a) Utilizando el Teorema de Pitágoras y la definición de las funciones trigonométricas, usando el triángulo de la Fig. demostrar el Teorema del Coseno:
AC^2
= AB^2 + BC^2 – 2 AB BC cos β,
donde
AB, BC y AC son las longitudes de los respectivos lados.
Considerar
los dos triángulos rectángulos ABD y
ADC, respectivamente.
Teorema de Pitágoras
AC^2 = AD^2 + DC^2
AB^2 = AD^2 + BD^2
Restando ambas
ecuaciones
AC^2 – AB^2 = DC^2
– BD^2
Reordenando
AC^2 = AB^2 + DC^2
– BD^2
Además
BC = BD + DC à
DC = BC - BD
cos β = BD / AB à BD = AB cos β
Reemplazando
AC^2 = AB^2 + (BC
– BD)^2 - BD^2
AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 BC BD + BD^2 – BD^2
AC^2 = AB^2 + BC^2
- 2 BC AB cos β
b) Utilizando la definición del seno demostrar sobre
los mismos triángulos que
AC / sen β = AB / sen γ,
sen β = AD / AB à
AD = AB sen β
sen γ = AD / AC à AD = AC sen γ
Igualando
AB sen β = AC sen γ
Reordenando
AC / sen β = AB / sen γ (I)
y generalizar el resultado para demostrar el Teorema
del Seno:
AC / sen β = AB / sen γ = BC / sen α.
sen β = EC / BC à EC = AB sen β
sen α = EC / AC à EC = AC sen α
Igualando
BC sen β = AC sen α
Reordenando
AC / sen β = BC /
sen α (II)
(I) y (II)
AC / sen β = AB / sen γ = BC / sen α.
