Física 1 (Exactas) Practica 8.4 – Trabajo y energía

Sea un péndulo simple, constituido por un cuerpo de masa m suspendido del extremo de una varilla sin masa de longitud L, que oscila en un plano. 

 

a.     Grafique la energía potencial del cuerpo, V, en función de θ, siendo θ el ángulo que forma el hilo con la vertical. Indique los valores máximos y mínimos del potencial.

 

 

V = m g h

 

Donde

V = energía potencial

m = masa del cuerpo

g =aceleración de la gravedad

h = altura = L – L cos θ

L = longitud de la varilla

θ = ángulo con la vertical

 

Reemplazando en V

V = m g L (1 - cos θ)

 

Vmin à  cos θ = 1 à θ = 0 à Vmin = 0

Vmax à cos θ = -1 à θ = π ó θ = - π à Vmax = 2 m g L

 

 

 

b.     Si E es la energía mecánica total, para los casos: E1 < VMAX, E2 = VMAX y E3 > VMAX:

 

  

i.                 estudie cualitativamente el movimiento del cuerpo y diga cómo haría en la práctica para conseguir estos valores de E. 

 

Em = Ec + V

 

Donde

Em = energía mecánica total = E

Ec = energía cinética = 1 /2 m v(θ)^2 > 0

v(θ) = velocidad del cuerpo

V = energía potencial = m g L (1 - cos θ)

 

Reemplazando

Em = 1 /2 m v(θ)^2 + m g L (1 - cos θ)

 

E1 < VMAX

Em1 = Ec + V

En  Ec = 0  à  V < VMAX à - π < θ  < π

 

Movimiento oscilatorio

El péndulo no tiene suficiente energía para llegar al punto más alto.

 

Practica

Se separa el cuerpo un ángulo menor a π

 

 

E2 = VMAX

Em2 = Ec + V

En  Ec = 0  à  V = VMAX à  θ = π

 

Movimiento asintótico

El péndulo teóricamente alcanza la posición vertical, en un equilibrio inestable

 

Practica

El cuerpo se coloca exactamente en π.

Se impulsa el cuerpo desde la posición más baja con una velocidad igual a vo

vo = (4 g L)^(1/2) 

 

 

E3 > VMAX

E3 = Ec + V

En   V =  VMAX à Ec > 0

 

Movimiento rotatorio

La energía cinética nunca se anula, el cuerpo gira a una distancia L del centro de giro

 

Practica

Se impulsa el cuerpo desde la posición más baja con una velocidad superior a vo

vo > (4 g L)^(1/2) 

 

 

ii.               A partir del gráfico V vs. θ obtenga el gráfico de velocidad en función de θ.  

 

E = 1 /2 m v^2 + m g L (1 – cos θ)

 

Despejando v

| v | = [ 2 E / m – 2 g L ((1 – cos θ)]^(1/2)

 

 

 

 

c.      Considere el movimiento del péndulo para amplitudes grandes. Elija algún valor de L y obtenga gráficos para θ(t), dθ/dt (t) y dθ/dt(θ). 

 

c.1. gráficos

 

Ecuación de Newton (sin aproximación a ángulos pequeños)

- m g sen θ = m at

 

Donde

at = aceleración tangencial = L γ

γ = aceleración angular = d²θ / dt²

 

Reemplazando

 d²θ / dt² + g / L sen θ = 0

 

Esta ecuación diferencial tiene como soluciones funciones elípticas de Jacobi

Con  L = 1 m y  distintas amplitudes iniciales (θ = 30°; 90 ° y 150 °)

gráfico  ángulo vs tiempo (θ(t))

Nota: Gráfico Google IA 

gráfico velocidad angular vs tiempo (dθ/dt (t))

Nota: Gráfico Google IA 

gráfico fase vs ángulo ( dθ/dt(θ))

 

Nota: Gráfico Google IA 

 

 

c.2. Estudie la dependencia entre la frecuencia del movimiento y su amplitud.

 

T = 1 / f

 

Donde

T = periodo

f = frecuencia

 

 

Aumento de amplitud (mayor θo) à aumento del periodo (T) à disminución de la frecuencia (f)

(ver gráficos)

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 8.3 – Trabajo y energía

Considere una partícula de masa m que se mueve en una dimensión bajo la acción de una fuerza F = − ax³ en la dirección x. 

 

a.     Demuestre que dicha fuerza es conservativa y calcule el potencial. 

 

F = solo depende de una dimensión (x); no depende del tiempo (t) ni la velocidad (v)à fuerza conservativa  

 

F(x) = - dU / dx

 

Donde

U = función potencial

 

Despejando

U(x) = - ∫ F(x) dx = - ∫ (- a x^3) dx = a /4 x^4 + C

Definiendo U(0) = 0 à C = 0

 

U(x) = a /4 x^4

 

 

b.     Grafique el potencial y analice los posibles movimientos de la partícula.

