Física 1 (Exactas) Práctica 11.2 - Cinemática del cuerpo rígido

 Preguntas:

 

a)      ¿Qué dirección debe tener el vector vP − vQ (velocidad relativa de P respecto de Q) para que no cambie la distancia entre los puntos P y Q?

  

Para que la distancia no cambie, la velocidad relativa (VP – VQ) debe ser perpendicular al vector de posición (P – Q)

 

(VP – VQ) . (rP – rQ) = 0

 

 

b)     ¿La expresión vP − vQ = Ω x (rP − rQ) satisface esa condición?

 

Sí. Cumple la condición

 

vP − vQ = Ω x (rP − rQ) 

x = producto vectorial

El resultado de un producto vectorial es siempre perpendicular a los dos vectores que se multiplican

è (vP − vQ) perpendicular a (rP − rQ)

 

Física 1 Practica 11 Indice

  Física 1 - Exactas

Práctica 11 -  Cinemática del cuerpo rígido

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Física 1 (Exactas) Práctica 11.1 - Cinemática del cuerpo rígido

Algunos de los cuerpos de la Figura no son rígidos. Encuéntrelos. No debe hacer cálculos, sólo observar.

 

 

 

Caso A

 

Los vectores VQ y VP igual dirección y sentido opuesto

P se mueve a la izquierda y Q a la derecha à la distancia entre ellos aumenta à el cuerpo se estira

 

NO ES RÍGIDO

 

Caso B

 

VP = 0 à P está quieto

VQ ≠ 0 à Q se aleja se aleja de P à la distancia  entre ellos aumenta à el cuerpos se estira

 

NO ES RÍGIDO.

 

 

Caso C

 Las componentes según la dirección PQ de las velocidades VP y VQ

 

 

Las componentes según la dirección PQ tienen sentidos opuestos à los puntos P y Q se aproximan

 

NO ES RÍGIDO

 

 

Caso D

 

Los vectores VO y VP tienen igual modulo, dirección y sentido à el cuerpo se desplaza

 

ES RÍGIDO

 

 

Caso E

 

Las componentes según la dirección PQ de las velocidades VP y VQ

 

 

Las componentes según la dirección PQ tienen igual sentidos pero son de distinta longitud à los puntos P y Q se acercan à el cuerpo se contrae

 

NO ES RÍGIDO.

 

 

Caso F

 

 

Las componentes según la dirección PQ de las velocidades VP y VQ

 

 

Las componentes según la dirección PQ tienen distintos sentidos à los puntos P y Q se acercan à el cuerpo se contrae

 

NO ES RÍGIDO

 

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 10.8 - Gravitación

Una partícula de masa m se acerca desde el infinito con velocidad y parámetro de impacto b a un cuerpo de masa M, que se halla fijo en el punto O. Debido a la atracción gravitatoria ejercida por M, la partícula describe una trayectoria hiperbólica, y al pasar por el punto de máximo acercamiento (punto A) se engancha con un resorte de masa despreciable, constante elástica k y longitud natural l₀ = r₀. El otro extremo del resorte está sujeto a un eje que pasa por O. Considere que la energía potencial gravitatoria en el infinito es nula (es decir, V_G = 0 cuando la partícula se halla suficientemente alejada del cuerpo). 

 

a.1. Diga qué magnitudes se conservan para la partícula de masa m antes y después de alcanzar el punto A.

 

Energía mecánica (Em)

Las fuerzas actuantes (gravedad y elástica) son conservativas

La masa se “engancha” (no choca) no hay perdida de energía

La energía mecánica SE conserva

 

Momento angular (L)

La fuerza de gravedad y la elástica son fuerzas centrales (apuntan al centro O).

Torque = 0 à momento angular SE conserva.

 

 

a.2. Calcule la velocidad de la partícula en el punto A y la distancia r₀ de máximo acercamiento.

