Física 1 (Exactas) Práctica 11.6 - Cinemática del cuerpo rígido

El eje instantáneo de rotación es el conjunto de puntos que tienen velocidad nula en un dado instante.

 

a.      Demuestre que, si existe, es una recta paralela a Ω

 

vI = vA + Ω x rIA

 

Donde

vI = velocidad de un punto I perteneciente al eje instantáneo de rotación = 0

vA = velocidad de un punto cualquiera

 Ω = velocidad angular

rIA = vector entre IA

x = producto vectorial

 

Multiplicando vectorialmente (x) ambos miembros por Ω

Ω x vI = Ω x vA + Ω x (Ω x rIA) = 0

 

Usando las propiedades del doble producto vectorial en el segundo termino

Ω x vA + Ω (Ω . rIA) - rIA (Ω . Ω) = 0

 

 

Si el eje existe à Ω x rIA  = 0 à rIA es paralela a Ω   

 

Despejando rIA

rIA = Ω x vA / Ω^2

 

Este es un punto del eje instantáneo de rotación.

La recta contiene al punto rIA y es paralela a Ω

 

Recta: r: rIA + λ Ω

 

Reemplazando

r: Ω x vA / Ω^2 + λ Ω 

 

Nota: Doble producto: a x (b x c) = b (a . c) – c (a . b)

 

  

b.      Demuestre que si hay un punto P del cuerpo tal que vP . Ω ≠ 0, entonces no hay eje instantáneo de rotación.

 

vP . Ω = vI . Ω

 

Con vP = velocidad de cualquier punto del cuerpo

 

Si existe el eje instantáneo à vI = 0

 

Reemplazando

vP . Ω = 0  (Falso ver enunciado) à NO existe el eje instantáneo de rotación

 

Las dos propiedades fundamentales del campo de velocidades del cuerpo rígido:

·       El eje instantáneo de rotación es una línea recta con la dirección de Ω

·       Su existencia requiere obligatoriamente que el producto escalar entre la velocidad de cualquier punto y la velocidad angular sea nulo.

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 11.5 - Cinemática del cuerpo rígido

El centro de una esfera describe un movimiento circular uniforme de velocidad angular ω alrededor de un punto O. Simultáneamente la esfera gira sobre sí misma, de tal forma que un punto A de la misma demora un tiempo τ en volverse a enfrentarse con el punto O (ver Figura).

 

 

 

a)      Encuentre la velocidad de rotación de la esfera Ω

 

 Ω rel = Ω – ω

 

Donde

Ω rel = velocidad relativa (respecto de O) = 2 π / τ

τ = Periodo (tiempo que tarda en dar una vuelta completa el punto A respecto de O)  

Ω = velocidad de rotación de la esfera

ω = velocidad angular respecto de O

 

Reemplazando y despejando Ω

Ω = ω + 2 π / τ

 

 

 

b)     ¿Cuánto tiempo transcurre entre dos pasajes sucesivos del punto A por extremo inferior de la esfera?

 

∆t = 2 π / Ω

 

Donde

∆t = tiempo que tarda entre dos pasajes sucesivos

 

Reemplazando

∆t = 2 π / (ω + 2 π / τ) = 2 π τ / (ω τ + 2 π)

 

 

 

c)      Si el eje de la Tierra fuera perpendicular a la eclíptica, ¿cuál sería el valor de Ω para la Tierra?

 

τ = 1 día solar = 8,64 x 10^4 seg

ω = 2 π / ∆t

∆t  = 365,25 días ( 8,64 x 10^4 seg / 1 día) = 3,16 x 10^17 seg

 

reemplazando

Ω = 2 π / 3,16 x 10^17 seg + 2 π / 8,64 x 10^4 seg = 7,29 x 10^-5 1/seg

 

Física 1 (Exactas) Práctica 11.4 - Cinemática del cuerpo rígido

 Si quisiera definir un ángulo tal que su derivada respecto del tiempo coincida con Ω (salvo un signo), ¿cómo lo definiría?

 dθ/dt = ± Ω

 

Donde

θ = ángulo barrido

Ω = velocidad angular

+ sentido de giro antihorario

- sentido de giro horario

 

Integrando

θ(t) = ∫ Ω dt

Física 1 (Exactas) Práctica 11.3 - Cinemática del cuerpo rígido

Indique la velocidad de rotación del triángulo en los tres siguientes casos:

Caso A

i.                 Indique la velocidad de rotación del triángulo

 

