Física 1 (Exactas) Practica 8.2 – Trabajo y energía

Considere un cuerpo de masa m que cuelga de una cuerda de longitud L, y masa despreciable, cuyo otro extremo se halla fijo al punto O. Sobre el cuerpo actúa una fuerza de modulo F = F₀ cos θ que produce su desplazamiento desde el punto A hasta el punto B (ver la Figura, donde θ es el ángulo medido desde la dirección OA).

En los casos en que:

 

W  = ∫  F . dr

donde

W = trabajo

F = fuerza

dr = diferencial de distancia

F . dr = producto escalar de F y dr 

i.                 F es una fuerza horizontal.

 

 

i.a. Calcular, utilizando coordenadas polares, el trabajo ejercido por la fuerza F para elevar la masa desde A hasta B,

 

WAB  = ∫  F . dr

 

Donde

WAB = trabajo de A y B

A = posición inicial = (L; 0°)

B = posición final  = (L; π /2 )

F = fuerza horizontal = Fo cos θ

Fr = componente radial de F = Fo cos θ sen θ ǔr

Fθ  = componente tangencial de F = Fo cos θ cos θ ǔθ

 ǔr = versor radial

ǔθ = versor angular ó tangencial

r = distancia recorrida = L θ

dr = diferencial distancia  = L dθ ǔθ

 

Producto escalar 

F . dr = (Fo cos θ (sen θ ǔr + cos θ ǔθ)) . (L dθ ǔθ) = Fo (cos θ)^2  L dθ

 Reemplazando

WAB  = ∫  F . dr  = ∫  Fo (cos θ)^2  L dθ = 

            = Fo L  θ / 2 + (sen 2 θ)) / 4  entre A(L; 0°) y B(L; π /2 ) =

            = Fo L  (π /2) / 2 + ( sen (2 π /2))  / 4  -  Fo L  (0 / 2 + sen (0) / 4 ) =

WAB   =  Fo L  (π / 4)

 

 

          i.b. Repetir el cálculo en el caso de que la partícula recorra el camino en sentido inverso                         (desde B hasta A). Compare con el valor obtenido en a). 

 

WBA  = ∫  F . dr

 

Donde

WBA = trabajo de B y A

 

Reemplazando

WBA  = ∫  F . dr  =  ∫  Fo (cos θ)^2  L dθ =

            = Fo L  θ / 2 + (sen 2 θ)) / 4  entre B(L; π /2 ) y A(L; 0°) =

            = Fo L  (0 / 2 + sen (0) / 4 )  - Fo L  (π /2) / 2 + ( sen (2 π /2))  / 4   =

 WBA =  - Fo L  (π / 4)

 

WAB = - WBA

 

 .

           ii)  F es una fuerza tangente a la trayectoria

 

 

 

           ii.a. Calcular, utilizando coordenadas polares, el trabajo ejercido por la fuerza F para                            elevar la masa desde A hasta B, en los casos en que:

 

WAB  = ∫  F . dr

 

Donde

WAB = trabajo de A y B

A = posición inicial = (L; 0°)

B = posición final  = (L; π /2 )

F = fuerza = Fo cos θ  ǔθ (tangencial)

ǔθ = versor angular ó tangencial

r = distancia recorrida = L θ

dr = diferencial distancia  = L dθ ǔθ

 

Producto escalar 

F . dr = (Fo cos θ ǔθ) . (L dθ ǔθ) = Fo cos θ L dθ

 Reemplazando

WAB  = ∫  F . dr  = ∫  Fo cos θ  L dθ = 

            = Fo L sen  θ   entre A(L; 0°) y B(L; π /2 ) =

            = Fo L   sen (π /2) -  Fo L  sen 0  =

WAB   =  Fo L 

 

 

 

             ii.b. Repetir el cálculo en el caso de que la partícula recorra el camino en sentido inverso                        (desde B hasta A). Compare con el valor obtenido en a). 

 

WBA  = ∫  F . dr

 

Donde

WBA = trabajo de B y A

 

Reemplazando

WBA  = ∫  F . dr  = ∫  Fo cos θ  L dθ =

            = Fo L  sen θ  entre B(L; π /2 ) y A(L; 0°) =

            = Fo L  sen 0  - Fo L  sen  (π /2)   =

WBA =  - Fo L

WAB = - WBA

Nota:

Producto escalar 

ǔr . ǔθ = 0

ǔθ . ǔθ  = 1 

 

 

Física 1 Practica 8 Indice

 Física 1 - Exactas

Practica 8. Trabajo y energía

1. https://noemifisica.blogspot.com/2026/06/fisica-1-exactas-practica-81-trabajo-y.html

2. https://noemifisica.blogspot.com/2026/06/fisica-1-exactas-practica-82-trabajo-y.html

3. 

4. 

5. 

