Física 1 (Ing.) Práctica 2.23 - Trabajo y Energía

Una partícula se mueve a lo largo de una línea donde la energía potencial de su sistema depende de su posición r como indica la figura. En el límite, cuando r aumenta indefinidamente, la energía potencial U(r) tiende a: 1 J.

 

 

a.     Identificar cada posición de equilibrio para esta partícula. Indique si cada una es un punto de equilibrio estable, inestable o neutro.

 

Posición de equilibrio à dU / dr = 0 à recta tangente horizontal

Punto A: mínimo àequilibrio estable

 

Punto B: máximo àequilibrio inestable

 

Punto C: mínimo àequilibrio estable

 

Punto D: máximo àequilibrio inestable

 

Punto E < r à energía potencial constante à equilibrio neutro

 

  

b.     ¿La partícula estaría acotada en su movimiento, si la energía total del sistema está en ese intervalo?

 

E = energía total

 

E > UD à movimiento NO acotado

 

E < UD à Movimiento acotado (la partícula no puede seguir al infinito)

 

 

Ahora suponer que el sistema tiene energía de -3 J. Determinar:

 

c.      El intervalo de posiciones donde se puede encontrar la partícula.

 

E = Ec + U

 

Ec = energía cinética

 

Si E = - 3 J y Ec ≥ 0  à  U ≤ - 3 J à línea verde

 

 

  

d.     Su Ec máxima

 

Ec max = E – Umin 

 

Con

Umin ≈  - 6 J

 

Ec max = E – Umin = - 3 J – (- 6 J) ≈ 3 J

 

  

e.      La ubicación donde tiene Ec máxima

 

Punto A: mínimo

 

 

f.      La energía de enlace del sistema, esto es, la energía adicional que tendría que darse a la partícula para moverla a r tendiente a infinito.

 

ΔE = Umax – E

 

Con

Umax ≈ 1,2 J

 

 ΔE ≈ 1,2 J – (- 3 J) = 4,2 J  

Física 1 (Ing.) Práctica 2.22 - Trabajo y Energía

Un furgón minero cargado tiene una masa de 950 kg y rueda sobre rieles con fricción despreciable. Parte del reposo, y un cable conectado a un malacate* tira de él a través de la mina. Los rieles tienen una inclinación de 30º con respecto a la horizontal. El furgón acelera de manera uniforme a una rapidez de 2.2 m/s en 12 s y después continúa con rapidez constante.

 

a.     ¿Qué potencia debe proporcionar el motor del malacate cuando el furgón se mueve con rapidez constante?

Pot = T v (si v = cte)  

 

Donde

Pot = potencia

T = tensión = Px = m g sen 30°

m = masa = 950 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

v = velocidad = 2,2 m/s

 

reemplazando

Pot = m g sen 30° v = 950 kg 10 m/s² 2,2 m/s = 10450 w

 

  

b.     ¿Qué potencia máxima debe proporcionar el motor del malacate? 

 

Pot max = T vmax

 

Donde

Pot max = potencia (corresponde a v max)

T = tensión = m a + Px = m a + m g sen 30°

a = aceleración del vagón = (vf – vo) / t

vf = velocidad final (máxima) = 2,2 m/s

vo = velocidad inicial = 0

t = tiempo transcurrido = 12 s 

 

reemplazando

Pot max = T vmax = (m vf / t + m g sen 30°) vf = 

              = 950 kg (2,2 m/s / 12 s + 10 m/s² * 0,5) 2,2 m/s = 10833 w

  

 

c.      ¿Qué energía total transfirió el motor en forma de trabajo mecánico, cuando el furgón recorrió 1250 m sobre los rieles? 

