Los discos de la figura (R = 10 cm) tienen movimiento plano. Halle:
Caso A
a) La posición del eje instantáneo de rotación.
Punto P = 0
(ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0
Punto A:
rA = vector
A y P = 0 (ǐ) + 10 cm (ǰ) + 0 (ǩ) = 10 cm (ǰ)
vA = velocidad
A = 20 cm/s (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 20 cm/s (ǐ)
Punto B:
rB = vector
B y P = 0 (ǐ) + (- 10 cm) (ǰ) + 0 (ǩ) = - 10 cm (ǰ)
vB = velocidad B = -10 cm/s (ǐ) + 0 (ǰ) +
0 (ǩ) = -10 cm/s (ǐ)
vA = vB + Ω
x BA
Donde
vA =
velocidad A = 20 cm/s (ǐ)
vB =
velocidad B = -10 cm/s (ǐ)
Ω =
velocidad de rotación = ω (ǩ) (movimiento plano)
BA = vector
B y A = rA – rB = 10 cm (ǰ) - (- 10 cm) (ǰ) = 20 cm (ǰ)
Calculando el producto vectorial
Ω x BA =
ω (ǩ) x 20 cm (ǰ) = - 20 cm ω (ǐ)
Reemplazando
20 cm/s (ǐ) = - 10 cm/s (ǐ) - 20 cm ω (ǐ)
Seguin (ǐ): 20 cm/s = - 10 cm/s - 20 cm ω
Despejando ω
ω = (20 cm/s + 10 cm/s) / (- 20 cm)
= - 1,5 /seg
Posición del eje EIR
Punto C = pertenece al eje à vC = 0
rC = xC
(ǐ) + yC (ǰ) + zC (ǩ)
vC = 0 (ǐ)
+ 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0
vA = vC + Ω
x CA
Donde
vA =
velocidad A = 20 cm/s (ǐ)
vC =
velocidad C = 0
Ω =
velocidad de rotación = - 1,5 /seg (ǩ) (movimiento plano)
CA = vector
C y A = rA – rC = 10 cm (ǰ) - (yC) (ǰ) = xC (ǐ) + (10 cm – yC) (ǰ) + zC (ǩ)
Calculando
el producto vectorial
Ω x CA = -
1,5 /seg (ǩ) x (xC (ǐ) + (10 cm – yC) (ǰ) + zC (ǩ)) = 1,5 / seg (10 cm – yC)
(ǐ)
Reemplazando
20 cm/s =
15 cm/seg – 1,5 /seg yC
Despejando yC
yC
= (20 cm/s – 15 cm/s) / (1,5 /seg) = - 10/3
cm
Reemplazando
en rC
rC = 0 (ǐ)
+ (- 10/3 cm) (ǰ) + 0 (ǩ)
EIR es una
recta perpendicular al plano que pasa por
(0; - 10/3 cm)
b)
El vector Ω.
ω = (20 cm/s + 10 cm/s) / (- 20 cm)
= - 1,5 /seg
Ω = velocidad de rotación = - 1,5 /seg
(ǩ)
c) La velocidad del punto P.
vP = vC + Ω
x CP
Donde
vP =
velocidad P = vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ)
vC =
velocidad C = 0
Ω = velocidad
de rotación = - 1,5 /seg (ǩ) (movimiento plano)
CP = vector
C y P =. rP – rC = (0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ)) – (0 (ǐ) + (- 10/3 cm) (ǰ) + 0 (ǩ))
= 10/3 cm (ǰ)
Calculando
el producto vectorial
Ω x CP = (-
1,5 /seg (ǩ)) x (10/3 cm (ǰ)) = 5 cm/s (ǐ)
Reemplazando
vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ) = 0 + 5 cm/s (ǐ)
= 5 cm/s (ǐ)
vP
= 5 cm/s (ǐ)
Caso B
a) La posición del eje instantáneo de rotación.
