Física 1 (Exactas) Práctica 12.11 - Dinámica del cuerpo rígido

Un cilindro homogéneo de radio R₁ y masa m rueda sin resbalar (hay rozamiento) dentro de una cavidad semicilíndrica de radio R₂ (ver Figura).

 

a)      Si θ es el ángulo de la Figura y v_CM es la velocidad del centro de masa del cilindro de radio R₁, escriba los vectores v_CM y dv_CM/dt en función de datos y de las derivadas de θ con respecto al tiempo.

 

Posición del centro de masa (rCM)

rCM = (R2 – R1) θ

 

Donde

rCM = posición del centro de masa

(R2 – R1) = radio de desplazamiento del CM

θ = angulo barrido

 

Velocidad del centro de masa (vCM)

vCM = drCM / dt = (R2 – R1) dθ / dt

 

Vector vCM

vCM = (R2 – R1) dθ / dt (ǔθ)

 

Con ǔθ = versor tangencial

 

Derivando

dvCM / dt = (R2 – R1) d(dθ / dt) / dt  (ǔθ) + ((R2 – R1) dθ / dt)  d(ǔθ) / dt (ǔr)

                  = (R2 – R1) d²θ / dt²  (ǔθ) + (R2 – R1) (dθ / dt)^2 ǔr

 

Con ǔr = versor radial

 

Nota:

θ varia con el tiempo à d(ǔθ) / dt  = dθ / dt ǔr

 

 

  

b)     Teniendo en cuenta los resultados de a) y que el cilindro rueda sin deslizar, exprese los vectores velocidad angular Ω y aceleración angular dΩ/dt de este cilindro en función de datos y de las derivadas de θ con respecto al tiempo.

 

vCM = R1 ω (condición de rodadura)

 

Con ω = velocidad angular

 

Reemplazando

ω = vCM / R1 = (R2 – R1) / R1  dθ / dt

 

Vector velocidad angular (Ω)

Ω = (R2 – R1) / R1   dθ / dt (ǐ)

 

El cilindro se mueve hacia la derecha (en la dirección de θ +)

Gira en sentido antihorario respecto a su propio eje à giro apunta saliendo del plano (x +) = (ǐ)

 

dΩ / dt = (R2 – R1) / R1   d²θ / dt² (ǐ)

 

 

 

c)      Indique en un dibujo todas las fuerzas que actúan sobre el cilindro y plantee las ecuaciones de Newton y momentos para este cilindro. Obtenga una ecuación diferencial para θ(t) y diga qué tipo de movimiento realiza el cilindro.

 

Ecuaciones de Newton

Según radial: N – Pr = m aCM

Según perpendicular: Froz – Pt = m aCM

Torque: τ = - Froz R1 = I α

 

Donde

N = reacción de la cavidad (ǔr)

P = peso = m g cos θ (ǔr) + m g sen θ (ǔθ)

Froz = fuerza de rozamiento (ǔθ)

aCM = aceleración del CM = (R2 – R1) d²θ / dt^{2 (}ǔθ) + (R2 – R1) (dθ / dt)^2 (ǔr)

τ = torque respecto del CM

I = momento de inercia = 1 /2 m R1^2

α = aceleración angular del CM = (R2 – R1) / R1   d²θ / dt² (ǐ)

 

Reemplazando

según (ǔr): N - m g cos θ = m (R2 – R1) (dθ / dt)^2

según (ǔθ): Froz - m g sen θ = m (R2 – R1) d²θ / dt² 

torque (τ) : - Froz R1 =1 /2 m R1^2 (R2 – R1) / R1   d²θ / dt²

 

 

Despejando Froz de la ecuación del τ

τ : Froz = - 1 /2 m (R2 – R1) d²θ / dt²

 

Reemplazando en la ecuación de (ǔθ)

 - 1 /2 m (R2 – R1) d²θ / dt² - m g sen θ = m (R2 – R1) d²θ / dt²

 

Reordenando

3 /2 (R2 – R1) d²θ / dt² + g sen θ = 0

 

Ecuación diferencial

d²θ / dt² + 2/3 g / (R2 – R1) sen θ = 0

 

Movimiento Oscilatorio Armónico NO lineal

para pequeñas oscilaciones  à Movimiento Armónico Simple (MAS)

 

d)                Si en el instante inicial θ(t = 0) = 0 y dθ/dt (t = 0) = ω₀ , diga cuál es la solución de la ecuación diferencial obtenida en c) para ángulos pequeños. 

 

Ángulos pequeños (pequeñas oscilaciones) à sen θ ≈ θ

 

Reemplazando en las ecuaciones diferencial

d²θ / dt² + 2/3 g / (R2 – R1) θ = 0

 

La solución de la ecuación diferencial

θ(t) = A cos (ω t) + B sen (ω t)

 

Donde

ω = velocidad angular = [2/3 g / (R2 – R1)]^(1/2)

 

Derivando

dθ(t)/dt = - A ω sen (ω t) + B ω cos (ω t)

 

Para t = 0 à  θ(t) = 0 y dθ(t)/dt = ωo

 θ(t)  = A cos (0) + B sen (0) = 0 à A = 0

dθ(t)/dt =  B ω cos (0)  =  ωo à B =  ωo / ω  

 

Reemplazando 

θ(t) = ωo / ω sen (ω t)

 

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 12.10 - Dinámica del cuerpo rígido

Una tabla de masa m₁ está apoyada sobre dos cilindros sólidos de igual masa (m₂ = m₃) y diámetro d. No hay deslizamiento entre la tabla y los cilindros ni entre los cilindros y la superficie horizontal. Se tira de la tabla con una fuerza constante F₀ Calcule la velocidad de la tabla cuando se ha desplazado una distancia D desde la posición de reposo.