 

Indice

https://noemifisica.blogspot.com/2026/03/fisica-1-exactas-indice.html

Física 1 (Exactas) Practica 8.1 – Trabajo y energía

Una partícula de masa m se desplaza horizontalmente desde la posición x_A = 0 hasta la posición x_B = d, y luego desde x_B hasta la posición x_C = - 2d con d > 0 (ver Figura), bajo la acción de una fuerza de modulo F.

 

Para los siguientes valores de F:

(i)              F = - kx,

(ii)            F = kx²,

(iii)          F = - k |x| x, (k > 0),

 

calcule:

 

a.     El trabajo realizado por la fuerza F entre A y B, entre B y C y entre A y C. 

 

W = ∫ F(x) dx

 

Donde

W = trabajo

F = fuerza

 

 

(i)              F = - kx,

 

WAB  = ∫ (- k x)  dx  = - k x^2 / 2 entre (AB) =   - k /2 (xB^2 – xA^2) = - k /2 d^2

WBC  = ∫ (- k x)  dx  = - k x^2 / 2 entre (BC) = - k /2 (xC^2 – xB^2) = - k /2 ((-2 d)^2 - d^2) 

            = - k 3/2 d^2

WAC  = ∫ (- k x)  dx  =- k x^2 / 2 entre (AB) = - k /2 (xC^2 – xA^2) = - k /2 (-2 d)^2  = - 2 k d^2

 

 

 

(ii)            F = kx²,

 

WAB  = ∫  k x^2  dx  = k x^3 / 3 entre (AB) = k / 3 (xB^3 – xA^3) = k / 3 d^3

WBC  = ∫  k x^2  dx  = k x^3 / 3 entre (BC) = k / 3 (xC^3 – xB^3) = k /  3  ((-2 d)^3 - d^3) = - 3 k d^3

WAC  = ∫  k x^2  dx  = k  x^3 /3 entre (AC) = k / 3 (xC^3 – xA^3) = k / 3  (-2 d)^3  = - 8 /3  k d^3

 

 

 

(iii)          F = - k |x| x, (k > 0),

 

.entre A y B  à x > 0 à |  x | = x à | x| x = x^2

WAB = ∫  (- k |x| x)  dx  =  ∫  (- k x^2)  dx = - k x^3 /3 entre (AB) = - k / 3 (xB^3 – xA^3) = - k  d^3 / 3 

 

Entre B y C = Entre B y A + Entre A y C  

 

WBC = WBA + WAC

 

entre BA   à x > 0 à |  x | = x à | x| x = x^2

WBA  = ∫ ( - k |x| x)  dx  =  ∫  (- k x^2)  dx = - k x^3 /3 entre (BA) = - k / 3 (xA^3 – xB^3) = k  d^3 / 3 

 

Entre A y C à x < 0 à | x | = - x à |x| x = - x^2

WAC  = ∫  k x^2  dx  = k  x^3 /3 entre (AC) = k / 3 (xC^3 – xA^3) = k / 3  (-2 d)^3  = - 8 /3  k d^3

 

WBC = WBA + WAC = - 8/3 k d^3 + k d^3 / 3 = -7/3 k d^3 

 

 

Entre A y C x < 0 à | x | = - x à |x| x = - x^2

WAC  = ∫  k x^2  dx  = k  x^3 /3 entre (AC) = k / 3 (xC^3 – xA^3) = k / 3  (-2 d)^3  = - 8 /3  k d^3

 

 

b.     En el caso en que esto sea posible, la energía potencial asociada a la fuerza F. Grafíquela.

 

Si F(x) es conservativa U(x) = -  ∫ F(x) dx  

 

Donde

U(x) = energía potencial

 

 

(i)             F = - kx,

 

La fuerza depende únicamente de la posición en una dimensión à F  es conservativa.

 

U(x) = -  ∫ F(x) dx   = ∫  (- k x)  dx  = k x^2 / 2

 

(ii)           F = kx²

 

La fuerza depende únicamente de la posición en una dimensión à F  es conservativa.

 

U(x) = -  ∫ F(x) dx   = - ∫  k x^2  dx  =  - k x^3 / 3

 

 

 

 

(iii)       F = - k |x| x, (k > 0)

 

La fuerza depende únicamente de la posición en una dimensión à F  es conservativa.

 

Para x > 0 à U(x) = -  ∫ F(x) dx   = - ∫  (- k x^2)  dx  =  k x^3 / 3

Para x < 0 à U(x) = -  ∫ F(x) dx   = - ∫  k x^2  dx  =  - k x^3 / 3

 

 

 

  

Física 1 (Exactas) Practica 7.5 - Momento angular

En el sistema de la Figura, dos barras rígidas de masa despreciable están soldadas en el punto O y forman un ángulo α. Una de las barras tiene longitud l, su punto medio es O y en sus extremos se fijan dos pequeñas esferas de masas M. La otra barra está sostenida mediante dos bujes y es el eje de rotación del conjunto que gira con velocidad angular ω constante.

