Física 1 (Exactas) Practica 5.13 - Sistemas no inerciales

Un entretenimiento llamado silla voladora consiste en un disco horizontal de radio R de cuyo perímetro cuelgan hilos de longitud L. En el extremo de cada uno de estos hilos hay una canastilla dentro de la cual se ubica una persona. Considere un sistema de coordenadas fijo al disco el cual gira con velocidad angular constante ω (ver Figura).

  

Si todos los hilos forman con la vertical el mismo ángulo φ,

 

a.     ¿Es razonable inferir que todos los pasajeros tienen igual masa?

 

 

Ecuaciones de Newton (para sistemas no inerciales) para un pasajero

Dirección vertical: Ty – P = 0

Dirección radial: Tr – Fcf = 0

 

Donde

Ty = componente vertical de la tensión = T cos φ

Tr = componente radial de la tensión = T sen φ

T = tensión

P = peso = m g

Fcf = fuerza centrífuga = m ω^2 D

D = distancia total entre el pasajero y el eje = R + L sen φ

 

 

Reemplazando

T cos φ = m g

T sen φ = m ω^2 (R + L sen φ)

 

Cociente entre ambas ecuaciones

 tan φ = ω^2 (R + L sen φ) / g

 

El ángulo φ no depende de la masa

 

 

b.     Halle ω

 

Despejando ω^2

ω = (g tan φ / (R + L sen φ)^(1/2)

Física 1 (Exactas) Practica 5.12 - Sistemas no inerciales

Una bolita de masa m se encuentra engarzada en un alambre circular de radio R, ubicado en posición vertical. El aro de alambre gira alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω constante.

 

 

a.     Escriba las ecuaciones de Newton utilizando un sistema de referencia fijo al aro, indicando las fuerzas de interacción que actúan sobre la bolita.

 

Fuerzas de Interacción

P = peso de la bolita = m g

N = Normal ejercida por el alambre (perpendicular a la trayectoria - dirección radial)

 

Fuerzas Inerciales

Fcf = Fuerza centrífuga = m ω^2 D

Fco = Fuerza de Coriolis = - 2 m ω x v

 

 

Ecuaciones de Newton (para sistema no inercial)

Dirección radial: N - Fcfr – Pr = m ac

Dirección perpendicular:  Fcfp – Pt = m at

 

Donde

N = Normal

Fcfr = componente radial de la fuerza centrífuga = Fcf sen φ

Fcfp = componente perpendicular de la fuerza centrífuga = Fcf cos φ

Fcf = Fuerza centrífuga = m ω^2 D

ω = velocidad angular del aro

D = radio de giro de la masa = R sen φ

R = radio del aro

Pr = componente radial del peso = P cos φ

Pt = componente perpendicular del peso = P sen φ

P = peso = m g

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R = Ω^2 R

v = velocidad tangencial de la masa

Ω = velocidad angular de la masa = dφ / dt

at = aceleración tangencial = d²x / dt² = R d²φ / dt² 

 

Reemplazando

N -  m ω^2 R sen φ sen φ -  m g cos φ = m R (dφ / dt)^2

m ω^2 R sen φ cos φ -  m g sen φ = m R d²φ / dt²

 

 

Ecuación diferencial

d²φ / dt² -  ω^2 sen φ cos φ + g / R sen φ = 0

 

 

b.     Calcule las posiciones de equilibrio y analice la estabilidad de las mismas.

 

Posición de equilibrio

 

 m ω^2 R sen φ cos φ -  m g sen φ = 0

 

Reordenando

m sen φ (ω^2 R cos φ -  g) = 0

 

sen φ = 0 à

φ1 = 0

φ2 = π

 

(ω^2 R cos φ -  g) = 0 à

cos φ3 = g / (ω^2 R)

Solo existe si g / (ω^2 R) < 1 à  g / R < ω^2

 

 

Análisis de estabilidad – pequeñas perturbaciones

 

FN = m ω^2 R sen φ cos φ -  m g sen φ

Con FN = Fuerza Neta

 

φ = φeq + ε

Con ε pequeña perturbación

 

Serie de Taylor de 1er orden de FN

FN(φeq + ε) = m ω^2 R sen φeq cos φeq -  m g sen φeq +

                        (m ω^2 R cos φeq cos φeq - m ω^2 R sen φeq sen φeq -  m g cos φeq) ε =

                     = (m ω^2 R cos φeq cos φeq - m ω^2 R sen φeq sen φeq -  m g cos φeq) ε

 