 

W = ΔEm

 

Donde

W = trabajo entregado del malacate

ΔEm = variación de la energía mecánica = Emf – Emi

Emf = energía mecánica final = Ecf + Epf

Ecf = energía cinética final = 1 /2 m vf^2

m = masa del vagón = 950 kg

vf = velocidad final = 2,2 m/s

Epf = energía potencial final = m g h

h = altura final = d sen 30°

d = distancia recorrida = 1250 m

Emi = energía mecánica inicial = Eci + Epi

Eci = energía cinética inicial = 0 (velocidad inicial = 0)

Epi = energía potencial inicial = 0

 

Reemplazando

W = 1 /2 m vf^2 + m g d sen 30°

     = 1 /2 * 950 kg (2,2 m/s)^2 + 950 kg 10 m/s² 1250 m * 0,5 = 5,94 x 10^6 J

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.21 - Trabajo y Energía

Una lámpara de bajo consumo de 15 W, produce la misma luminosidad que una lámpara de filamento que consume 75 W. El tiempo de vida de la lámpara de bajo consumo es de 6.000 hs y su precio de U$S 12,7. Una lámpara de filamento tiene un tiempo de vida de 900 hs y su precio U$S 3,2. Determinar el ahorro total que se obtiene al usar una lámpara de bajo consumo durante su tiempo de vida, con respecto al uso de una lámpara de filamento durante el mismo intervalo de tiempo. Suponga un costo de energía de U$S 0,032 por kW-h. 

 

Lámpara bajo consumo

 

Consumo eléctrico = 15 W * 6 000 hs = 90 000 W-h = 90 kW-h

Costo del consumo = 90 kW-h * u$s 0,032 / kW-h = u$s 2,88

 

Costo de la lámpara = u$s 12,70

 

Costo total lámpara bajo consumo = u$s 2,88 + u$s 12,70 = u$s 15,58

 

 

Lámpara de filamento

 

Consumo eléctrico = 75 W * 6 000 hs = 450 000 W-h = 450 kW-h

Costo del consumo = 450 kW-h * u$s 0,032 / kW-h = u$s 14,40

 

Cantidad de lámparas = 6000 hs / 900 hs = 7 lámparas

Costo de la lámpara = 7 lámparas u$s 3,20 = u$s 22,40  

 

Costo total lámpara bajo consumo = u$s 14,40 + u$s 22,40 = u$s 36,80

 

ΔCosto = u$s 36,80 - u$s 15,58 = u$s 21,22

 

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.20 - Trabajo y Energía

Realizar una estimación del orden de magnitud de la potencia que aporta el motor de un automóvil para acelerar el auto desde el reposo a rapidez de autopista. Indicar claramente los valores que toma como datos.

 

Pot = W / t

 

Donde

Pot = potencia

W = trabajo = ΔEc

ΔEc = variación de la energía cinética = Ecf – Eci

Ecf = energía cinética final = 1 /2 m vf^2

m = masa = 1500 kg

vf = velocidad final = 120 km/h (1000 m / 1 km) (1 h / 3600 seg) = 33,33 m/s

Eci = energía cinética inicial = 1 /2 m vi^2

vi = velocidad inicial = 0

 Δt = tiempo de aceleración = 10 seg

 

Reemplazando

Pot = 1 /2 m (vf^2 – vi^2) / Δt = 1 /2 * 1500 kg (33,33 m/s)^2 / 10 seg =

      = 4,17 x 10^4 W

 

Orden de magnitud = 10^5

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.19 - Trabajo y Energía

 a.     Explicar qué representa 1 HP y buscar su equivalencia en el sistema MKS.

 

1 HP = la capacidad de realizar un trabajo mecánico equivalente a levantar una masa de 75

kg a una altura de 1 metro en 1 segundo (bajo la gravedad de la Tierra)

 

1 Watt (MKS) = 1 Joule / 1 seg = 1 kg m^2 / seg^3

 

1 HP = 75 kg 10 m/seg^2 1 m / 1 seg = 750 Watt

 

 

b.     ¿Por qué se dice que cuando se compra un auto se paga su “potencia” pero en el uso cotidiano del mismo lo que se paga es su “energía”?

