Física 1 - Exactas
Práctica 10 - Gravitación
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martes, 30 de junio de 2026
Física 1 (Exactas) Práctica 10.1 - Gravitación
Considere dos partículas de masas M1 y M2 fijas y separadas por una distancia D. Una tercera partícula de masa m se mueve bajo la atracción gravitatoria de las otras dos. Suponga que m se mueve sobre la recta que une a M1 y M2, considerando que puede hallarse entre ambas o bien a la izquierda o a la derecha de ellas.
a) Escriba la fuerza neta sobre m, en función de la
posición.
F = G M m / r^2
Donde
F = fuerza gravitatoria entre M y m
G = constante universal de
gravitación
M, m = masas
r = distancia entre M y m
Posición de las masas
M1: (0; 0)
M2: (D; 0)
i.
m entre M1 y M2
F = F1 + F2
Donde
F = fuerza neta sobre m
F1 = fuerza gravitatoria
ejercida sobre m por M1 = - G M1 m / x^2 (ǐ)
M1, M2 = masas fijas
x = distancia entre M1 y m
F2 = fuerza gravitatoria
ejercida sobre m por M2 = G M2 m / (D – x)^2 (ǐ)
D = distancia entre M1 y M2
Reemplazando
F = - G M1 m / x^2 (ǐ) + G M2 m / (D
– x)^2 (ǐ)
ii. m a la izquierda de M1
F = F1 + F2
Donde
F = fuerza neta sobre m
F1 = fuerza gravitatoria
ejercida sobre m por M1 = G M1 m / x^2 (ǐ)
F2 = fuerza gravitatoria
ejercida sobre m por M2 = G M2 m / (D - x)^2 (ǐ)
Reemplazando
F = G M1 m / x^2 (ǐ) + G M2 m / (D -
x)^2 (ǐ)
iii. m a la derecha de M2
F = F1 + F2
Donde
F = fuerza neta sobre m
F1 = fuerza gravitatoria
ejercida sobre m por M1 = - G M1 m / x^2 (ǐ)
F2 = fuerza gravitatoria
ejercida sobre m por M2 = - G M2 m / (x - D)^2 (ǐ)
Reemplazando
F = - G M1 m / x^2 (ǐ) - G M2 m / (x
– D)^2 (ǐ)
b) Calcule y grafique el potencial.
V(r) = - G M m / r
Donde
V(r) = potencial gravitatorio
r = distancia
i.
Potencial entre M1
y M2 (0 < x < D)
V(x) = V1(x) + V2(x)
Donde
V(x) = potencial gravitatorio neto
V1(x) = potencial gravitatorio generado por M1 = - G M1 m / | x |
V2(x) = potencial gravitatorio generado por M2 = - G M2 m / | D – x |
Reemplazando
V(x) = - G M1 m / | x | – G M2
m / | D – x |
ii.
Potencial a la
izquierda de M1 (x < 0)
V(x) = V1(x) + V2(x)
Donde
V(x) = potencial gravitatorio neto
V1(x) = potencial gravitatorio generado por M1 = G M1 m / | x |
V2(x) = potencial gravitatorio generado por M2 = - G M2 m / | D – x |
Reemplazando
V(x) = G M1 m / | x | – G M2 m
/ | D – x |
iii.
Potencial a la derecha
de M2 (D < x)
V(x) = V1(x) + V2(x)
Donde
V(x) = potencial gravitatorio neto
V1(x) = potencial gravitatorio generado por M1 = - G M1 m / | x |
V2(x) = potencial gravitatorio generado por M2 = G M2 m / | x – D |
Reemplazando
V(x) = - G M1 m / | x | + G M2
m / | x – D |
c) Describa cualitativamente el movimiento de m, para
distintos valores de su energía mecánica.
Em = Ec + V(x)
Donde
Em = energía
mecánica
Ec =
energía cinética
V(x) =
energía potencial
Em se
conserva y Ec > 0 à la partícula
solo puede moverse en las regiones Em ≥ V(x)
Potencial máximo à F1 = F2
Reemplazando
G M1 m / x^2 = G M2 m / (D – x)^2
Despejando x
.xmax = M1^(1/2) / (M1^(1/2) + M2^(1/2)) D
Reemplazando en V(x)
Vmax = - G m / D [M1^(1/2) +
M2^(1/2)]^2
Caso 1. Em ≥ 0 y 0 < x < D
La partícula
tiene suficiente energía para superar la barrera Vmax y se moverá libremente
hasta chocar con alguna de las masas (M1 ó M2)
Caso 2. Em ≥ 0 y x < 0
ó D < x
El
movimiento no está acotado hacia el infinito.