Punto P = 0
(ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0
Punto A:
rA = radio
entre A y P = 0 (ǐ) + 10 cm (ǰ) + 0 (ǩ) = 10 cm (ǰ)
vA =
velocidad A = 20 cm/s (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 20 cm/s (ǐ)
Punto B:
rB = radio
entre B y P = 10 cm (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 10 cm (ǐ)
vB = velocidad B = 20 cm/s (ǐ) + 0 (ǰ) + 0
(ǩ) = 20 cm/s (ǐ)
vA = vB + Ω
x BA
Donde
vA =
velocidad A = 20 cm/s (ǐ)
vB =
velocidad P = 20 cm/s (ǐ)
Ω =
velocidad de rotación = ω (ǩ) (movimiento plano)
BA = radio
entre B y A = rA – rB= 10 cm (ǰ) – 10 cm (ǐ) = – 10 cm (ǐ) + 10 cm (ǰ)
Calculando
el producto vectorial
Ω x BA =
ω (ǩ) x (– 10 cm (ǐ) + 10 cm (ǰ)) = - 10 cm ω (ǰ) - 10 cm ω (ǐ)
Reemplazando
20 cm/s (ǐ) = 20 cm/s (ǐ) - 10 cm ω (ǰ) - 10 cm ω (ǐ)
Seguin (ǐ): 20 cm/s = 20 cm/s - 10 cm
ω
Seguin (ǰ):
0 = - 10 cm ω
Despejando ω
ω = (20 cm/s - 20 cm/s) / (- 10 cm)
= 0 (no rota)
Posición del eje EIR
El cuerpo NO rota, traslación pura à EIR en el infinito
b)
El vector Ω.
ω = (20 cm/s - 20 cm/s) / (- 10 cm)
= 0 (no rota) à Ω
= 0
c) La velocidad del punto P.
Traslación pura à vP = vA = vB = 20 cm/s
Caso C
a) La posición del eje instantáneo de rotación.
Punto P = 0
(ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0
Punto A:
rA = radio
entre A y P = 0 (ǐ) + 10 cm (ǰ) + 0 (ǩ) = 10 cm (ǰ)
vA =
velocidad A = 20 cm/s (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 20 cm/s (ǐ)
Punto B:
rB = radio
entre B y P = 10 cm (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 10 cm (ǐ)
vB = velocidad B = 0 (ǐ) - 20 cm/s (ǰ) + 0
(ǩ) = - 20 cm/s (ǰ)
vA = vB + Ω
x BA
Donde
vA =
velocidad A = 20 cm/s (ǐ)
vB =
velocidad P = - 20 cm/s (ǰ)
.Ω =
velocidad de rotación = ω (ǩ) (movimiento plano)
BA = radio
entre B y A = rA – rB= 10 cm (ǰ) – 10 cm (ǐ) = – 10 cm (ǐ) + 10 cm (ǰ)
Calculando
el producto vectorial
Ω x BA =
ω (ǩ) x (– 10 cm (ǐ) + 10 cm (ǰ)) = - 10 cm ω (ǰ) - 10 cm ω (ǐ)
Reemplazando
20 cm/s (ǐ) = - 20 cm/s (ǰ) - 10 cm ω (ǰ) - 10 cm ω (ǐ)
Seguin (ǐ): 20 cm/s = - 10 cm ω (ǐ)
Despejando ω
ω = 20 cm/s / (- 10 cm) = - 2 /seg
Posición del eje EIR
Punto C = pertenece
al eje à vC = 0
rC = xC
(ǐ) + yC (ǰ) + zC (ǩ)
vC = 0 (ǐ)
+ 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0
vA = vC + Ω
x CA
Donde
vA =
velocidad A = 20 cm/s (ǐ)
vC =
velocidad C = 0
Ω =
velocidad de rotación = - 2 /seg (ǩ) (movimiento plano)
CA = vector
C y A = rA – rC = 10 cm (ǰ) - (yC) (ǰ) = xC (ǐ) + (10 cm – yC) (ǰ) + zC (ǩ)
Calculando
el producto vectorial
Ω x CA =
- 2 /seg (ǩ) x (xC (ǐ) + (10 cm – yC) (ǰ) + zC (ǩ)) = 2 / seg (10 cm – yC) (ǐ)
Reemplazando
20 cm/s = 0 + 2 / seg (10 cm – yC) = 0 +
20 cm/s - 2 /seg yC
Despejando yC
yC
= (20 cm/s – 20 cm/s) / (2 /seg) = 0 cm
Reemplazando
en rC
rC = 0 (ǐ)
+ 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = rP
EIR es una
recta perpendicular al plano que pasa por
P
b)
El vector Ω.
