Física 1 (Exactas) Práctica 10.7 - Gravitación

Considere dos partículas de masa m que interactúan gravitatoriamente entre sí. Las partículas pueden moverse sobre una mesa horizontal libre de rozamiento. En el instante inicial (t = 0) las partículas se hallan separadas una distancia d y se le da a cada una de ellas una velocidad de módulo v₀ y dirección indicada en la Figura.

 

a)      Indique en un diagrama todas las fuerzas que actúan sobre cada partícula. Para el sistema formado por las dos partículas diga, justificando su respuesta, si se conserva o no los momentos lineal y angular, y la energía mecánica. 

 

DCL

 

Peso = P = m g

Normal = N = reacción del plano

Fg = fuerza gravitatoria entre ambas masas = G m / d^2

 

Momento lineal (p)

Suma de las fuerzas externas (al sistema) = 0 à p se conserva

 

Momento angular (L)

P y N se auto cancelan

La fuerza interna (Fg) es central à torque = 0 à L se conserva

 

Energía mecánica (Em)

P y Fg son fuerzas conservativas

N es una fuerza vertical y el desplazamiento en radial à no hay trabajo

 à Em se conserva 

 

 

b)     Halle la velocidad del centro de masa del sistema en el instante inicial. Diga qué tipo de movimiento describe el centro de masa para t > 0. 

 

vCM = (m1 v1 + m2 v2) / (m1 + m2)

 

Donde

vCM = velocidad del centro de masa

m1 = m2 = m = masa

v1 = velocidad de la masa 1 = vo

v2 = velocidad de la masa 2 = - vo

 

Reemplazando

vCM = (m vo + m (-vo)) / (m + m) = 0

 

Como ∑ Fext = 0 à aCM = 0

 

CM pertenece en la posición inicial

 

c)      Para cada una de las partículas, calcule el vector velocidad (componentes paralela y perpendicular al segmento que las une) cuando las partículas se hallan separadas una distancia d/2. 

 

Componente perpendicular de la velocidad (vp)

 

L = r x m v (producto vectorial)

 

Donde

L = momento angular

r = vector desde la masa hasta el centro de masa = r ǔn

r = distancia al centro

ǔn = versor normal

m = masa

v = velocidad de cada masa = vp ǔp + vn ǔn

vp = velocidad perpendicular

ǔp = versor perpendicular

vn = velocidad normal

 

Reemplazando

L = m r vp

 

Momento angular inicial (Lo)

r = d / 2

vp = vo sen α

 

reemplazando

Lo = m d /2 vo sen α + m d /2 vo sen α = m d vo sen α

 

Momento angular final (Lf)

r = d / 4

 

reemplazando

Lf = m d /4 vp + m d /4 vp = m d/2  vp

 

Igualando

m d vo sen α = m d/2 vp (Momento angular se conserva)

 

despejando vp

vp = 2 vo sen α

 

 

Componente normal de la velocidad (vn)

 

Em = Ec + Epg

 

Donde

Em = energía mecánica

Ec = energía cinética = 1 /2 m v^2

Epg = energía potencial gravitatoria = G m^2 / rm

G = constante de gravitación universal

rm = distancia entre las masas

 

Energía mecánica inicial (Emo)

v = vo

rm = d

 

Reemplazando

Emo = 1 /2 m vo^2 + 1 /2 m vo^2 – G m^2 / d = m vo^2 – G m^2 / d

 

 

Energía mecánica final (Emf)

rm = d / 2

 

Reemplazando

Emf = 1 /2 m v^2 + 1 /2 m v^2 – G m^2 / (d / 2) = m v^2 –  2 G m^2 / d

 

Igualando

m vo^2 – G m^2 / d = m v^2 –  2 G m^2 / d

 

despejando v^2

v^2 = vo^2 + G m / d

 

Modulo v

| v | ^2 = v^2 = vn^2 + vp^2

 

Reemplazando

vn^2 + vp^2 = vn^2 + (2 vo sen α)^2 = vo^2 + G m / d

 

despejando vn

vn = [vo^2 (1 - 4 (sen α)^2) + G m / d]^(1/2)

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 10.6 - Gravitación

Un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra, a una distancia R de su centro, está compuesto por dos masas m₁ y m₂, unidas entre sí por una barra de longitud L y masa despreciable. Durante todo el movimiento, la barra del satélite se halla orientada en la dirección radial, tal como se muestra en la Figura. Considere que la Tierra permanece fija y desprecie la atracción gravitatoria entre las masas que forman el satélite.

 

a)      Dibuje las fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas. Plantee las ecuaciones de Newton y las condiciones de vínculo que rigen su movimiento. 

 

FG1 = fuerza de atracción gravitatoria = G MT m1 / R^2

T = tensión de la barra

FG2 = fuerza de atracción gravitatoria = G MT m2 / (R + L)^2

 

Ecuaciones de Newton

Masa 1: G MT m1 / R^2 -  T = m1 ω1^2 R

Masa 2:  G MT m2 / (R + L)^2 + T = m2  ω2^2 (R + L)

 

Donde

G = constante de gravitación universal

MR = masa de la Tierra

m1 = masa 1

R = distancia de la masa 1 al centro de la Tierra

 ω1 = velocidad angular de la masa 1

T = tensión de la barra

m2 = masa 2

L = distancia entre las dos masas

 ω2 = velocidad angular de la masa 2

 

Condición de vinculo

L = longitud de la barra (constante)

ω1 = ω2 = ω = velocidad angular

 

 

 

b)     Calcule la velocidad angular del movimiento de rotación del satélite y el valor de la tensión ejercida por la barra sobre cada una de las masas. 

