Física 1 (Exactas) Practica 8.6 – Trabajo y energía

Considere una partícula de masa m que se mueve en una dimensión bajo la acción de una fuerza de modulo F = - ax³ + bx a lo largo de la dirección x. 

 

a.     Grafique el potencial y analice los posibles movimientos de la partícula para los diferentes valores de su energía total.

 

F(x) = - dV/dx

 

Donde

F(x) = fuerza = - a x^3 + b x

V = potencial

Reemplazando e integrando

V = a x^4 / 4 -  b x^2 /2 + C

 

Con x = 0 y V = 0 à C = 0

 

 

.

 

Puntos críticos

dV / dx = a x^3 – b x = 0

 

soluciones

x = 0 

xo = +- (b / a)^(1/2) 

 

x = 0 à Vmax = 0

x = xo à Vmin  = a ((b / a))^2 / 4 -  b ( b / a) /2  = - b^2 /  (4 a)

 

 

Em = Ec + V

 

Donde

Em = energía total

Ec = energía cinética = 1 /2 m v^2

V = energía potencial

 

 

Em < - b^2 / 4 a

 

Ec + Vmin = Ec – b^2 / (4 a) < - b^2 / (4 a) à Ec < 0 à Movimiento Imposible   

 

 

Em = - b^2 / 4 a

 

Ec + Vmin = Ec – b^2 / (4 a) = - b^2 / (4 a) à Ec = 0  (reposo) à  Movimiento Estático   

 – b^2 / 4 a < Em < 0

 

La partícula queda atrapada en alguno de los dos pozos à Movimiento acotado entre los dos posos

 

 

Em = 0

 

Si la partícula se moverá hasta x = 0 à Movimiento acotado asintótico

 

 

Em > 0

La partícula tiene suficiente energía para superar la barrera V = 0 à Movimiento oscilatorio

 

  

b.     Encuentre las posiciones de equilibrio y determine si son estables o inestables. 

 

Puntos críticos

dV / dx = a x^3 – b x = 0

 

soluciones

x = 0 

xo = +- (b / a)^(1/2) 

 

Calculando la derivada segunda de V

V” = 3 a x^2 – b

 

Si x = 0 à V” (0) = - b  < 0 à equilibrio inestable

Si x = +- (b/ a)^(1/2) à V”((b/ a)^(1/2)) = 3  a b / a   - b = 2 b > 0  à equilibrio estable  

 

 

 

c.      Elija valores para m, a y b y obtenga gráficos para x(t) y v(t) variando las condiciones iniciales (obtenga también gráficos de v(x)). Analice los movimientos posibles para alguna de las siguientes situaciones:

 

(1)   a > 0, b > 0,

 

m = 1; a = 1, b = 2

 

Puntos críticos

dV / dx = x^3 – 2 x = 0

 

soluciones

x = 0 

xo = +- (1 / 2)^(1/2) 

 à Potencial del Doble pozo

  

Em < 0 (Energía baja) à partícula queda atrapada en el pozo derecho

Em > 0 (Energía alta) à partícula supera la barrera y oscila   entre ambos pozos

 

Gráficos posición vs tiempo (x(t))

Nota: Gráfico Google IA 

 Gráficos para velocidad vs tiempo (v(t))

Nota: Gráfico Google IA 

Gráfico velocidad vs posición (v(x)) 

Nota: Gráfico Google IA 

 

(2) a > 0, b < 0. 

 

.m = 1; a = 1, b = - 2 à Pozo único

 

Puntos críticos

dV / dx = x^3 – 2 x = 0

 

soluciones

x = 0 

xo = +- (1 / (- 2))^(1/2) NO existe 

à Potencial de único pozo

Gráfico posición vs tiempo (x(t)) 

 

Nota: Gráfico Google IA 

Gráfico velocidad vs tiempo (v(t)) 

Nota: Gráfico Google IA 

Gráfico velocidad vs posición (v(x)) 

Nota: Gráfico Google IA  

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 8.5 – Trabajo y energía

El potencial nuclear para un protón es de la forma de la figura (1 MeV = 10^6 eV, 1 eV = 1,6 10^(-12) erg). 

 

a.     Analizar qué le pasa a un protón que incide desde x = ∞ sobre el núcleo y a uno que está en la zona - xo < x < xo.

 

           a.1. Protón incide desde x = ∞

 

En x = ∞ à P à 0

El protón se mueve hacia la izquierda con energía cinética (Ec) > 0

 

Si 0 < Ec < 10 MeV

El protón no puede superar la barrera.

Se frena, llega a un punto de retorno y vuelve a x = ∞  

No se considera el efecto túnel

 

Si 10 MeV < Ec

El protón supera la barrera.

Entra en el núcleo y sigue hacia x = - ∞

 

 

        a.2. Protón en la zona - xo < x < xo

 

En - xo < x < xo el protón está en el pozo de potencial

 

Si -20 Mev < Ec < 0

El protón está atrapado dentro del pozo (estado ligado)

 

Si 0 < Ec < 10 MeV

El protón queda oscilando entre las paredes de potencial

 

Si 10 MeV < Ec

El protón no está confinado

Salta la barrera y escapa hacia el infinito

  

 

b.     ¿Qué significan valores negativos de energía potencial?

 

Existe una fuerza de atracción que mantiene al protón confinado dentro del núcleo

 

 

c.      Sea un protón que está en el interior del núcleo con energía total nula.

 

c.1. ¿Cuál es la máxima velocidad que puede tener el protón? (mp = 1,67 10^-24 gr).