 

Potencia = HP

 

Energía = kW- h (potencia x tiempo)

 

 

c.      Sofía de 20 años y su abuelo de 70 años suben al primer piso de un edificio por la misma escalera. Como con respecto al piso ambos llegan a la misma altura, los dos realizan el mismo cambio de energía potencial. ¿Ambos realizan el mismo trabajo? ¿Desarrollan la misma potencia? Justifique.

 

WPS = mS g h

WPA = mA g h

 

Donde

WPS = trabajo del peso de Sofía

mS = masa de Sofía

h = altura

WPA = trabajo del peso del abuelo

mA = masa del abuelo

 

El trabajo depende linealmente de la masa

 

PotS = WS / t

PotA = WA / t

 

Donde

PotS = potencia de Sofía

PotA = potencia del abuelo

tS = tiempo que tarda Sofía en subir

tA = tiempo que tarda el abuelo en subir

 

Reemplazando

PotS = mS g h / tS

PotA = mA g h / tA

 

La potencia depende linealmente de la masa e inversamente proporcional al tiempo

 

 

d.     ¿Se puede almacenar potencia?

 

No. La potencia no se puede almacenar

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.18 - Trabajo y Energía

Se tiene una partícula de masa m que desliza sobre una rampa sin roce de radio R. La partícula esta inicialmente en reposo en la parte más baja. Mediante la aplicación de una fuerza horizontal de módulo variable, se la lleva a una posición tal que el ángulo con la vertical es casi 90º. Considerar que el desplazamiento de la partícula es muy lento (velocidad muy baja = movimiento cuasiestacionario. Esta aproximación permite considerar a la partícula en sucesivos estados de equilibrio lo cual facilita el planteo).

 

 

a.     Explicar cómo calcular el trabajo de todas y cada una de las fuerzas que están aplicadas sobre la partícula. 

 

 

Trabajo de la Normal (N)

 

WN = ∫ N . dr 

 

 

Donde

WN = trabajo de la Normal

N = Normal = reacción de la rampa (ǔr)

dr = diferencial de desplazamiento 

 

r = θ R

 

Donde

.r = desplazamiento

.θ = ángulo barrido

 R = radio de la rampa

 

diferenciando

dr = R dθ (ǔθ)

 

(ǔr) = versor radial

(ǔθ) = versor tangencial

 

Reemplazando

N (ǔr) . R dθ (ǔθ) = 0  à WN = 0

 

 

Trabajo del Peso (P)

 

WP = ∫ P . dy 

 

Donde

WP = trabajo de la fuerza peso

P = peso = m g (-ǰ)

dy = vector desplazamiento vertical (ǰ)

 

Reemplazando

WP = - ∫ m g dy entre yi = 0 a yf = R

 WP = - m g R

 

 

Trabajo de la Fuerza (F)

 

WF = ∫ F . dx 

 

Donde

WF = trabajo de la fuerza

F = fuerza externa (ǐ)  (Modulo variable)

dx = vector desplazamiento horizontal (ǐ)

 

 

W = ΔEc

 

Donde

W = trabajo total = WN + WP + WF

ΔEc = variación de energía cinética = 0 (movimiento cuasiestacionario)

 

Reemplazando

0 – m g R + WF = 0 à WF = m g R

 

 

b.     Si alguna de las fuerzas es conservativa explicar qué relación hay entre el trabajo de dicha fuerza y la energía potencial. 

Indicar los marcos referenciales correspondientes y todos los pares de interacción de las fuerzas que se aplican sobre la partícula.