Para φ1 = 0

FN(ε) = (m ω^2 R -  m g) ε

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

d²ε / dt² - (ω^2 -  g / R) ε = 0

 

Si (ω^2  -  g / R ) > 0 à la solución de la ecuación es exponencial

ω^2  > g / R à el equilibrio es inestable

 

Si (ω^2  -  g / R ) <  0 à la solución de la ecuación es oscilatoria

ω^2  <  g / R à el equilibrio es estable

 

 

Para φ2 = π

FN(π + ε) = (m ω^2 R + m g) ε

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

d²ε / dt² - (ω^2 + g / R) ε = 0

 

(ω^2 + g / R ) > 0 à la solución de la ecuación es exponencial à el equilibrio es inestable

 

Para  cos φ3 = g / (ω^2 R) con à   g / R  < ω^2

FN(φ3 + ε) = (m ω^2 R   -  m g^2 / (ω^2 R)) ε

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

d²ε / dt² - (ω^2   -  g^2 / (ω^2 R^2)) ε = 0

 

Si g / R  < ω^2  à (ω^2   -  g^2 / (ω^2 R^2)) < 0  à el equilibrio es estable

 

 

c.      Considere que inicialmente se suelta la masa m desde un ángulo φo, encuentre la fuerza de vínculo ejercida por el alambre en función de la posición de la bolita.

 

Ecuación diferencial

d²φ / dt² -  ω^2 sen φ cos φ + g / R sen φ = 0

 

 d²φ / dt² = dΩ / dt = (dΩ / dφ) ⁽dφ / dt) = (dΩ / dφ) Ω

 

Reemplazando

Ω dΩ / dφ = ω^2 sen φ cos φ -  g / R sen φ

 

Integrando

Ω^2 / 2 = ω^2 (sen φ)^2 / 2 + g / R cos φ + C

 

Para φ = φo à vo = 0  (Ωo = 0)

0 = ω^2 (sen φo)^2 + 2 g / R cos φo + C

C = - ω^2 (sen φo)^2 - 2 g / R cos φo

 

Reemplazando en Ω

Ω^2 = ω^2 ((sen φ)^2 - (sen φo)^2) + 2 g / R (cos φ - cos φo)

 

Reemplazando en la ecuación radial

N = m ω^2 (2 (sen φ)^2 - (sen φo)^2) + g m (3 cos φ – 2 cos φo)

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 5.11 - Sistemas no inerciales

Dos masas m1 y m2 están unidas por una soga inextensible de longitud L y de masa despreciable (ver Figura). Los dos cuerpos están sobre un riel que gira con velocidad angular ω constante y el riel no permite que los cuerpos se muevan hacia los costados. En el instante t = 0, la masa m1 se encuentra en la posición A con velocidad nula con respecto al riel.

 

a.     En un sistema no inercial solidario al riel, indique cuáles son las fuerzas y cuáles son las pseudofuerzas que actúan sobre cada masa. Identifique los pares de acción y reacción.

 

Cuerpo 1

 

Fuerzas de interacción

 P1 = peso masa 1 = m1 g

 N1 = reacción normal del riel

 T = tensión de la soga

 

Pseudofuerzas (fuerzas de inercial)

 Fcf1 = fuerza centrífuga de la masa 1 = m1 ω^2 r

 Fco1 = fuerza de Coriolis = 2 m1 ω r (perpendicular al riel)

 

 Cuerpo 2

 

Fuerzas de interacción

 P2 = peso masa 2 = m2 g

 N2 = reacción normal del riel

 T = tensión de la soga

 

 Pseudofuerzas (fuerzas de inercial)

 Fcf2 = fuerza centrífuga de la masa 2 = m2 ω^2 x

 Fco2 = fuerza de Coriolis = 2 m2 ω x (perpendicular al riel)

 

 

b.     Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo en un sistema no inercial solidario al riel.