 

 

Movimiento de la particula

 

F = m a

 

Donde

F = fuerza

m = masa

a = aceleración = d²x / dt²

 

Reemplazando

- a x^3 = m d²x / dt²

 

Ecuación de movimiento

d²x / dt² + a / m x^3 = 0  à Movimiento oscilatorio

 

Posición de equilibrio

 

 – a xeq^3 = 0 à xeq = 0 

 

Si x > 0 à F < 0

Si x < 0 à F > 0

La fuerza siempre se opone al movimiento  à xeq = 0  equilibrio estable

Energia mecánica

Em = Ec + V(x)

 

Donde

Em = enegia mecánica

Ec = energía cinetica = 1 / 2 m v^2

m = masa

v = velocidad

V(x) = energia potencial = 1 /4 a x^4

 

Reemplazando

Em = 1 /2 m v^2 + 1 /4 a x^4

 

Dado que  Ec  > 0 siempre à Em ≥ V(x)

El movimiento esta confinado entre x = - A y x = A donde v = 0

 

NO hay fuerzas NO conservativas à Em se conserva

Si x = A  ( v = 0)

 

Em = 1 /4 a A^4  à  A = (4 Em / a)^(1/4)

c.1.  Elija valores para m y a y obtenga gráficos para x(t) y v(t) variando las condiciones iniciales (obtenga también gráficos de v(x))

 

Ecuación x(t)

 d²x / dt² + a / m x^3 = 0

 d²x / dt² = dv / dt = dv/dx dx/dt = v dv/ dtr

 

reemplazando en la ecuación de movimiento

v dv/dx =  -  a / m x^3

 

Integrando

v^2 / 2 = - a / m x^4 / 4 + C

 

Si en t = 0 à x = A y  v = 0

0 = - a / m  A^4 / 4 + C à C = a / m  A^4 / 4

 

Reemplazando en la ecuación de v

v(x) = [ a / (2 m) (A^4 – x^4) ]^(1/2)

 

v(x) = dx / dt

 

Reemplazando

dx / dt = [ a / (2 m) (A^4 – x^4) ]^(1/2)

 

Reordenando y separando variables

dx / (A^4 – x^4)^(1/2) = ( a / (2 m))^(1/2) dt

Integrando

x(t) = A CS(xo (a / m)^(1/2) t ; 1/ 2^(1/2))

 CS = funcion coseno de Jacobi

Las curvas x(t) son cosenos de Jacobi (no son senos o cosenos perfectos) tienen ligeramente aplanadas las crestas y  al aumentar la amplitud inicial (A) describen ciclos más cortos

 

Si m = 1 y a = 1  à x(t) = A CS(A (t ; 1/ 2^(1/2))

Nota: Gráfico Google IA 

Ecuación v(t)

v(t) = dx / dt 

derivando

v(t) = A [SN A (a / m)^(1/2) t ; 1/ 2^(1/2)) DN(A (a / m)^(1/2) t ; 1/ 2^(1/2)) (A (a / m)^(1/2))

 

SN = funcion seno de Jacobi

DN = delta de amplitud de Jacobi

Las curvas v(t) son senos de Jacobi y delta de amplitud (no son senos perfectas) tienen más aplanadas las crestas (efecto de DN) y al aumentar la amplitud inicial (A) describen ciclos mas cortos

 

Nota: Gráfico Google IA 

Ecuación v(x)

 

Em = 1 /2 m v^2  + 1 / 4 a x^4

 

En el punto de retorno à v= 0 y x = A

 

Reemplazando (con ∆Em = 0)

1 /2 m v^2 + 1 /4 a x^4 = 1 / 4 a A^4

 

Despejando v

v = (( a / (2 m) ( A^4 – x^4))^(1/2)

  

La curva v(x) son cerradas y simétricas (la energía se conserva)

  

Nota: Gráfico Google IA 

c.2. ¿Qué tipo de movimiento se obtiene?

 

El movimiento es acotado (entre – A y + A) y periódico,

Tipo de Movimiento à Oscilación periódica NO armónica

 

 

c.3. Estudie numéricamente la dependencia entre la frecuencia del movimiento y su amplitud.

  

Em = 1 /2 m v^2  + 1 / 4 a x^4

 

En el punto de retorno à v = 0 y x = A

 

Reemplazando (con ∆Em = 0)

1 /2 m v^2 + 1 /4 a x^4 = 1 / 4 a A^4

 

Despejando v

v = (( a / (2 m) ( A^4 – x^4))^(1/2)

  

Con v = dx / dt

 

Reordenando

dt = dx / (( a / (2 m) (A^4 – x^4))^(1/2)

 

T = periodo = tiempo de una oscilación completa

 

T / 4 = tiempo entre x = 0 y x = A

 

Reemplazando

T / 4 = (2 m /a)^(1/2) ∫ dx / (A^4 – x^4))^(1/2)

 

Con un cambio de variable u = x / A

Reordenando

T = 4 (2 m / a)^(1/2)   1/A * 1,311

 

 f = 1 / T

 

Con f = frecuencia

 

Reemplazando

f = A / 4  (a / (2 m))^(1/2) 1 / 1,311

 

 

c.4.  Verifique que, con muy buena aproximación, se cumple que la frecuencia del movimiento es proporcional a la amplitud.

 f =  C A  

 

f es directamente proporcional a A

 

C = 1 / 4 (a / (2 m))^(1/2) 1 / 1,311  ≈ 0,1348 ( a / m)^(1/2)