ecuación de T

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

T = 80 kg (10 m/s² 0,50 – 0,25 *10 m/s²  0,867 – 2,64 m/s² )  

T = 15,75 N à barra esta traccionada

 

 

b.2. m1 = 8 kg  y m2 = 80 kg g;  μ1 = 0,50 y μ2 = 0,25

 

Reemplazando en la ecuación de a

a = ((m1 + m2) g sen 30°  -  ( μ1 m1 +  μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

a = ((8 kg + 80 kg) 10 m/s² 0,50 - (0,50 * 8 kg + 0,25 * 80 kg) 10 m/s² 0,867) / (8 kg + 80 kg)

a = 2,64 m/s²

 

Reemplazando en la ecuación de T

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

T = 8 kg (10 m/s² 0,50 – 0,25 *10 m/s² 0,867 – 2,64 m/s² )  

T = - 15,75 N à barra esta comprimida

 

 

 

c.   Recalcular suponiendo ambos coeficientes iguales a 0,25.

 

 

c.1. m1 = 80 kg y m2 = 8 kg; μ1 = μ2 = 0,25

 

Reemplazando en la ecuación de a

a = ((m1 + m2) g sen 30°  -  ( μ1 m1 +  μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

a = 10 m/s² 0,50 - 0,25 * 10 m/s² 0,867

a = 2,83 m/s²

 

Reemplazando en la ecuación de T

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

T = 80 kg (10 m/s² 0,50 – 0,25 *10 m/s²  0,867 – 2,83 m/s² )  

T = 0 N à NI tracción NI compresión

 

 

c.2. m1 = 8 kg y m2 = 80 kg g; μ1 = μ2 = 0,25

 

Reemplazando en la ecuación de a

a = ((m1 + m2) g sen 30° - (μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)

a = 10 m/s² 0,50 - 0,25 * 10 m/s² 0,867

a = 2,83 m/s²

 

Reemplazando en la ecuación de T

T = m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° – m1 a

T = 8 kg (10 m/s² 0,50 – 0,25 *10 m/s² * 0,867 - 2,83 m/s² )  

T = 0 N à NI tracción NI compresión