La
velocidad angular de un cuerpo rígido sometido a un movimiento roto-traslatorio
es (0, 0, ω) y la velocidad de uno de sus puntos P es (vx, vy, 0).
a. Determinar por consideraciones de cálculo vectorial,
si existe un eje instantáneo de rotación.
VP . Ω (
Donde
VP = velocidad en el P = (vx;
vy; 0) = vx (ǐ) + vy (ǰ) + 0 (ǩ)
Ω = velocidad angular = (0; 0; ω) = 0 (ǐ) + 0 (ǰ) + ω (ǩ)
Reemplazando
VP . Ω = (vx; vy; 0) . (0; 0;
ω) = 0 à VP y Ω son perpendiculares à Existe un EIR
Nota:
.Ω = velocidad angular = ω
(ǩ) (eje z +)
VP = velocidad en el P = (vx
; vy; 0) = vx (ǐ) + vy (ǰ) (plano x – y)
VP y Ω son
perpendiculares à NO hay traslación en la dirección del eje de giro
b.
Ídem que a), pero con vP = (vx, vy, vz)
VP . Ω (
Donde
VP = velocidad en el P = (vx;
vy; vz) = vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ)
Ω = velocidad angular = (0; 0; ω) = ω
(ǩ)
Reemplazando
VP . Ω = (vx; vy; vz) . (0;
0; ω) = vz ω
No existe puntos donde la
velocidad sea cero
à Cuerpo gira alrededor (EIR) con ω
à Cuerpo se desliza a lo largo de la recta con velocidad vz
b.
¿Cuál es, en ambos casos, el lugar geométrico de los
puntos de velocidad mínima (en módulo)?
c.a. Ω = (0, 0, ω) y VP = (vx, vy, 0)
Lugar
geométrico
rQ
= rP +. Ω x VP / | Ω |^2 + λ Ω (formula general de una recta)
Donde
rQ = punto de eje = xQ (ǐ) +
yQ (ǰ) + zQ (ǩ)
rP = punto P correspondiente
a VP = xP (ǐ) + yP (ǰ) + zP (ǩ)
rQ – rP = vector desde el
punto conocido (P) hasta un punto del eje
Ω x VP / | Ω |^2 = vector
proyección de VP en la dirección Ω
Ω = velocidad angular = ω (ǩ)
VP = velocidad en el P = vx
(ǐ) + vy (ǰ) + 0 (ǩ)
λ Ω = dirección y extensión
del eje
λ = parámetro de la recta
Calculando el producto
vectorial
(ω (ǩ)) x (vx (ǐ) + vy (ǰ)) =
- ω vy (ǐ) + ω vx (ǰ)
Reemplazando
(xQ (ǐ) + yQ (ǰ) + zQ (ǩ)) = (xP
(ǐ) + yP (ǰ) + zP (ǩ)) + (- ω vy (ǐ) + ω vx (ǰ) / ω^2 + λ ω (ǩ)
= ((xP – vy / ω) (ǐ) + (yP + vx / ω) (ǰ) + (zP
+ λ ω) (ǩ))
xQ = xP – vy / ω = constante
yQ = yP + vx / ω = constante
zQ = zP + λ ω = variable (depende
de λ)
à recta vertical paralela al eje z
Velocidad mínima
VQ = VP + Ω x (rQ – rP)
Donde
VQ = velocidad en un punto Q del
eje = vQx (ǐ) + vQy (ǰ) + vQz (ǩ)
VP = velocidad del punto P =
vx (ǐ) + vy (ǰ)
Calculando
Ω x (rQ – rP) = (ω (ǩ)) x
((rQx – rPx) (ǐ) + (rQy – rPy) (ǰ) + (rQz – rOz) (ǩ))
= - ω (rQy – rPy) (ǐ) + ω
(rQx – rPx) (ǰ)
Reemplazando
(vQx (ǐ) +
vQy (ǰ) + vQz (ǩ)) = (vx (ǐ) + vy (ǰ)) + (- ω (rQy – rPy) (ǐ) + ω (rQx – rPx) (ǰ))
.vQx = vx - ω (rQy – rPy)
.vQy = vy + ω (rQx – rPx)
.vQz = 0
à vmin = 0
El cuerpo solo gira sobre el eje Z
c.b. Ω = (0, 0, ω) y VP = (vx, vy, vz)
Lugar geométrico
rQ = rP + Ω x VP / | Ω |^2 + λ Ω
Donde
rQ = punto de eje EIR = xQ
(ǐ) + yQ (ǰ) + zQ (ǩ)
rP = punto P correspondiente
a VP = xP (ǐ) + yP (ǰ) + zP (ǩ)
Ω = velocidad angular = ω (ǩ)
VP = velocidad en el P = vx
(ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ)
λ = parámetro de la recta
Calculando el producto
vectorial
(ω (ǩ)) x (vx (ǐ) + vy (ǰ) +
vz (ǩ)) = - ω vy (ǐ) + ω vx (ǰ) + 0 (ǩ)
Reemplazando
(xQ (ǐ) + yQ (ǰ) + zQ (ǩ)) =
(xP(ǐ) + yP (ǰ) + zP (ǩ)) + (- ω vy (ǐ) + ω vx (ǰ)) / ω^2 + λ ω (ǩ)
= ((xP – vy / ω) (ǐ) +
(yP + vx / ω) (ǰ) + (zP + λ ω) (ǩ))
xQ = xP – vy / ω
yQ = yP + vx / ω
zQ = zP + λ ω
à recta vertical paralela al eje z
Velocidad mínima
VQ = VP + Ω x (rQ – rP)
Donde
VQ = velocidad en un punto Q del
eje = vQx (ǐ) + vQy (ǰ) + vQz (ǩ)
VP = velocidad del punto P =
vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ)
Calculando
Ω x (rQ – rP) = (ω (ǩ)) x
((rQx – rPx) (ǐ) + (rQy – rPy) (ǰ) + (rQz – rOz) (ǩ))
= - ω (rQy – rPy) (ǐ) + ω
(rQx – rPx) (ǰ)
Reemplazando
(vQx (ǐ) +
vQy (ǰ) + vQz (ǩ)) = (vx (ǐ) + vy (ǰ) + vz (ǩ)) + (- ω (rQy – rPy) (ǐ) + ω (rQx
– rPx) (ǰ))
vQx = vx - ω (rQy – rPy)
vQy = vy + ω (rQx – rPx)
vQz = vz
à vmin = (0 (ǐ) + 0 (ǰ) + vz (ǩ))
El cuerpo se está moviendo
como un tornillo.
Gira sobre el eje Z
Avanza hacia adelante en la
dirección del eje con vz