 

Momento angular

 L = m r v

 

Donde

L = momento angular

m = masa m

r = distancia al punto O

v = velocidad

 

Momento angular inicial (Lo)

r = b

v = vo

 

Reemplazando

Lo = m d vo

 

Momento angular en A (LA)

r = ro

v = vA

 

Reemplazando

LA = m ro vA

 

Igualando ambas ecuaciones

m b vo = m ro vA à b vo = ro vA

 

 

Energía mecánica

Em = Ec + Vg

 

Donde

Em = energía mecánica

Ec = energía cinemática = 1 /2 m v^2

Vg = energía potencial = - G M m / r

 

Donde

G = constante gravitación Universal

M = masa central

 

Energía mecánica inicial (Emo)

v = vo

Vgo = energía potencial en el infinito = 0

 

Reemplazando

Emo = 1 /2 m vo^2

 

Energía mecánica en A (EmA)

v = vA

r = ro

 

Reemplazando

EmA = 1 /2 m vA^2 – G M m / ro

 

Igualando

1 /2 m vo^2 = 1 /2 m vA^2 – G M m / ro à 1 /2 vo^2 = 1 /2 vA^2 – G M / ro

 

Despejando vo de la ecuación del momento angular

vA = vo b / ro

 

Reemplazando en la ecuación de la energía mecánica

1 /2 vo^2 = 1 /2 (vo b / ro)^2 – G M / ro

 

Reordenando

vo^2 ro^2 + 2 G M ro –  vo^2 b^2 = 0

 

Esta ecuación cuadrática en ro tiene dos soluciones

ro = (- 2 G M +- [4 G^2 M^2 + 4 vo^4 b^2]^(1/2)) / ( 2 vo^2)

ro = - G M / vo^2 +- [(G M / vo^2)^2 + b^2]^(1/2)

 

ro- = - G M / vo^2 – [(G M / vo^2)^2 + b^2]^(1/2) < 0 (descartada)

ro+ = - G M / vo^2 + [(G M / vo^2)^2 + b^2]^(1/2))

 

Reemplazando en vA

vA  = vo b / (- G M / vo^2 + [(G M / vo^2)^2 + b^2]^(1/2))

 

 

 

b-    Después de engancharse con el resorte, encuentre la velocidad de la partícula (componentes radial y tangencial) cuando ésta se halla a una distancia d = 2r₀ del punto O. Exprese el resultado en términos de r₀ y de los datos del problema.

 

Punto B

d = distancia del punto O = 2 ro

 

 

Momento angular (L)

 

Momento angular (Lo)

Lo = m b vo

 

Momento angular en B (LB)

LB = m rB x vB

 

Donde

LB = momento angular B

rB = distancia a O = 2 ro ǔr

vB = velocidad en el punto B = vBr ǔr + vBp ǔp

vBr = velocidad radial

ǔr = versor radial

vBp = velocidad tangencial

ǔp = versor tangencial

x = producto vectorial

 

Reemplazando

LB = m 2 ro vBp

 

Igualando

m b vo = m 2 ro vBp à vBp = b vo / (2 ro)

 

 

Energía mecánica (Em)

 

Energía mecánica en A (Emo)

Emo = 1 /2 m vo^2

 

 

Energía mecánica en B (EmB)

 

EmB = EcB + VB + EpeB

 

Donde

EmB = energía mecánica en B

EcB = energía cinética en B = 1 /2 m vB^2

vB = velocidad en el punto B = vBr ǔr + vBp ǔp

vBr = velocidad radial

vBp = velocidad tangencial = b vo / (2 ro)

 

VB = energía potencial = - G M m / rB

rB = posición B = 2 ro

 

EpeB = energía potencial elástica = 1 /2 k ∆x^2

k = constante elástica

∆x = variación de la longitud del elástico = 2 ro – ro = ro

 

reemplazando

EmB = 1 /2 m (vBr^2 + (b vo / (2 ro))^2) – G M m / (2 ro) + 1 /2 k ro^2 

 

Igualando

1 /2 m vo^2 = 1 /2 m vBr^2 + 1 / 2 m b^2 vo^2 / (2 ro)^2 –   G M m / (2 ro) + 1 /2 k ro^2

Despejando vBr

vBr = [ vo^2 -  1/ 4 (b vo / ro)^2 +   G M / ro -   k/ m ro^2]^(1/2)

 

              

Física 1 (Exactas) Práctica 10.7 - Gravitación

Considere dos partículas de masa m que interactúan gravitatoriamente entre sí. Las partículas pueden moverse sobre una mesa horizontal libre de rozamiento. En el instante inicial (t = 0) las partículas se hallan separadas una distancia d y se le da a cada una de ellas una velocidad de módulo v₀ y dirección indicada en la Figura.