 

Ecuaciones de Newton (sistema no inercial)

Cuerpo1. Dirección radial: T – P1r + Fcf1r = m1 anr

Cuerpo1. Dirección perpendicular: N1p – P1p – Fcf1p – Fco1 = 0

Cuerpo1. Dirección lateral al riel: N1l  – Fco1 = 0

Cuerpo2. Dirección horizontal: Fcf2 – T = m2 anx

Cuerpo2. Dirección perpendicular: N2p – P2 = 0  

Cuerpo2. Dirección lateral al riel: N2l – Fco2 = 0

 

Donde

T = tensión de la soga

P1r = componente radial del peso = P1 sen α

P1p = componente perpendicular del peso = P1 cos α

P1 = peso masa 1 = m1 g

Fcf1r = componente radial de la fuerza centrípeta = Fcf1 cos α

Fcf1p = componente perpendicular de la fuerza centrípeta = Fcf1p sen α

Fcf1 = fuerza centrífuga de la masa 1 = m1 ω^2 r

ω = velocidad angular

r = distancia al eje de rotación

N1p = reacción normal del riel – perpendicular al plano

N1l = reacción normal del riel – lateral al riel

Fco1 = fuerza de Coriolis = 2 m1 ω r (perpendicular al riel)

anr = aceleración según la dirección radial = d²r / dt²

N2 = reacción normal del riel

N2p = reacción normal del riel – perpendicular al plano

N2l = reacción normal del riel – lateral al riel

Fcf2 = fuerza centrífuga de la masa 2 = m2 ω^2 x

x = distancia al eje de rotación

anx = aceleración según la dirección horizontal = d²x / dt²

 

Reemplazando

T – m1 g sen α + m1 ω^2 r cos α = m1 d²r / dt²

m2 ω^2 x – T = m2 d²x / dt²

 

 

Relaciones de vinculo

 

L = x + r

 

Con L = longitud de la cuerda

 

anx = anr (cuerda inextensible)

 

Reemplazando en las ecuaciones de Newton

T – m1 g sen α + m1 ω^2 (L – x) cos α = m1 d²x / dt²

m2 ω^2 x – T = m2 d²x / dt²

 

 

 

c.      Resuelva las ecuaciones de movimiento y describa cómo será el movimiento de las partículas.

 

Sumando ambas ecuaciones

m2 ω^2 x – m1 g sen α + m1 ω^2 (L – x) cos α = m1 d²x / dt² + m2 d²x / dt²

 

Reordenando

d²x / dt² + (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) x = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 + m2) 

Si (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) < 0 la solución es una función exponencial

(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) <  0 à m1 cos α – m2 < 0 à m1 cos α <  m2

 

 

Posición de equilibrio

 

m2 ω^2 xeq – m1 g sen α + m1 ω^2 (L – xeq) cos α = 0

 

despejando xeq

xeq = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2)

 

Definiendo la variable u

u = x - xeq

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

d²u / dt² + (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) u = 0

 

 

Opción I .

Si (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) > 0 la solución es una función de oscilación (MAS)

(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) > 0 à m1 cos α – m2  > 0 à m1 cos α > m2

 

La solución de la ecuación diferencial

u = A cos (Ω t + φ)

 

Reemplazando en x

x(t) = A cos (Ω t + φ) + xeq

 

Donde

A = amplitud de oscilación

Ω = velocidad angular de la oscilación = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)

φ = fase inicial

 

 

Para t = 0; x = L y v = 0

x(0) = A cos (φ) + xeq = L à A = (L – xeq)

v(0) = dx / dt  = - A Ω sen (φ) = 0  à φ = 0

 

 Reemplazando

x(t) = (L – xeq) cos (Ω t) + xeq

 

Con

xeq = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2)

 Ω = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)

 

 

Opción II.

Si (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) < 0 la solución es una función exponencial

(m1 ω^2 cos α – m2 ω^2) / (m1 + m2) <  0 à m1 cos α – m2 < 0 à m1 cos α <  m2

 

La solución de la ecuación diferencial

u = A e^(λt) + B e^-(λt)

 

Reemplazando en x

x(t) = A e^(λt) + B e^-(λt) + xeq

 

Donde

A = amplitud de oscilación

λ = velocidad angular = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)

 

Para t = 0; x = L y v = 0

x(0) = A + B  + xeq  = L à A = (L – xeq) /2  

v(0) = dx / dt  = A λ - B λ  = 0   à A – B = 0 à A = B

 

 Reemplazando

x(t) = (L – xeq) / 2 (e^(λt) + e^-(λt)) + xeq

  

Con

xeq = (m1 ω^2 L cos α – m1 g sen α) / (m1 ω^2 cos α – m2 ω^2)

 λ = ω ((m1 cos α – m2) / (m1 + m2))^(1/2)