Física 1 (Exactas) Práctica 10.8 - Gravitación

Una partícula de masa m se acerca desde el infinito con velocidad y parámetro de impacto b a un cuerpo de masa M, que se halla fijo en el punto O. Debido a la atracción gravitatoria ejercida por M, la partícula describe una trayectoria hiperbólica, y al pasar por el punto de máximo acercamiento (punto A) se engancha con un resorte de masa despreciable, constante elástica k y longitud natural l₀ = r₀. El otro extremo del resorte está sujeto a un eje que pasa por O. Considere que la energía potencial gravitatoria en el infinito es nula (es decir, V_G = 0 cuando la partícula se halla suficientemente alejada del cuerpo). 

 

a.1. Diga qué magnitudes se conservan para la partícula de masa m antes y después de alcanzar el punto A.

 

Energía mecánica (Em)

Las fuerzas actuantes (gravedad y elástica) son conservativas

La masa se “engancha” (no choca) no hay perdida de energía

La energía mecánica SE conserva

 

Momento angular (L)

La fuerza de gravedad y la elástica son fuerzas centrales (apuntan al centro O).

Torque = 0 à momento angular SE conserva.

 

 

a.2. Calcule la velocidad de la partícula en el punto A y la distancia r₀ de máximo acercamiento.

 

Momento angular

 L = m r v

 

Donde

L = momento angular

m = masa m

r = distancia al punto O

v = velocidad

 

Momento angular inicial (Lo)

r = b

v = vo

 

Reemplazando

Lo = m d vo

 

Momento angular en A (LA)

r = ro

v = vA

 

Reemplazando

LA = m ro vA

 

Igualando ambas ecuaciones

m b vo = m ro vA à b vo = ro vA

 

 

Energía mecánica

Em = Ec + Vg

 

Donde

Em = energía mecánica

Ec = energía cinemática = 1 /2 m v^2

Vg = energía potencial = - G M m / r

 

Donde

G = constante gravitación Universal

M = masa central

 

Energía mecánica inicial (Emo)

v = vo

Vgo = energía potencial en el infinito = 0

 

Reemplazando

Emo = 1 /2 m vo^2

 

Energía mecánica en A (EmA)

v = vA

r = ro

 

Reemplazando

EmA = 1 /2 m vA^2 – G M m / ro

 

Igualando

1 /2 m vo^2 = 1 /2 m vA^2 – G M m / ro à 1 /2 vo^2 = 1 /2 vA^2 – G M / ro

 

Despejando vo de la ecuación del momento angular

vA = vo b / ro

 

Reemplazando en la ecuación de la energía mecánica

1 /2 vo^2 = 1 /2 (vo b / ro)^2 – G M / ro

 

Reordenando

vo^2 ro^2 + 2 G M ro –  vo^2 b^2 = 0

 

Esta ecuación cuadrática en ro tiene dos soluciones

ro = (- 2 G M +- [4 G^2 M^2 + 4 vo^4 b^2]^(1/2)) / ( 2 vo^2)

ro = - G M / vo^2 +- [(G M / vo^2)^2 + b^2]^(1/2)

 

ro- = - G M / vo^2 – [(G M / vo^2)^2 + b^2]^(1/2) < 0 (descartada)

ro+ = - G M / vo^2 + [(G M / vo^2)^2 + b^2]^(1/2))

 

Reemplazando en vA

vA  = vo b / (- G M / vo^2 + [(G M / vo^2)^2 + b^2]^(1/2))

 

 

 

b-    Después de engancharse con el resorte, encuentre la velocidad de la partícula (componentes radial y tangencial) cuando ésta se halla a una distancia d = 2r₀ del punto O. Exprese el resultado en términos de r₀ y de los datos del problema.

