Física 1 (Exactas) Practica 1.2.9 Cinemática – Coordenadas polares

Cierto mecanismo de relojería consiste de dos agujas A y B que se mueven ambas en sentido horario. La aguja A se mueve con velocidad angular constante ωo partiendo de ϕA (t = 0) = 0, la aguja B se mueve con una aceleración angular constante Γ partiendo con velocidad angular ωB (t = 0) = 2ωo desde ϕB (t = 0) = 0.

 

a)     Calcule en qué instantes ambas agujas coinciden.

 

Aguja A

ϕA(t) = ϕAo + ωA t

 

donde

ϕA(t) = ángulo barrido en el instante t

ϕAo = ángulo inicial (t = 0) = 0 = 2 π

ωA = velocidad angular constante = - ωo  ( sentido horario à ωA < 0  )

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

 ϕA(t) = 2 π - ωo t

 

 

Aguja B

ϕB(t) = ϕBo + ωBo t + 1 /2 γ t^2

 

donde

ϕB(t) = ángulo barrido en el instante t

ϕBo = ángulo inicial (t = 0) = 0 = 2 π

ωBo = velocidad angular = - 2 ωo ( sentido horario à ωBo < 0)

γ = aceleración angular = - Γ ( sentido horario, aceleración à γ < 0)

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

ϕB(t) = 2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2

 

 

agujas coinciden ϕA(t) - ϕB(t) = 0

2 π - ωo t – (2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2) = 0

 

reordenando

ωo t + 1 /2 Γ t^2 = 0

 

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = 0 (cuando se inicia)

t2 = - 2 ωo / Γ (descartada < 0)

 

No hay cruce en la primera vuelta

 

Segunda vuelta

ωo t + 1 /2 Γ t^2 = 2 π

 

Reordenando

1 /2 Γ t^2 + ωo t  - 2 π = 0

 

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = (-  ωo – raíz cuadrada (ωo^2 + Γ π)) / Γ (descartada < 0)

t2 = (-  ωo + raíz cuadrada (ωo^2 + Γ π)) / Γ

 

 Nota:

 raíz cuadrada (ωo^2 + Γ π) > raíz cuadrada (ωo^2) =  ωo  à  t2 > 0

 

b)    Calcule en qué instantes ambas agujas coinciden en el caso en que la aguja A se mueva en sentido antihorario.

 

Aguja A

ϕA(t) = ϕAo + ωA t

 

donde

ϕA(t) = ángulo barrido en el instante t

ϕAo = ángulo inicial (t = 0) = 0

ωA = velocidad angular constante = ωo  ( sentido antihorario à ωA >  0  )

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

ϕA(t) = ωo t

 

Aguja B

ϕB(t) = 2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2

 

agujas coinciden ϕA(t) - ϕB(t) = 0

ωo t – (2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2) = 0

 

Reordenando

1 /2 Γ t^2 + 3 ωo t - 2 π = 0

 

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = (-  3 ωo – raíz cuadrada (9 ωo^2 + Γ π)) / Γ (descartada < 0)

t2 = (-  3 ωo + raíz cuadrada (9 ωo^2 + Γ π)) / Γ

 

Nota:

 raíz cuadrada (9 ωo^2 + Γ π) > raíz cuadrada (9 ωo^2) = 3 ωo  à t2 > 0

 

Física 1 (Exactas) Practica 1.2.8 Cinemática – Coordenadas polares

Un cuerpo inicialmente en reposo (es decir, q (t = 0) = 0, w (t) = 0) es acelerado en una trayectoria circular de 1,3 m de radio, de acuerdo a la ley g = 120 s^-4 t^2 – 48 s^-3 t + 16 s^-2 donde g es la aceleración angular medida en s^-2. Halle,

 

a)     q = q (t) y w = w (t)

 

integrando

g = d ω / dt à  ω(t)  = 120 s^-4 t^3 / 3  – 48 s^-3 t^2 / 2  + 16 s^-2 t + ω(t=0)

 

ω(t) = 40 s^-4 t^3   – 24 s^-3 t^2 + 16 s^-2 t

 

Integrando

ω  = d θ  / dt à θ(t) = 40 s^-4 t^4 / 4    – 24 s^-3 t^3 / 3  + 16 s^-2 t^2 /2 + θ(t=0)

 

θ(t) = 10 s^-4 t^4   – 8 s^-3 t^3 + 8 s^-2 t^2

 

 

b)    El vector aceleración (ayuda: utilice la descomposición polar).