 

Em = Ec max  + Vmin

 

Donde

Em = energía mecánica = 0 

Ec max = energía cinética máxima = 1 /2 mp (v max)^2

mp = masa del protón = 1,67 x 10^(-24) gr

v max = velocidad máxima  

Vmin = energía potencial mínima = -20 MeV (10^6 eV / 1 MeV) (1,6 10^(-12) erg / 1 eV) = - 3,2 x 10^-5 erg

 

Despejando v max

v max = (2 (- Vmin) / mp)^(1/ 2)

            = [2 * 3,2 x 10^-5 erg / (1,67 10^(-24) gr )]^(1/2) = 6,19 x 10^9 cm/s 

v max = 6,19 x 10^7 m/s

 

  

c.2. ¿Qué energía mínima se le debe entregar para que pueda escapar del núcleo?

 

Emin = V max = 10 MeV (10^6 eV / 1 MeV) (1,6 10^(-12) erg / 1 eV) = 1,6 x 10^(-5) erg

 

  

c.3. ¿Qué velocidad tendrá entonces una vez alejado totalmente del núcleo?

Em = Ec min + Vmax

 

Donde

Em = energía mecánica = 0

Ec min = energía cinética mínima = 1 /2 mp (v min)^2

v min = velocidad mínima 

 

Despejando v min

v min = (2 Vmax / mp)^(1/ 2)

            = [2 * 1,6 x 10^-5 erg / (1,67 10^(-24) gr )]^(1/2) = 4,38 x 10^9 cm/s 

v min = 4,38 x 10^7 m/s

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 8.4 – Trabajo y energía

Sea un péndulo simple, constituido por un cuerpo de masa m suspendido del extremo de una varilla sin masa de longitud L, que oscila en un plano. 

 

a.     Grafique la energía potencial del cuerpo, V, en función de θ, siendo θ el ángulo que forma el hilo con la vertical. Indique los valores máximos y mínimos del potencial.

 

 

V = m g h

 

Donde

V = energía potencial

m = masa del cuerpo

g =aceleración de la gravedad

h = altura = L – L cos θ

L = longitud de la varilla

θ = ángulo con la vertical

 

Reemplazando en V

V = m g L (1 - cos θ)

 

Vmin à  cos θ = 1 à θ = 0 à Vmin = 0

Vmax à cos θ = -1 à θ = π ó θ = - π à Vmax = 2 m g L

 

 

 

b.     Si E es la energía mecánica total, para los casos: E1 < VMAX, E2 = VMAX y E3 > VMAX:

 

  

i.                 estudie cualitativamente el movimiento del cuerpo y diga cómo haría en la práctica para conseguir estos valores de E. 

 

Em = Ec + V

 

Donde

Em = energía mecánica total = E

Ec = energía cinética = 1 /2 m v(θ)^2 > 0

v(θ) = velocidad del cuerpo

V = energía potencial = m g L (1 - cos θ)

 

Reemplazando

Em = 1 /2 m v(θ)^2 + m g L (1 - cos θ)

 

E1 < VMAX

Em1 = Ec + V

En  Ec = 0  à  V < VMAX à - π < θ  < π

 

Movimiento oscilatorio

El péndulo no tiene suficiente energía para llegar al punto más alto.

 

Practica

Se separa el cuerpo un ángulo menor a π

 

 

E2 = VMAX

Em2 = Ec + V

En  Ec = 0  à  V = VMAX à  θ = π

 

Movimiento asintótico

El péndulo teóricamente alcanza la posición vertical, en un equilibrio inestable

 

Practica

El cuerpo se coloca exactamente en π.

Se impulsa el cuerpo desde la posición más baja con una velocidad igual a vo

vo = (4 g L)^(1/2) 

 

 

E3 > VMAX

E3 = Ec + V

En   V =  VMAX à Ec > 0

 

Movimiento rotatorio

La energía cinética nunca se anula, el cuerpo gira a una distancia L del centro de giro

 

Practica

Se impulsa el cuerpo desde la posición más baja con una velocidad superior a vo

vo > (4 g L)^(1/2) 

 

 

ii.               A partir del gráfico V vs. θ obtenga el gráfico de velocidad en función de θ.  

 

E = 1 /2 m v^2 + m g L (1 – cos θ)

 

Despejando v

| v | = [ 2 E / m – 2 g L ((1 – cos θ)]^(1/2)

 

 

 

 

c.      Considere el movimiento del péndulo para amplitudes grandes. Elija algún valor de L y obtenga gráficos para θ(t), dθ/dt (t) y dθ/dt(θ). 

 

c.1. gráficos

 

Ecuación de Newton (sin aproximación a ángulos pequeños)

- m g sen θ = m at

 

Donde

at = aceleración tangencial = L γ

γ = aceleración angular = d²θ / dt²

 

Reemplazando

 d²θ / dt² + g / L sen θ = 0

 

Esta ecuación diferencial tiene como soluciones funciones elípticas de Jacobi

Con  L = 1 m y  distintas amplitudes iniciales (θ = 30°; 90 ° y 150 °)

gráfico  ángulo vs tiempo (θ(t))

Nota: Gráfico Google IA 

gráfico velocidad angular vs tiempo (dθ/dt (t))

Nota: Gráfico Google IA 

gráfico fase vs ángulo ( dθ/dt(θ))

 

Nota: Gráfico Google IA 

 

 

c.2. Estudie la dependencia entre la frecuencia del movimiento y su amplitud.

 

T = 1 / f

 

Donde

T = periodo

f = frecuencia

 

 

Aumento de amplitud (mayor θo) à aumento del periodo (T) à disminución de la frecuencia (f)

(ver gráficos)