 

a)      Indique en un diagrama todas las fuerzas que actúan sobre cada partícula. Para el sistema formado por las dos partículas diga, justificando su respuesta, si se conserva o no los momentos lineal y angular, y la energía mecánica. 

 

DCL

 

Peso = P = m g

Normal = N = reacción del plano

Fg = fuerza gravitatoria entre ambas masas = G m / d^2

 

Momento lineal (p)

Suma de las fuerzas externas (al sistema) = 0 à p se conserva

 

Momento angular (L)

P y N se auto cancelan

La fuerza interna (Fg) es central à torque = 0 à L se conserva

 

Energía mecánica (Em)

P y Fg son fuerzas conservativas

N es una fuerza vertical y el desplazamiento en radial à no hay trabajo

 à Em se conserva 

 

 

b)     Halle la velocidad del centro de masa del sistema en el instante inicial. Diga qué tipo de movimiento describe el centro de masa para t > 0. 

 

vCM = (m1 v1 + m2 v2) / (m1 + m2)

 

Donde

vCM = velocidad del centro de masa

m1 = m2 = m = masa

v1 = velocidad de la masa 1 = vo

v2 = velocidad de la masa 2 = - vo

 

Reemplazando

vCM = (m vo + m (-vo)) / (m + m) = 0

 

Como ∑ Fext = 0 à aCM = 0

 

CM pertenece en la posición inicial

 

c)      Para cada una de las partículas, calcule el vector velocidad (componentes paralela y perpendicular al segmento que las une) cuando las partículas se hallan separadas una distancia d/2. 

 

Componente perpendicular de la velocidad (vp)

 

L = r x m v (producto vectorial)

 

Donde

L = momento angular

r = vector desde la masa hasta el centro de masa = r ǔn

r = distancia al centro

ǔn = versor normal

m = masa

v = velocidad de cada masa = vp ǔp + vn ǔn

vp = velocidad perpendicular

ǔp = versor perpendicular

vn = velocidad normal

 

Reemplazando

L = m r vp

 

Momento angular inicial (Lo)

r = d / 2

vp = vo sen α

 

reemplazando

Lo = m d /2 vo sen α + m d /2 vo sen α = m d vo sen α

 

Momento angular final (Lf)

r = d / 4

 

reemplazando

Lf = m d /4 vp + m d /4 vp = m d/2  vp

 

Igualando

m d vo sen α = m d/2 vp (Momento angular se conserva)

 

despejando vp

vp = 2 vo sen α

 

 

Componente normal de la velocidad (vn)

 

Em = Ec + Epg

 

Donde

Em = energía mecánica

Ec = energía cinética = 1 /2 m v^2

Epg = energía potencial gravitatoria = G m^2 / rm

G = constante de gravitación universal

rm = distancia entre las masas

 

Energía mecánica inicial (Emo)

v = vo

rm = d

 

Reemplazando

Emo = 1 /2 m vo^2 + 1 /2 m vo^2 – G m^2 / d = m vo^2 – G m^2 / d

 

 

Energía mecánica final (Emf)

rm = d / 2

 

Reemplazando

Emf = 1 /2 m v^2 + 1 /2 m v^2 – G m^2 / (d / 2) = m v^2 –  2 G m^2 / d

 

Igualando

m vo^2 – G m^2 / d = m v^2 –  2 G m^2 / d

 

despejando v^2

v^2 = vo^2 + G m / d

 

Modulo v

| v | ^2 = v^2 = vn^2 + vp^2

 

Reemplazando

vn^2 + vp^2 = vn^2 + (2 vo sen α)^2 = vo^2 + G m / d

 

despejando vn

vn = [vo^2 (1 - 4 (sen α)^2) + G m / d]^(1/2)