ω = 20
cm/s / (- 10 cm) = - 2 /seg
Ω = velocidad de rotación = - 2
/seg (ǩ)
c) La velocidad del punto P.
vP = vA + Ω
x AP
Donde
vP =
velocidad P = vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ)
vA =
velocidad A = 20 cm/s (ǐ)
Ω =
velocidad de rotación = - 2 /seg (ǩ) (movimiento plano)
AP = vector
A y P =. rP – rA = (0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ)) – (0 (ǐ) + 10 cm (ǰ) + 0 (ǩ)) = - 10
cm (ǰ)
Calculando
el producto vectorial
Ω x CP = (-
2 /seg (ǩ)) x (- 10 cm (ǰ)) = - 20 cm/s (ǐ)
Reemplazando
vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ) = 20 cm/s (ǐ) -
20 cm/s (ǐ) = 0
vP = 0
Caso D
a) La posición del eje instantáneo de rotación.
Punto P = 0 (ǐ) +
0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0
Punto A:
rA =
vector A y P = 0 (ǐ) + 10 cm (ǰ) + 0 (ǩ) = 10 cm (ǰ)
vA = velocidad A = 10 (2)^(1/2) sen 45°
cm/s (ǐ) - 10 (2)^(1/2) cos 45° cm/s (ǰ) + 0 (ǩ)
= 10 cm/s (ǐ) –
10 cm/s (ǰ)
Punto P:
.rP = centro
del disco = 0 (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0
vP = velocidad P = 0 (ǐ) - 10 cm/s (ǰ) + 0
(ǩ) = - 10 cm/s (ǰ)
vA = vP + Ω
x PA
Donde
vA =
velocidad A = 10 cm/s (ǐ) – 10 cm/s (ǰ)
vP =
velocidad P = - 10 cm/s (ǰ)
Ω =
velocidad de rotación = ω (ǩ) (movimiento plano)
PA = vector
A = rA – rP = 10 cm (ǰ)
Calculando
el producto vectorial
Ω x PA =
ω (ǩ) x 10 cm (ǰ) = - 10 cm ω (ǐ)
Reemplazando
10 cm/s (ǐ) – 10 cm/s (ǰ) = - 10 cm/s (ǰ) -
10 cm ω (ǐ)
Según (ǐ): 10 cm/s = - 10 cm ω
Según (ǰ): - 10 cm/s = - 10 cm/s
Despejando ω
ω = 10 cm/s / (- 10 cm) = - 1 /seg
Posición del eje EIR
Punto C = pertenece
al eje à vC = 0
rC = xC
(ǐ) + yC (ǰ) + zC (ǩ)
vC = 0 (ǐ)
+ 0 (ǰ) + 0 (ǩ) = 0
vP = vC + Ω x CA
Donde
vP =
velocidad P =– 10 cm/s (ǰ)
vC =
velocidad C = 0
Ω =
velocidad de rotación = - 1 /seg (ǩ) (movimiento plano)
CP = - vector
C = – rC = - (xC (ǐ) + yC (ǰ) + zC (ǩ))
Calculando
el producto vectorial
Ω x CP =
- 1 /seg (ǩ) x (- xC (ǐ) - yC) (ǰ) - zC (ǩ))
= -1 /seg yC (ǐ) + 1/seg xC (ǰ)
Reemplazando
– 10 cm/s (ǰ) = 0
- 1 /seg yC (ǐ) + 1 /seg xC (ǰ)
Según (ǐ):
0 = - 1 /seg yC
Seguin (ǰ):
– 10 cm/s = + 1 /seg
xC
Despejando xC y yC
xC = - 10 cm/s / (1 /seg) = - 10 cm
yC = 0 cm
Reemplazando
en rC
rC = - 10
cm (ǐ) + 0 (ǰ) + 0 (ǩ)
EIR es una
recta perpendicular al plano que pasa por
(- 10 cm; 0 cm)
b)
El vector Ω.
ω = 10
cm/s / (- 10 cm) = - 1 /seg
Ω = velocidad de rotación = - 1 /seg
(ǩ)
c) La velocidad del punto P.
vP = vC + Ω
x CP
Donde
vP =
velocidad P = vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ)
vC =
velocidad C = 0
Ω =
velocidad de rotación = - 1 /seg (ǩ) (movimiento plano)
CP = - vector
C = – rC = 10 cm (ǐ)
Calculando
el producto vectorial
Ω x CP = (-
1 /seg (ǩ)) x (10 cm (ǐ)) = - 10 cm/s (ǰ)
Reemplazando
vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ) = 5 cm/s (ǐ) -
10 cm/s (ǰ)
vP
= - 10 cm/s (ǰ)
|
vP | = 10
cm/s