 

Punto B

d = distancia del punto O = 2 ro

 

 

Momento angular (L)

 

Momento angular (Lo)

Lo = m b vo

 

Momento angular en B (LB)

LB = m rB x vB

 

Donde

LB = momento angular B

rB = distancia a O = 2 ro ǔr

vB = velocidad en el punto B = vBr ǔr + vBp ǔp

vBr = velocidad radial

ǔr = versor radial

vBp = velocidad tangencial

ǔp = versor tangencial

x = producto vectorial

 

Reemplazando

LB = m 2 ro vBp

 

Igualando

m b vo = m 2 ro vBp à vBp = b vo / (2 ro)

 

 

Energía mecánica (Em)

 

Energía mecánica en A (Emo)

Emo = 1 /2 m vo^2

 

 

Energía mecánica en B (EmB)

 

EmB = EcB + VB + EpeB

 

Donde

EmB = energía mecánica en B

EcB = energía cinética en B = 1 /2 m vB^2

vB = velocidad en el punto B = vBr ǔr + vBp ǔp

vBr = velocidad radial

vBp = velocidad tangencial = b vo / (2 ro)

 

VB = energía potencial = - G M m / rB

rB = posición B = 2 ro

 

EpeB = energía potencial elástica = 1 /2 k ∆x^2

k = constante elástica

∆x = variación de la longitud del elástico = 2 ro – ro = ro

 

reemplazando

EmB = 1 /2 m (vBr^2 + (b vo / (2 ro))^2) – G M m / (2 ro) + 1 /2 k ro^2 

 

Igualando

1 /2 m vo^2 = 1 /2 m vBr^2 + 1 / 2 m b^2 vo^2 / (2 ro)^2 –   G M m / (2 ro) + 1 /2 k ro^2

Despejando vBr

vBr = [ vo^2 -  1/ 4 (b vo / ro)^2 +   G M / ro -   k/ m ro^2]^(1/2)

 

              

Física 1 (Exactas) Práctica 10.7 - Gravitación

Considere dos partículas de masa m que interactúan gravitatoriamente entre sí. Las partículas pueden moverse sobre una mesa horizontal libre de rozamiento. En el instante inicial (t = 0) las partículas se hallan separadas una distancia d y se le da a cada una de ellas una velocidad de módulo v₀ y dirección indicada en la Figura.

 

a)      Indique en un diagrama todas las fuerzas que actúan sobre cada partícula. Para el sistema formado por las dos partículas diga, justificando su respuesta, si se conserva o no los momentos lineal y angular, y la energía mecánica. 

 

DCL

 

Peso = P = m g

Normal = N = reacción del plano

Fg = fuerza gravitatoria entre ambas masas = G m / d^2

 

Momento lineal (p)

Suma de las fuerzas externas (al sistema) = 0 à p se conserva

 

Momento angular (L)

P y N se auto cancelan

La fuerza interna (Fg) es central à torque = 0 à L se conserva

 

Energía mecánica (Em)

P y Fg son fuerzas conservativas

N es una fuerza vertical y el desplazamiento en radial à no hay trabajo

 à Em se conserva 

 

 

b)     Halle la velocidad del centro de masa del sistema en el instante inicial. Diga qué tipo de movimiento describe el centro de masa para t > 0. 

 

vCM = (m1 v1 + m2 v2) / (m1 + m2)

 

Donde

vCM = velocidad del centro de masa

m1 = m2 = m = masa

v1 = velocidad de la masa 1 = vo

v2 = velocidad de la masa 2 = - vo

 

Reemplazando

vCM = (m vo + m (-vo)) / (m + m) = 0

 

Como ∑ Fext = 0 à aCM = 0

 

CM pertenece en la posición inicial

 

c)      Para cada una de las partículas, calcule el vector velocidad (componentes paralela y perpendicular al segmento que las une) cuando las partículas se hallan separadas una distancia d/2. 

 

Componente perpendicular de la velocidad (vp)

 

L = r x m v (producto vectorial)

 

Donde

L = momento angular

r = vector desde la masa hasta el centro de masa = r ǔn

r = distancia al centro

ǔn = versor normal

m = masa

v = velocidad de cada masa = vp ǔp + vn ǔn

vp = velocidad perpendicular

ǔp = versor perpendicular

vn = velocidad normal

 

Reemplazando

L = m r vp

 

Momento angular inicial (Lo)

r = d / 2

vp = vo sen α

 

reemplazando

Lo = m d /2 vo sen α + m d /2 vo sen α = m d vo sen α

 

Momento angular final (Lf)

r = d / 4

 

reemplazando

Lf = m d /4 vp + m d /4 vp = m d/2  vp

 

Igualando

m d vo sen α = m d/2 vp (Momento angular se conserva)

 

despejando vp

vp = 2 vo sen α

 

 

Componente normal de la velocidad (vn)

 

Em = Ec + Epg

 

Donde

Em = energía mecánica

Ec = energía cinética = 1 /2 m v^2

Epg = energía potencial gravitatoria = G m^2 / rm

G = constante de gravitación universal

rm = distancia entre las masas

 