 

 

ΔEc = WFo

 

Donde

ΔEc = variación de la energía cinética del sistema = Ecf - Eco

Ecf = energía cinética final

Eco = energía cinética inicial = 0

WFo = trabajo de la fuerza externa = Fo D

 

Energía cinética del sistema

Ec = Ect + 2 Ecc

 

Donde

Ec = energía cinética del sistema

Ect = energía cinética de la tabla = 1 /2 mt vt^2

mt = masa de la tabla = m1

vt = velocidad de la tabla = v

Ecc = energía cinética de cada cilindro = 1 /2 m vc^2 + 1 /2 Ic ωc^2

m = masa de cada cilindro = m2 = m3

vc = velocidad del centro de masa del cilindro

Ic = momento de inercia del cilindro = 1 /2 m R^2

R = radio del cilindro = d / 2

d = diámetro del cilindro

 ωc = velocidad angular de cada cilindro = vc / R (condición de rodadura)

 

Relación entre la velocidad de la tabla y la de los cilindros

Velocidad de la tabla (vt) = velocidad del punto más alto del cilindro

vt = ωc d  

 

Reemplazando la ωc

vt = vc / R  2 R = 2 vc   à vc = vt /2

 

Reemplazando en la Ecf

Ecf = 1 /2 m1 v^2 + 2 * [1 /2 m2 (v / 2)^2 + 1 /2 (1 /2 m2 (d / 2)^2 (v/2 / (d/2))^2] =

      = 1 /2 m1 v^2 + 3/8 m2 v^2

 

Reemplazando en

1 /2 m1 v^2 + 3/8 m2 v^2 = Fo D

 

Despejando v

v = [Fo D / (1 /2 m1 + 3/8 m2)]^(1/2)

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 12.9 - Dinámica del cuerpo rígido

Un cilindro homogéneo de masa M y radio R se traslada sin rodar con velocidad v₁ en la parte exenta de rozamiento BA de una superficie horizontal Más allá de A cambia la superficie de manera que a la derecha de A el coeficiente de rozamiento es μ. Una vez que haya pasado el punto A, el cilindro deslizará primeramente sobre el plano áspero, pero acabará rodando sin deslizar.

 

 

a.     Calcule en qué punto empezará a rodar sin deslizar (rodadura) y cuál será la velocidad correspondiente del centro de masa. 

 

Ecuaciones de Newton (a parir de A)

Según x: - Froz = M a

Según y: N – P = 0

τ: Froz R = I α

 

Donde

Froz = fuerza de rozamiento = μ N

N = reacción del plano

a = aceleración del centro de masa

P = peso = M g

τ = torque respecto del centro de masa (CM)

I = momento de inercial del cilindro = 1/ 2 M R^2

R = radio del cilindro

α = aceleración angular

 

Reemplazando en la ecuación según x

a = - μ M g / M = - μ g

 

Reemplazando en la ecuación del torque

α = μ M g R / (1 /2 M R^2) = 2 μ g / R

 

Comienza a rodar sin deslizar (rodadura) punto C

vC = ωC R

 

Donde

vC = velocidad del centro de masa en rodadura = v1 + a tC

tC = tiempo que tarda en llegar a rodadura

ωC = velocidad angular en rodadura = α tC

 

Reemplazando

v1 - μ g tr = 2 μ g / R tC R

 

Despejando tC

tC = v1 / (3 μ g)

 

Reemplazando en vC

vC = v1 - μ g (v1 / (3 μ g)) = 2 /3 v1

 

Velocidad CM (vC)

vC =  2 /3 v1

  

Posición (xC)

xC = v1 (v1 / (3 μ g)) – 1 /2 μ g (v1 / (3 μ g))^2 = 5/18 v1^2 / (μ g)

 

 

 

b.     Calcule la aceleración del cilindro y el valor de la fuerza de rozamiento a partir del punto en que entra en rodadura (punto C).

 

A partir del punto C à No hay fuerzas externas à a = 0

 

Si a = 0 à Froz = 0

 

 

c.      Calcule la energía perdida entre el punto A y el punto C. Justifique el valor hallado por razonamientos energéticos.

 

ΔEm = EmC - EmA

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica

EmA = energía mecánica en A = EcA

EcA = energía cinética en A = 1 /2 M v1^2

EmC = energía mecánica en C = EcC + EcrC

EcC = energía cinética en C = 1 /2 M vC^2

vC = velocidad en C = 2 /3 v1

EcrC = energía cinética de rotación = 1 /2 I ωC^2

ωC = velocidad angular = vC / R = 2 /3 v1 / R

 

Reemplazando

ΔEm = 1 /2 M (2 /3 v1)^2 + 1 /2 (1/ 2 M R^2) (2 /3 v1 / R)^2 - 1 /2 M v1^2 = - 1/6 M v1^2

 

La energía perdida equivale al trabajo de la fuerza de rozamiento

 

WFr = WFr tras + WFr rot

 

Donde

WFr = trabajo de la fuerza de rozamiento entre A y C

WFr tras = trabajo de la fuerza de rozamiento por traslación = - Froz  xC

Froz = fuerza de rozamiento = μ M g

xC = distancia recorrida AC = 5/18 v1^2 / (μ g)

WFr rot = trabajo de a fuerza de rozamiento por rotación = τ  θ

τ = torque = μ M g

θ = angulo barrido = 1/ 2 α tC = 1/ 2 (2 μ g / R) (v1 / (3 μ g))^2 = v1^2 / (9 μ g)

 

Reemplazando

WFr = - μ M g 5/18 v1^2 / (μ g) + μ M g v1^2 / (9 μ g)

         = - 5/18 M v1^2 + 1/9 M v1^2 = - 1/6 M v1^2