 

 

a.     Exprese el vector impulso angular del sistema en función del tiempo, respecto del punto O.

 

Eje z: eje de rotación (barra sujeta por los bujes)

 

∆LO  = LO(t) – LO(0)

 

LO = r1 x (M v1) + r2 x (M v2) (ecuación vectorial)

  

Donde

∆LO = impulso angular respecto de O = variacion del momento respecto de O

LO(t) = momento angular respecto del punto O en el instante t

LO(0) = momento angular respecto del punto O en el instante t = 0

 

 

LO = r1 x (M v1) + r2 x (M v2) (ecuación vectorial)

 

 

r1 = posicion de la masa 1 a O

r2 = posicion de la masa 2 a O = - r1 (por simetría)

v1 = velocidad de la masa 1

v2 = velocidad de la masa 2 = - v1  (están unidas)

 

Reemplazando

LO = r1 x (M v1) -  r1 x (M (-v1)) = 2 M r1 x v1

 

Posicion en función del tiempo

r1 =  r1x ǐ + r1y ǰ + r1z ǩ

 

Donde

r1x = componente según x de la posicion de la masa = L/2 sen α cos (ω t)

r1y = componente según y de la posicion de la masa = L/2 sen α sen (ω t)

r1z = componente según z de la posicion de la masa = L/2 cos α

ω = velocidad de la rotación

α = angulo con el eje de rotacion

 

Reemplazando r1

r1 =  L/2 sen α cos (ω t) ǐ + L/2 sen α sen (ω t) ǰ + L/2 cos α ǩ

 

Velocidad en función del tiempo

v1 = ω x r1  (ecuación vectorial)

 

Donde

v1 = velocidad de la masa

ω = velocidad de la rotación = ω ǩ

 

 

Reemplazando v1

v1 = ω ǩ x (L/2 sen α cos (ω t) ǐ + L/2 sen α sen (ω t) ǰ + L/2 cos α ǩ)

      = ω L/2 sen α cos (ω t) ǰ - ω L/2 sen α sen (ω t) ǐ

 

Reemplazando en LO

LO = 2 M (L/2 sen α cos (ω t) ǐ + L/2 sen α sen (ω t) ǰ + L/2 cos α ǩ) (ω L/2 sen α cos (ω t) ǰ - ω L/2 sen α sen (ω t) ǐ)

      = 2 M (L/2 sen α cos (ω t) ω L/2 sen α cos (ω t) ǩ + L/2 sen α sen (ω t) ω L/2 sen α sen (ω t)  ǩ -  L/2 cos α  (ω L/2 sen α cos (ω t) ǐ - L/2 cos α ω L/2 sen α sen (ω t) ǰ

       =  - M ω L^2 /2 cos α sen α cos (ω t) ǐ  -  M ω L^2 /2 cos α sen α sen (ω t) ǰ +  M ω L^2 /2 (sen α)^2 ǩ

 

Para t = 0

LO(0) =   - M ω L^2 / 2 cos α sen α ǐ  +  M ω L^2 /2 (sen α)^2 ǩ

 

Reemplazando en ∆LO

∆LO =  - M ω L^2 / 4 sen (2 α) cos (ω t) ǐ  -  M ω L^2 /4  sen (2 α)  sen (ω t) ǰ +  M ω L^2 /2 (sen α)^2 ǩ – (  - M ω L^2 / 4  (sen 2 α)  ǐ  +  M ω L^2 /2 (sen α)^2 ǩ)

 

 

b.     Calcule el momento de las fuerzas efectuando la derivada temporal del impulso angular.

 

τO = dLO / dt

 

donde

τO = momento de fuerza o torque neto

 

derivando

τO = M ω^2 L^2 / 4 sen (2 α) sen (ω t) ǐ  -  M ω^2  L^2 / 4 sen (2 α) cos (ω t) ǰ

 

 

c.      Indique (a) y en (b) un esquema para un instante los resultados obtenidos (preste especial atención a la dirección y sentido de los vectores). 

 

Para t = 0

LO(0) =   - M ω L^2 / 2 cos α sen α ǐ  +  M ω L^2 /2 (sen α)^2 ǩ

τO(0) =  -  M ω^2  L^2 / 4 sen (2 α)  ǰ

 

 

 

 

d.     Identifique cuáles son las fuerzas que producen el momento hallado en (b).

El torque es producido por las fuerzas de reacción ejercidas por los dos soportes del eje de giro (bujes).

 

e.      ¿Influye en los resultados obtenidos la existencia o no de la gravedad, o su dirección?

 

La gravedad NO influye

 

El centro de masa coincide con el punto O à rCM = 0 à τpO = rCM x P = 0