Energía mecánica inicial (Emo)

v = vo

rm = d

 

Reemplazando

Emo = 1 /2 m vo^2 + 1 /2 m vo^2 – G m^2 / d = m vo^2 – G m^2 / d

 

 

Energía mecánica final (Emf)

rm = d / 2

 

Reemplazando

Emf = 1 /2 m v^2 + 1 /2 m v^2 – G m^2 / (d / 2) = m v^2 –  2 G m^2 / d

 

Igualando

m vo^2 – G m^2 / d = m v^2 –  2 G m^2 / d

 

despejando v^2

v^2 = vo^2 + G m / d

 

Modulo v

| v | ^2 = v^2 = vn^2 + vp^2

 

Reemplazando

vn^2 + vp^2 = vn^2 + (2 vo sen α)^2 = vo^2 + G m / d

 

despejando vn

vn = [vo^2 (1 - 4 (sen α)^2) + G m / d]^(1/2)

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 10.6 - Gravitación

Un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra, a una distancia R de su centro, está compuesto por dos masas m₁ y m₂, unidas entre sí por una barra de longitud L y masa despreciable. Durante todo el movimiento, la barra del satélite se halla orientada en la dirección radial, tal como se muestra en la Figura. Considere que la Tierra permanece fija y desprecie la atracción gravitatoria entre las masas que forman el satélite.

 

a)      Dibuje las fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas. Plantee las ecuaciones de Newton y las condiciones de vínculo que rigen su movimiento. 

 

FG1 = fuerza de atracción gravitatoria = G MT m1 / R^2

T = tensión de la barra

FG2 = fuerza de atracción gravitatoria = G MT m2 / (R + L)^2

 

Ecuaciones de Newton

Masa 1: G MT m1 / R^2 -  T = m1 ω1^2 R

Masa 2:  G MT m2 / (R + L)^2 + T = m2  ω2^2 (R + L)

 

Donde

G = constante de gravitación universal

MR = masa de la Tierra

m1 = masa 1

R = distancia de la masa 1 al centro de la Tierra

 ω1 = velocidad angular de la masa 1

T = tensión de la barra

m2 = masa 2

L = distancia entre las dos masas

 ω2 = velocidad angular de la masa 2

 

Condición de vinculo

L = longitud de la barra (constante)

ω1 = ω2 = ω = velocidad angular

 

 

 

b)     Calcule la velocidad angular del movimiento de rotación del satélite y el valor de la tensión ejercida por la barra sobre cada una de las masas. 

 

Sumando ambas ecuaciones de Newton

 G MT (m1 / R^2 + m2 / (R + L)^2)  = ω^2 (m1 R + m2 (R + L))

 

Despejando (ω)

ω = [ G MT (m1 / R^2 + m2 / (R + L)^2) / (m1 R + m2 (R + L)) ]^(1/2)

 

Reemplazando en la Tension (T)

T = G MT m1 / R^2 -  m1 ω^2 R

 

 

c)      En un dado instante se corta la barra que une ambas partes del satélite. A partir de ese momento, utilizando las magnitudes que se conservan, determine cualitativamente la trayectoria de la masa m₁. Justifique su respuesta.

 

Momento angular

La fuerza gravitatoria y el vector distancia son colineales.

No hay torque à El momento angular se conserva

 

Energía mecánica

No hay fuerzas NO conservativas à La energía mecánica se conserva

 

 

En el momento del corte

v1 = ω R

 

Donde

v1 = velocidad de la masa 1

ω = velocidad angular en el momento del corte

 

Analizando la ecuación de Newton

m1 ω^2 R = G MT m1 / R^2 -  T < G MT m1 / R^2

 

Despejando ω^2

ω^2  < G MT / R^3

 

v1 = ω R <  [G MT / R]^(1/2)

 

 

Masa 1 sola en órbita circular

G MT m1 / R^2 = m1 vcir^2 / R

 

Con vcir = velocidad tangencial en órbita circular

 

Despejado vcir

vcir = [G MT / R]^(1/2)

 

Comparando ambas ecuaciones

v1 < vcir  à La velocidad es menor a la necesaria para mantenerla en la órbita R

 

La m1 comienza a caer hacia la Tierra

La trayectoria es una elipse. El punto de corte es el punto más alto de la órbita.