Física 1 (Exactas) Practica 0 – 1. 8. Vectores y trigonometría

 Dados los vectores A, B y C, demostrar:

 

 a)    Que el producto vectorial no es asociativo y se cumple: A x (B x C) = B (A . C)  - C (A . B)

A = (ax i + ay j + az k)

B = (bx i + by j + bz k)

C = (cx i + cy j + cz k)

Reemplazando 

B x C = (bx i + by j + bz k) x (cx i + cy j + cz k) =

 

Distribuyendo

B x C = bx i x cx i + bx i x cy j + bx i x cz k +

          + by j x cx i + by j x cy j + by j x cz k +

          + bz k x cx i + bz k x cy j + bz k x cz k) =

 

Producto de versores

B x C = bx cy k + bx cz (-j) + by cx (-k) + by cz i + bz cx j + bz cy (-i) =

 

Reordenando

B x C = (by cz - bz cy) i + (bz cx - bx cz) j + (bx cy - by cx) k

 

 

A x (B x C) = (ax i + ay j + az k) x (by cz - bz cy) i + (bz cx - bx cz) j + (bx cy - by cx) k =

Distribuyendo

A x (B x C) = ax i x (by cz - bz cy) i + ax i x (bz cx - bx cz) j + ax i x (bx cy - by cx) k +

                    + ay j x (by cz - bz cy) i + ay j x (bz cx - bx cz) j + ay j x (bx cy - by cx) k +

                    + az k x (by cz - bz cy) i + az k x (bz cx - bx cz) j + az k x (bx cy - by cx) k)

 

Producto de versores

A x (B x C) = ax (bz cx - bx cz) k + ax (bx cy - by cx) (-j) +

                   + ay (by cz - bz cy) (-k) + ay (bx cy - by cx) i +

                   + az (by cz - bz cy) j + az (bz cx - bx cz) (-i)

Reordenando

 A x (B x C) = (ay (bx cy - by cx) - az (bz cx – bx cz)) i +

                   + (az (by cz - bz cy) - ax (bx cy - by cx)) j +

                   + (ax (bz cx - bx cz) - ay (by cz - bz cy)) k  

 

A x (B x C) = (ay bx cy – ay by cx - az bz cx + az bx cz) i +

                   + (az by cz – az bz cy - ax bx cy + ax by cx) j +

                   + (ax bz cx – ax bx cz - ay by cz + ay bz cy) k (I)

 

 

A . C = ax cx + ay cy + az cz

 

Reemplazando 

B (A . C) = bx i (ax cx + ay cy + az cz) +

               +  by j (ax cx + ay cy + az cz) +

               +  bz k (ax cx + ay cy + az cz)

Distribuyendo 

B (A . C) = i (ax bx cx + ay bx cy + az bx cz) +

               +   j (ax by cx + ay by cy + az by cz) +

               +   k (ax bz cx + ay bz cy + az bz cz)

 

A . B = ax bx + ay by + az bz

Reemplazando 

C (A . B) = cx i (ax bx + ay by + az bz) +

               +  cy j (ax bx + ay by + az bz) +

               +  cz k (ax bx + ay by + az bz)

Distribuyendo 

C (A . B) = i (ax bx cx + ay by cx + az bz cx) +

               +   j (ax bx cy + ay by cy + az bz cy) +

               +   k (ax bx cz + ay by cz + az bz cz)

 

B (A . C) – C (A . B) =

              =  ((ax bx cx + ay bx cy + az bx cz) - (ax bx cx + ay by cx + az bz cx)) i +

              + ((ax by cx + ay by cy + az by cz) - (ax bx cy + ay by cy + az bz cy)) j +

              + ((ax bz cx + ay bz cy + az bz cz) - (ax bx cz + ay by cz + az bz cz)) k

 

B (A . C) – C (A . B) =

              = (ay bx cy + az bx cz -  ay by cx - az bz cx) i +

              +  (ax by cx + az by cz - ax bx cy -  az bz cy) j +

              + (ax bz cx + ay bz cy - ax bx cz - ay by cz) k (II)

 

 

(I) = (II) à A x (B x C) = B (A . C)  - C (A . B)

 

b)    Que cualesquiera sean los vectores, se cumple:

 

A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) = 0

 