 

a = at + ac (ecuación vectorial)

 

Donde

a = vector aceleración

at = aceleración tangencial = R g

ac = aceleración centrípeta = ω^2 R

 

Reemplazando

a(t) = (120 s-4 t^2 – 48 s-3 t + 16 s-2) (1,3 m) (θ) +

         + (40 s-4 t^3 – 24 s-3 t^2 + 16 s-2 t)^2 (1,3 m) (-r) =

         = (156 m/s⁴ t^2 -  62,4 m/s³ t + 20,8 m/s²) (θ) +

         + (2080 m/s⁸ t^6 - 1747,2 m/s⁶ t^4 - 998,4 m/s⁵ t^3 + 1996,8 m/s⁴ t^2) (-r)

 

Nota:

(θ) versor θ

(r) versor r

 

 

c)     cuánto vale el vector velocidad en t = 2 s?

 

v(t) = ω(t) R

 

Reemplazando

v(2 s) = (40 s^-4 (2 s)^3   – 24 s^-3 (2 s)^2 + 16 s^-2 (2 s)) (1,3 m) = 332,8 m/s

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 1.1.7. Cinemática – Coordenadas cartesianas

 Un jugador de fútbol patea la pelota fuera de la cancha hacia las tribunas con velocidad inicial vo y ángulo de elevación q. La tribuna forma un ángulo α con la horizontal, como muestra la Figura. Se recomienda utilizar un sistema de referencia con los ejes (x,y) en las direcciones horizontal y vertical, respectivamente.

a)     Muestre que la expresión del alcance L en función del ángulo q está dada por:

 

r(t) = (x(t); y(t))

 

Donde

r(t) = posición de la pelota en el instante t

x(t) = posición según x en el instante t = L cos α

y(t) = altura según y en el instante t = L sen α

 

Ecuaciones horarias

x(t) = xo + vo cos θ t

y(t) = yo + vo sen θ t - 1/ 2 g t^2

 

Donde

xo = posición inicial = 0

yo = altura inicial = 0

vo = velocidad inicial

.g = aceleración de la gravedad

 

Reemplazando

vo cos θ t = L  cos α

vo sen θ t - 1/ 2 g t^2 = L sen α

 

Despejando t de la ecuación según x

t = L  cos α / (vo cos θ)

 

Reemplazando en la ecuación según y

vo sen θ (L cos α / (vo cos θ) - 1/ 2 g L cos α / (vo cos θ)^2 = L sen α

 

Despejando L

L = 2 vo^2 (sen θ cos α cos θ - sen α (cos θ)^2) / (g (cos α)^2)   

L = 2 vo^2 / (g (cos α)^2)  *  sen (θ - α) cos θ

 

 

Nota: sen θ cos α cos θ - sen α (cos θ)^2 =

          cos θ (sen θ cos α - sen α cos θ) = sen (θ - α) cos θ

 

b)    Grafique L en función de q y demuestre que para cada valor de L hay dos valores posibles de q (estos se conocen como tiro rasante y tiro por elevación, respectivamente).

 

 L (θ) = Parabola concava negativa con vertice en θ = 45° à para cada valor de L hay dos valores de θ 

c) Cuál es el ángulo qmax para el cual el alcance es máximo?