 

Sistema de referencia inercial (SRI)

Solidario a la superficie de la Tierra y con el origen en el punto más bajo de la rampa

 

Fuerzas conservativas

P = peso

Par de acción y reacción en el centro de la Tierra

 

Fuerzas no conservativas

N = reacción normal

Par de acción y reacción en la rampa

 

F = fuerza externa

Par de acción y reacción la partícula ejerce una fuerza igual y opuesta hacia la izquierda sobre el agente externo que ejerce la fuerza

 

WP = - ΔEp

 

Donde

WP = trabajo de la fuerza Peso

ΔEp = variación de la energía potencial = Epf – Epi

Epf = energía potencial final = m g R

Epi = energía potencial inicial = 0

 

Reemplazando

 WP = - (m g R – 0) = - m g R

 

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.17 - Trabajo y Energía

 Analizar el movimiento de un péndulo ideal desde el punto de vista energético. Para el péndulo oscilando exprese, como función de la altura de la masa: 

 

 

 

a.     su velocidad;

 

ΔEm = Em – Emo

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica = 0

Emo = energía mecánica en el punto más alto = Eco + Epo

Eco = energía cinética = 0 

Epo = energía potencial = m g H

H = altura máxima

Em = energía mecánica = Ec + Ep

Ec = energía cinética = 1 /2 m v^2

v = velocidad

Ep = energía potencial = m g h

h = altura

 

Reemplazando

m g H = m g h + 1 /2 m v^2

 

Despejando v

v = [2 g (H – h)]^(1/2)

 

  

b.     su desplazamiento angular;

 

h = L – L cos α

 

Despejando cos α

cos α = (L – h) / L = 1 – h / L

 

 

c.      la fuerza tangencial a su trayectoria;

 

 

Ft = - Pt = - m g sen α

 

sen α = [1 – (cos θ)^2]^(1/2) = [1 – (1 – h / L)^2]^(1/2) 

          = [2 h/L – (h/L)^2]^(1/2)

 

Reemplazando

Ft = - m g [2 h/L – (h/L)^2]^(1/2)

 

 

d.     su aceleración tangencial; 

 

Ecuación de Newton

 - m g sen α = m at

 

Con

at = aceleración tangencial = v^2 / L

 

Despejando at

at = - g [2 h/L – (h/L)^2]^(1/2)

  

 

e.      su aceleración normal.

 

ac = v^2 / L

 

Con

ac = aceleración normal = v^2 / L

 

Reemplazando

ac = 2 g (H – h) / L

 

 

f.      Cuánto vale la tensión en el hilo al pasar la lenteja por: 

 

Ecuación de Newton

T – m g cos α = m ac

 

Donde

T = tensión

ac = aceleración normal = v^2 / L

v = velocidad = [2 g (H – h)]^(1/2)

H = altura máxima = L – L cos αmax

h = altura = L – L cos α

H – h = L – L cos αmax – (L – L cos α) = L (cos α - cos αmax)

 

Reemplazando

T = m 2 g (cos α - cos αmax) + m g cos α = m g (3 cos α – 2 cos αmax)

 

i-                la posición de equilibrio;

 

posición de equilibrio à α  = 0

 

Reemplazando en T

T = m g (3 – 2 cos αmax)

 

 

ii-              la máxima elongación;

 

máxima elongación à α  = αmax

 

reemplazando en T

T = m g cos αmax

 

 

iii-             α = αmáximo / 2

 

Reemplazando

T = m g (3 cos (αmax / 2) – 2 cos αmax)

 

 

f.     Si al pasar por la vertical el hilo hace tope en un clavo “A” (ver figura), la altura a la que subirá la lenteja ¿será mayor, igual o menor, que en el caso en que el hilo no hace tope en A? Justificar.

  

Emo = Emf

 

Donde

Emo = energía mecánica inicial = Eco + Epo

Eco = energía cinética inicial = 0

Epo = energía potencial inicial = m g H

H = altura inicial

Emf = energía mecánica final = Ecf + Epf

Ecf = energía cinética final = 0

Epf = energía potencial final = m g hf

hf = altura final

 

Reemplazando

m g H = m g hf à  H = hf