A x (B x C) = B (A . C) – C (A . B)

B x (C x A) = C (B . A) – A (B . C)

C x (A x B) = A (C. B) – B (C . A)

 

Sumando

A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) =

                   = B (A . C) – C (A . B) + C (B . A) – A (B . C) + A (C. B) – B (C . A)

 

El producto escalar es conmutativo

A . C = C . A

A . B = B . A

B . C = C . B

 

A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) =

                   = B (A . C) – C (A . B) + C (A . B) – A (B . C) + A (B . C) – B (A . C) = 0

  

c)     Que el producto mixto es igual al volumen del paralelepípedo construido sobre los mismos una vez llevado a partir de su origen común.

 

 (A x B) .C = producto mixto

 

Volumen del paralelepípedo ABC = Área de la base * altura

Área de la base = | A x B |

Altura = | C | cos ϕ

 

Reemplazando

Volumen = | (A x B) | * | C | cos ϕ = (A x B) . C   

 

d)   Que la condición necesaria y suficiente para que los tres vectores sean paralelos a un mismo plano es que su producto mixto sea nulo.

 

(A x B) . C   = 0 à volumen = 0 à A, B y C sean  paralelos

 

Vectores paralelos = linealmente dependientes que equivale a coplanares (en el mismo plano) y misma dirección 

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 1. 7. Vectores y trigonometría

 Sean i , j y k los versores (vectores de modulo uno)

 a)     la terna mostrada en la Fig. (a). Usando la definición de producto vectorial, calcular,

 b)    Repetir el cálculo anterior para la terna de la Fig. (b) y comparar con los resultados obtenidos en ambos casos.

  

i x j = k   k x i = j   j x k = i   i x i = 0    j x j = 0   k x k = 0	i x j = - k   k x i = - j    j x k = - i   i x i = 0    j x j = 0   k x k = 0

 

Regla de la mano derecha

X  x  Y = Z

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 1. 6. Vectores y trigonometría

 a) Utilizando el Teorema de Pitágoras y la definición de las funciones trigonométricas, usando el triángulo de la Fig. demostrar el Teorema del Coseno:

 

AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 AB BC cos β,

 

donde AB, BC y AC son las longitudes de los respectivos lados.

Considerar los dos triángulos rectángulos ABD y ADC, respectivamente.

 

Teorema de Pitágoras

AC^2 = AD^2 + DC^2

AB^2 = AD^2 + BD^2

 

Restando ambas ecuaciones

AC^2 – AB^2 = DC^2 – BD^2

 

Reordenando

AC^2 = AB^2 + DC^2 – BD^2

 

Además

BC = BD + DC à DC = BC - BD  

cos β = BD / AB à BD = AB cos β

 

Reemplazando

AC^2 = AB^2 + (BC – BD)^2 - BD^2

AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 BC BD + BD^2 – BD^2

AC^2 = AB^2 + BC^2 -  2 BC AB cos β

 

  

b) Utilizando la definición del seno demostrar sobre los mismos triángulos que

 

AC / sen β = AB / sen γ,

 

sen β  = AD / AB à AD = AB sen β

sen γ = AD / AC à AD = AC sen γ

 

Igualando

AB sen β = AC sen γ

 

Reordenando

AC / sen β = AB / sen γ (I)

 

y generalizar el resultado para demostrar el Teorema del Seno:

 

AC / sen β = AB / sen γ = BC / sen α.

 

sen β  = EC / BC à EC = AB sen β

sen α = EC / AC à EC = AC sen α

 

Igualando

BC sen β = AC sen α

 

Reordenando

AC / sen β = BC / sen α (II)

 

(I) y (II)

AC / sen β = AB / sen γ = BC / sen α.

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 1. 5. Vectores y trigonometría

Haciendo uso de C . (E + F) = C . E + C . F (propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma) y de los resultados obtenidos en el ejercicio anterior, demostrar que si A = ax i + ay j + az k  y  B  = bx i + by j + bz k entonces, 

A . B = (ax i + ay j + az k) . (bx i + by j + bz k) =

         = ax i bx i + ac i by j + ax i bz k +

          + ay j bx i + ay j by j + ay j bz k +

          + az k bx i + az k by j + az k bz k

A . B = ax bx + ay by + az bz