 

Sumando ambas ecuaciones de Newton

 G MT (m1 / R^2 + m2 / (R + L)^2)  = ω^2 (m1 R + m2 (R + L))

 

Despejando (ω)

ω = [ G MT (m1 / R^2 + m2 / (R + L)^2) / (m1 R + m2 (R + L)) ]^(1/2)

 

Reemplazando en la Tension (T)

T = G MT m1 / R^2 -  m1 ω^2 R

 

 

c)      En un dado instante se corta la barra que une ambas partes del satélite. A partir de ese momento, utilizando las magnitudes que se conservan, determine cualitativamente la trayectoria de la masa m₁. Justifique su respuesta.

 

Momento angular

La fuerza gravitatoria y el vector distancia son colineales.

No hay torque à El momento angular se conserva

 

Energía mecánica

No hay fuerzas NO conservativas à La energía mecánica se conserva

 

 

En el momento del corte

v1 = ω R

 

Donde

v1 = velocidad de la masa 1

ω = velocidad angular en el momento del corte

 

Analizando la ecuación de Newton

m1 ω^2 R = G MT m1 / R^2 -  T < G MT m1 / R^2

 

Despejando ω^2

ω^2  < G MT / R^3

 

v1 = ω R <  [G MT / R]^(1/2)

 

 

Masa 1 sola en órbita circular

G MT m1 / R^2 = m1 vcir^2 / R

 

Con vcir = velocidad tangencial en órbita circular

 

Despejado vcir

vcir = [G MT / R]^(1/2)

 

Comparando ambas ecuaciones

v1 < vcir  à La velocidad es menor a la necesaria para mantenerla en la órbita R

 

La m1 comienza a caer hacia la Tierra

La trayectoria es una elipse. El punto de corte es el punto más alto de la órbita.

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 10.5 - Gravitación

Una nave espacial de masa m es lanzada desde la superficie terrestre con una velocidad que forma un ángulo con dicha superficie (ver Figura). Suponga que la Tierra, de masa M_T y radio R_T, permanece en reposo, y que toda su masa se halla concentrada en su centro. 

  

a)      Diga, justificando su respuesta, si se conserva o no los momentos lineal y angular, respectivamente, y la energía mecánica.

 

Momento lineal (p)

Fuerza gravitatoria es una fuerza externa a la nave à Momento lineal NO se conserva

 

Momento angular (L)

Fuerza gravitatoria es una fuerza central (es colineal con el radio) à Torque = 0 à Momento lineal se conserva

 

Energía mecánica (Em)

La única fuerza actuante es la fuerza gravitatoria es conservativa à Energía mecánica se conserva

 

 

 

b)     Halle la expresión de la energía mecánica total en función de la distancia r al centro de la Tierra y de los datos del problema. Escriba el potencial efectivo que gobierna el movimiento radial de la nave y grafíquelo en función de r.

 

Energía mecánica

 Em = Ec + Ep

 

Donde

Em = energía mecánica

Ec = energía cinética = 1 /2 m v^2

m = masa del cohete

v = velocidad = vr ǔr + vθ ǔθ

vr = velocidad radial

ǔr = versor radial

vθ = velocidad tangencial    

ǔθ = versor tangencial

Ep = energía potencial = - G MT m / r

G = constante de gravitación universal

MT = masa de la Tierra

r = distancia al centro de la Tierra

 

Reemplazando

Em = 1 /2 m vr^2 + 1 /2 m vθ^2 – G MT m / r

 

 

Momento angular

L = r x p

 

Donde

L = momento angular

r = distancia al centro = r ǔr

p = momento lineal = m (vr ǔr + vθ ǔθ)

 

Reemplazando

L = r ǔr m (vr ǔr + vθ ǔθ) = m r vθ ǔz

 

En t = 0 à r = RT y  vθ = vo cos α

L(t=0) = m RT vo cos α

 

El momento angular se conserva

m r vθ = m RT vo cos α à vθ = RT vo cos α / r

 

Reemplazando en E

Em = 1 /2 m vr^2 + 1 /2 m (RT vo cos α / r)^2 – G MT m / r

 

Reordenando

Em = 1 /2 m vr^2 + (1 /2 m (RT vo cos α / r)^2 – G MT m / r)

 

 

Potencial efectivo (Vef)

Definiendo Vef (agrupa todo lo que depende de la distancia r)

Vef = (1 /2 m (RT vo cos α / r)^2 – G MT m / r)

 

Em = 1 /2 m vr^2 + Vef(r )

 

 Gráfico Google AI

c)      Diga para qué valores de la energía mecánica total el movimiento de la nave es ligado. Calcule la velocidad de escape, es decir el mínimo valor de v₀ necesario para que la nave pueda escapar de la atracción gravitatoria terrestre.

 

Movimiento ligado à partícula NO tiene la energía suficiente para escapar de la Tierra à Em < 0

Movimiento NO ligado à partícula tiene la energía suficiente logra escapar de la Tierra à Em ≥ 0

 

Em = 0 à ve = velocidad mínima (velocidad de escape)

 

En la superficie (r = RT)

EmRT = EcRT + EpRT

 

Donde

EmRT = energía mecánica en la superficie

EcRT = energía cinética = 1 /2 m ve^2

ve = velocidad de escape

EpRT = energía potencial = – G MT m / RT

   

Reemplazando

EmRT = 1 /2 m ve^2 – G MT m / RT = 0

 

Despejando ve

ve = [2 G MT / RT]^(1/2)