Caso 3. Vmax
< Em < 0 y 0 < x < D
La partícula
tiene suficiente energía para superar la barrera Vmax y se moverá libremente
hasta chocar con alguna de las masas (M1 ó M2)
Caso 4. Vmax
< Em < 0 y x < 0 ó D < x
La
partícula tiene un punto de retorno donde su velocidad se hace cero, por lo que
no puede escapar al infinito. Será atraída de vuelta y colisionará con la masa
exterior.
Caso 5. Em <
Vmax y 0 <
x < D
La
partícula queda atrapada en uno de los dos pozos (a la derecha e izquierda de
xmax)
lunes, 29 de junio de 2026
Física 1 (Exactas) Práctica 9.10 - Teoremas de conservación
En la Figura se muestra un sistema compuesto por un resorte de constante elástica k, longitud libre lo y masa despreciable y dos partículas de masas m1 y m2. El sistema está apoyado sobre una mesa libre de rozamiento. Inicialmente el sistema está en reposo y la distancia d entre las partículas es tal que d = l0. En cierto instante to se le imprime a m1 una velocidad v1 como la de la Figura y simultáneamente se le imprime a m2 una velocidad v2 tal que el centro de masa del sistema tiene velocidad nula en ese instante.
a. Halle
el vector velocidad v2
y la m1
distancia que hay inicialmente (antes de t0)
entre m2
y el centro de masa del sistema.
Velocidad del centro de masa
donde
.CM =
velocidad del centro de masa = 0
m1, m2 =
masa de las partículas
v1 =
velocidad de la particula 1 (ǐ)
v2 =
velocidad de la particula 2
reemplazando
y despejando v2
v2 = - m1/m2 v1 (ǐ)
Centro de masa
masa 1 (0 ; lo)
masa 2 (0 ;
0)
xCM = 0
yCM = (m1
lo + m2 0) / (m1 + m2) = m1 lo / (m1 + m2)
d2 = distancia entre el centro de masa y m2 = m1 lo / (m1 + m2) – 0 = m1 lo / (m1 + m2)
b. Diga
justificando su respuesta si para todo instante posterior a to
se conserva o no, para este sistema, el momento lineal p, el momento angular respecto
del centro de masa LCM y la energía mecánica total Em.
Momento lineal (p)
No hay
fuerzas externas al sistema à p se conserva
Momento angular (LCM)
La línea de
acción de la fuerza elástica pasa por el
CM à Torque = 0 à LCM se conserva
Energia mecánica (Em)
No hay fuerzas no
conservativas en el sistema à Energia mecánica se conserva
c.
Calcular p, LCM y Em en el instante to en función de datos.
Momento lineal total (p)
donde
p = memento lineal total
M = masa total = m1 + m2
vCM = velocidad del centro de
masa = 0
Reemplazando
p = ( m1 + m2) *
0 = 0
Momento angular (respecto del centro de masa) LCM
LCM = r1 x (m1 v1) + r2 x (m2 v2)
donde
LCM = momento angular respecto
del CM
r1 = distancia de la
particula 1 al CM = (lo – d2) (ǰ) = m2
lo / (m1 + m2) (ǰ)
v1 = velocidad de la
particula 1 = v1 (ǐ)
r2 = distancia de la
particula 2 al CM = - d2 (ǰ) = - m1 lo /
(m1 + m2) (ǰ)
v2 = velocidad de la
particula 2 = - m1 / m2
v1 (ǐ)
Reemplzando
LCM = m2 lo / (m1 + m2) (ǰ) m1
v1 (ǐ) + (- m1 lo / (m1 + m2)) (ǰ) m2 (- m1/m2 v1) (ǐ) =
LCM = m1 lo v1 (-ǩ)
Energia mecánica (Em)
Em = Ec1 + Ev2 + Epe
donde
Em = energía mecánica
Ec1 = energía cinetica
particula 1 = 1 /2 m1 v1^2
Ec2 = energía cinetica
particula 2 = 1 /2 m2 v2^2
Epe = energía potencial
elástica = 1 /2 k (lo - lo)^2 = 0
Reemplazando
Em = 1 /2 m1 v1^2 + 1 /2 m2
(m1/m2 v1)^2
Em = 1 /2 m1 v1^2
(1 + m1/m2)
d.
Dibuje el sistema en un instante arbitrario t,
posterior a t0 y diga cuánto vale la velocidad del centro de masa en
ese instante. Si en t, v1′ y v2′ son las
velocidades de m1 y m2, respectivamente, escriba v2′ en función de v1′ y de datos. Si r1′ y r2′ son las
distancias desde el centro de masa hasta m1 y m2, respectivamente
en el tiempo t, escriba r2′ en función de r1′ y de datos.