El triángulo se traslada en forma circular pero NO rota

 

La velocidad de rotación del triángulo es cero à ω = 0

 

ii.               Compare con dθ/dt.

 dθ/dt = velocidad angular que el triángulo se desplaza alrededor del circulo

 dθ/dt ≠ ω

 

 

Caso B

i.                 Indique la velocidad de rotación del triángulo

 

 

El triangulo se traslada en forma circular y el triangulo rota sobre si mismo

 

Cuando el triángulo llega a la parte más baja de la trayectoria (t = t4), recorrió π y el triángulo giro π

ω = ωc

donde

ω = velocidad angular de rotación del triangulo

ωc = velocidad angular de traslación del triangulo sobre el circulo

La velocidad de rotacion del triangulo à ω = dθ/dt

  

ii.               Compare con dθ/dt.

dθ/dt = velocidad angular del triángulo sobre el circulo

El triángulo completa una vuelta al círculo en T (dθ/dt).

El triángulo da una vuelta completa sobre sí mismo en T (ω)

 à dθ/dt = ω

 

 

Caso C

i.                 Indique la velocidad de rotación del triángulo

 

 

El triángulo se traslada en forma circular y el triangulo rota sobre si mismo

 

Cuando el triángulo llega a la parte más baja de la trayectoria (t = t4), recorrió π y el triángulo giro π/2

ω = 1 /2 ωc

La velocidad de rotacion del triángulo  à ω = - 1 /2 dθ/dt (gira en sentido opuesto)

 

ii.               Compare con dθ/dt.

dθ/dt = velocidad angular que el triángulo se desplaza alrededor del circulo

El triángulo completa una vuelta al círculo en T (dθ/dt).

El triángulo da media vuelta sobre sí mismo en T en sentido antihorario (ω)

 à dθ/dt = - 2 ω

 

Física 1 (Exactas) Práctica 11.2 - Cinemática del cuerpo rígido

 Preguntas:

 

a)      ¿Qué dirección debe tener el vector vP − vQ (velocidad relativa de P respecto de Q) para que no cambie la distancia entre los puntos P y Q?

  

Para que la distancia no cambie, la velocidad relativa (VP – VQ) debe ser perpendicular al vector de posición (P – Q)

 

(VP – VQ) . (rP – rQ) = 0

 

 

b)     ¿La expresión vP − vQ = Ω x (rP − rQ) satisface esa condición?

 

Sí. Cumple la condición

 

vP − vQ = Ω x (rP − rQ) 

x = producto vectorial

El resultado de un producto vectorial es siempre perpendicular a los dos vectores que se multiplican

è (vP − vQ) perpendicular a (rP − rQ)

 

Física 1 Practica 11 Indice

  Física 1 - Exactas

Práctica 11 -  Cinemática del cuerpo rígido

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Física 1 (Exactas) Práctica 11.1 - Cinemática del cuerpo rígido

Algunos de los cuerpos de la Figura no son rígidos. Encuéntrelos. No debe hacer cálculos, sólo observar.

 

 

 

Caso A

 

Los vectores VQ y VP igual dirección y sentido opuesto

P se mueve a la izquierda y Q a la derecha à la distancia entre ellos aumenta à el cuerpo se estira

 

NO ES RÍGIDO

 

Caso B

 

VP = 0 à P está quieto

VQ ≠ 0 à Q se aleja se aleja de P à la distancia  entre ellos aumenta à el cuerpos se estira

 

NO ES RÍGIDO.

 

 

Caso C

 Las componentes según la dirección PQ de las velocidades VP y VQ

 

 

Las componentes según la dirección PQ tienen sentidos opuestos à los puntos P y Q se aproximan

 

NO ES RÍGIDO

 

 

Caso D

 

Los vectores VO y VP tienen igual modulo, dirección y sentido à el cuerpo se desplaza

 

ES RÍGIDO

 

 

Caso E

 

Las componentes según la dirección PQ de las velocidades VP y VQ

 

 

Las componentes según la dirección PQ tienen igual sentidos pero son de distinta longitud à los puntos P y Q se acercan à el cuerpo se contrae

 

NO ES RÍGIDO.

 

 

Caso F

 

 

Las componentes según la dirección PQ de las velocidades VP y VQ

 

 

Las componentes según la dirección PQ tienen distintos sentidos à los puntos P y Q se acercan à el cuerpo se contrae

 

NO ES RÍGIDO