 

L = 2 vo^2 / (g  (cos α)^2)  * sen (θ - α) cos θ 

Angulo máximo. d L / d θ

d L / d θ = 2 vo^2 / (g (cos α)^2)  [ cos (θ - α)  cos θ -  sen (θ - α)  sen θ )] = 0

[ cos (θ - α)  cos θ -  sen (θ - α)  sen θ )] = 0 

[ cos α ((cos θ)^2  -  (sen θ)^2)] = 0  à qmax = 45°

Física 1 (Exactas) Practica 1.1.6. Cinemática – Coordenadas cartesianas

 Un juego de un parque de diversiones consiste en una pelotita que se mueve por un carril rectilíneo con aceleración a = k t hacia la derecha, con k > 0. A t = 0, la pelotita se halla en reposo en el extremo izquierdo del carril (punto A). El jugador dispone de un rifle, ubicado a una distancia D del punto A, que dispara bolas con velocidad vo variable, pero con un ángulo α fijo.

 

 

a.     ¿Con qué velocidad vo debe disparar el jugador para que le sea posible acertar en la pelotita? ¿En otras palabras, para qué valor de vo las trayectorias de la bala y la pelotita se cruzan?

 

Jugador

 

rj(t)  = (xj(t) ; yj(t))

 

Donde

rj(t) = posición de la bala del jugador en el instante t

xj(t) = posición según x en el instante t

yj(t) = altura según y en el instante t

 

Ecuaciones horarias

xj = xo + vo cos α t

yj = yo + vo sen α t - 1/ 2 g t^2

 

Donde

xo = posición inicial = 0

yo = altura inicial = 0

vo = velocidad inicial

g = aceleración de la gravedad

 

Reemplazando en yj = 0 (puede encuentrar  la pelota),

yj = vo sen α t - 1/ 2 g t^2 = 0

 

Esta cuadrática tiene dos soluciones

t1 = 0 (cuando se dispara)

t2 = 2 vo sen α / g (cuando llega)

 

Reemplazando en xj para (va a encontrar la pelota si cae despues de D)

xj = vo cos α 2 vo sen α / g = vo^2 sen 2 α / g > D

 

Despejando vo

vo > raíz cuadrada (D g / sen 2 α)

 

Nota:

D > 0; g > 0;  0 < α < 90° à sen 2 α > 0  à  D g / sen 2 α > 0 (existe la raiz cuadrada)

 

 b.     ¿Si vo es alguna de las velocidades halladas en a), en qué instante debe disparar el jugador para pegarle a la pelotita?

 

Jugador

 

rj(t) = (xj(t); yj(t))

 

xj = vo cos α (te – toj)

yj = yo + vo sen α (te – toj) - 1/ 2 g (te – toj)^2

 

Donde

te = tiempo del encuentro

toj = tiempo de lanzamiento del jugador

 

Pelotita

 

rp(t) = (xp(t); yp(t))

 

Donde

rp(t) = posición de la pelotita en el instante t

xp(t) = posición según x en el instante t

yp(t) = altura según y en el instante t = 0

 

Según x

ap = k t

integrando

ap = d vp / d t à vp(t) = 1/ 2 k t^2 + vop 

Con vop = 0 para to = 0

integrando

vp = d xp / d t à xp(t) = 1/ 6 k t^3 + xop

Con xop = D para to = 0

   

Reemplazando

xp(t) = 1/ 6 k t^3 + D

 

Según y

yp = 0

 

Ecuentro 

xj = xp, yj = yp = 0 para te

 

vo cos α (te – toj) = D + 1/ 6 k te^3

vo sen α (te – toj) - 1/ 2 g (te – toj)^2 = 0

 

despejando (te – toj) en la ecuación según y

(te – toj) = 0 (descartada)

(te – toj) =  2 vo sen α  / g

 

Reemplazando en la ecuación según x

vo cos α 2 vo sen α / g = D + 1/ 6 k te^3

 

despejando te

te = raíz cubica (6 (vo^2 sen 2 α / g – D) / k)

 

Despejando toj de la ecuación en (te – toj)

toj = te – 2 vo sen α / g

 

Reemplazando te

toj = raíz cubica (6 (vo^2 sen 2 α / g – D) / k) – 2 vo sen α / g