Momento lineal se conserva y
vCM (to) = 0 à vCM(t) = 0
vCM(t) = (m1 v1´ + m2 v2´) / (m1 + m2) = 0
despejando v2´
v2´ = - m1 / m2 v1´
Si el centro de coordenadas =
centro de masa (CM)
CM = (m1 r1´ + m2 r2´) / (m1 + m2) = 0
despejando r2´
r2´ = m1/m2 r1´
e.
Dé una expresión para LCM (t). Halle la velocidad angular del sistema, ω, en
función de datos y de r1′.
Momento angular se conserva à LCM(to) = LCM(t)
donde
LCM(to) = momento angular en
to = - m1 lo v1 (ǩ)
LCM(t) = momento angular en t
= ICM ω
ICM = momento de inercia = m1
r1´^2 + m2 r2´^2
ω = velocidad angular
reemplazando
m1 lo v1 = (m1 r1´^2 + m2 (m1
r1´/ m2)^2) ω
despejando ω
ω = m2 lo v1 / (r1´^2 (m1 + m2))
f.
Escriba una expresión para Em(t) en función de
datos y de r1′ y dr1′/dr′. ¿Qué ecuación diferencial se obtiene para r1′?
Em
= Ec1t + Ec1r + Ec2t + Ec2r + Epe
donde
Em = energia mecanica total
Ec1t = energía cinetica de
traslación de la particula 1 = 1 /2 m1 v1´^2
v1´ = velocidad de la
particula 1 = d r1´ / dt
Ec1r = energía cinetica de
rotacion de la particula 1 = 1 /2 m1 (r1´ ω)^2
ω = velocidad angular = m2
lo v1 / (r1´^2 (m1 + m2))
Ec2t = energía cinetica de
traslación de la particula 2 = 1 /2 m2 v2´^2
v2´ = velocidad de la
particula 2 = d r2´ / dt
Ec2r = energía cinetica de
rotacion de la particula 2 = 1 /2 m2 (r2´
ω)^2
Epe = energía potencial elástica = 1 /2 k (l - lo)^2
.l = longitud del resorte
estirado
Si r2´ = m1/m2 r1´ à
derivando àd r2´ / dt = m1/m2
d r1´ / dt
l = r1´ + r2´= r1´+ m1/m2 r1´
= r1´ (1 + m1/m2)
Reemplazando y agrupando
Em
= Ect + Ecr + Epe
Ect
= 1 /2 m1 (d r1´/ dt)´^2 + 1 /2 m2 ( m1 / m2)^2 (d r1´/ dt)^2
= 1 /2 m1/m2
(m1 + m2) (d r1´/ dt)^2
Se define A = m1/m2 (m1 + m2)
Ect = A / 2 (d r1´/ dt)^2
Ecr = (1 /2 m1 r1´^2 (m2 lo v1 / (r1´^2 (m1 + m2))^2 + 1 /2 m2 (m1/m2 r1´)^2) (m2 lo v1 / (r1´^2 (m1 + m2))^2
= 1 /2 m1 m2 lo^2 v1^2 / (m1 + m2) 1 /
r1´^2
Se define B = m1 m2 lo^2 v1^2
/ (m1 + m2)
Ecr = B / 2 / r1´^2
Epe = 1 /2 k (r1´ (m1 + m2)/m2
- lo))^2
Reemplazando
Em = A/2 (d r1´/ dt)^2 + B/2 1 /
r1´^2 + 1 /2 k (r1´ (m1 + m2)/m2 - lo))^2
Derivando Em y ∆Em = 0 à dEm / dt = 0
dEm / dt = A/2
2 (d r1´/ dt) (d2 r1´/
dt2) – B/2 2 (1/r1´^3)
d r1´/dr + 1 /2 k 2 (r1´ (m1 + m2)/m2 - lo)) ( m1+m2)/m2
dr1´/ dt = 0
reordenando y simplificando d
r1´/ dt
dEm / dt = A (d2 r1´/ dt2) – B
(1/r1´^3) + 1 /2 k 2 (r1´ (m1 + m2)/m2 - lo)) ( m1+m2)/m2
= 0
Se define C = k (m1 + m2)^2/
m2^2
Se define D = k (m1 + m2)/ m2 lo
Reemplazando
dEm / dt = A (d2
r1´/ dt2) – B (1 / r1´^3) + C
r1´ - D
(d2 r1´/ dt2) – B / A (1 / r1´^3) + C / A r1´ - D
/ A = 0
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