Física 1 (Ing.) Práctica 1.8 - Cinemática y Dinámica

Un proyectil es disparado con un ángulo inicial α con respecto a la horizontal (en el punto máximo, la velocidad es horizontal y la aceleración es vertical y hacia abajo).

 

 

a.     Hallar la expresión del radio de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.

 

an = v^2 / ρ

 

Donde

an = aceleración normal = g

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

v = velocidad normal (componente según x de la velocidad) = vo cos α

vo = velocidad inicial

ρ = radio de curvatura

 

Reemplazando

ρ = (vo cos α)^2 / g

 

 

b.     Calcular dicho radio para los datos: α = 30° y vo = 10 m/s.

 

Reemplazando

ρ = (10 m/s cos 30°)^2 / 10 m/s² = 7,2 m

 

 

c.      Con los datos (b), calcular el radio de curvatura cuando está en la mitad de altura al subir y al bajar, y comprobar que dichos radios son iguales.

 

a = dv / dt

 

integrando

v(t) = vo + a t

 

v = dr / dt

 

integrando

r(t) = ro + vo t + 1/2 a t^2

 

Donde

r(t) = posición = (d ǐ + h ǰ)

d = distancia horizontal

h = altura

ro = posición inicial = (0,0)

vo = velocidad inicial = (vo cos α ǐ + vo sen α ǰ)

a = aceleración = - g ǰ

v(t) = vector velocidad = (vx ǐ + vy ǰ)

 

Reemplazando

(d ǐ + h ǰ) = (vo cos α ǐ + vo sen α ǰ) t + 1/2 (- g ǰ) t^2

(vx ǐ + vy ǰ) = (vo cos α ǐ + vo sen α ǰ) + (- g ǰ) t 

 

Altura máxima vy = 0

Según ǰ: vy = vo sen α - g t

 

Despejando t

t = vo sen α / g

 

Reemplazando en h

Según ǰ: h = (vo sen α)^2 / g - 1/2 (vo sen α)^2 / g = 1/2 (vo sen α)^2 / g

 

Mitad de altura (h/2)

(1/2 (vo sen α)^2 / g) / 2 = vo sen α t + 1/2 (- g) t^2

 

Reordenando

1/2 g t^2 - vo sen α t + (1/4 (vo sen α)^2 / g) = 0

 

Reemplazando los datos de (b)

1/2 * 10 m/s² t^2 – 10 m/s sen 30° t + ((10 m/s sen 30°)^2 / (4 * 10 m/s²) = 0

5 m/s² t^2 – 5 m/ s t + 0,625 seg = 0

 

Esta cuadrática tiene dos soluciones

ts = 0,15 seg (subida)

tb = 0,85 seg (bajada)

 

 

Nota:

t = tangencial (ǔt)

n = normal (ǔn) 

Al subir

 

vs = (vo cos α ǐ + vo sen α ǰ) + (- g ǰ) ts

donde

vs = velocidad de subida

vo = velocidad inicial = 10 m/s

α = angulo = 30°

g = aceleracion de la gravedad = 10 m/s²

ts = tiempo en la subida = 0,15 seg

Reemplazando en vs

vs = (10 m/s cos 30° ǐ + 10 m/s sen 30° ǰ) + (- 10 m/s² ǰ) 0,15 seg

vs = 8,66 m/s ǐ + 3,54 m/s ǰ

| vs | = ((8,66 m/s)^2 + (3,54 m/s)^2)^(1/2) = 9,35 m/s

Versores 

vs = vst ǔt + vsn ǔn

 

Donde

vs = velocidad en h/2 cuando el proyectil sube = 8,66 m/s ǐ + 3,54 m/s ǰ

vst = componente tangencial de la velocidad

ǔt = versor tangencial = v / | v |

vsn = componente normal de la velocidad

ǔn = versor normal (perpendicular a ǔt)

 

Reemplazando en ǔt

ǔt = (8,66 m/s ǐ + 3,54 m/s ǰ) / 9,35 m/s = 0,93 ǐ + 0,38 ǰ

 

ǔn = (a ǐ + b ǰ)

Con ǔt . ǔn = 0 y | ǔn | = 1

ǔt . ǔn = (0,93 ǐ + 0,38 ǰ) . (a ǐ + b ǰ) = 0,93 a + 0,38 b = 0

a^2 + b^2 = 1

 

Una solución de este sistema

a = 0,38 (hacia la derecha)

b = - 0,93 (hacia abajo)

 

La otra solución sería a = - 0,38 (hacia la izquierda) y b = 0,93 (hacia arriba)

 

Reemplazando

ǔn = (0,38 ǐ – 0,93 ǰ)

 

Radio de curvatura

an = vn^2 / ρs

 

Donde

an = componente normal de la aceleración = - g ǰ . (0,38 ǐ – 0,93 ǰ)

vn^2 = componente normal de la velocidad = | v |^2

ρs = radio de cobertura subiendo

 

Reemplazando

ρs = vn^2 / an = (9,35 m/s)^2 / (10 m/s² * 0,93) = 9,45 m

 

Al bajar

vb = (vo cos α ǐ + vo sen α ǰ) + (- g ǰ) tb

donde

vb = velocidad de subida

vo = velocidad inicial = 10 m/s

α = angulo = 30°

g = aceleracion de la gravedad = 10 m/s²

tb = tiempo en la subida = 0,85 seg

 

Reemplazando en vb

vb = (10 m/s cos 30° ǐ + 10 m/s sen 30° ǰ) + (- 10 m/s2 ǰ) 0,85 seg

vb = 8,66 m/s ǐ - 3,54 m/s ǰ

| vb | = ((8,66 m/s)^2 + (- 3,54 m/s)^2)^(1/2) = 9,35 m/s

 

versores

vb = vbt ǔt + vbn ǔn

 

Donde

vb = velocidad en h/2 cuando el proyectil en baja = 8,66 m/s ǐ - 3,54 m/s ǰ

vbt = componente tangencial de la velocidad

ǔt = versor tangencial = v / | v |

vbn = componente normal de la velocidad

ǔn = versor normal (perpendicular a ǔt)

 

Reemplazando en ǔt

ǔt = (8,66 m/s ǐ - 3,54 m/s ǰ) / 9,35 m/s = 0,93 ǐ - 0,38 ǰ

 

ǔn = (a ǐ + b ǰ)

Con ǔt . ǔn = 0 y | ǔn | = 1

ǔt . ǔn = (0,93 ǐ - 0,38 ǰ) . (a ǐ + b ǰ) = 0,93 a - 0,38 b = 0

a^2 + b^2 = 1

 

Una solución de este sistema

a = - 0,38 (hacia la izquierda)

b = - 0,93 (hacia abajo)

 

La otra solución sería a = - 0,38 (hacia la izquierda) y b = 0,93 (hacia arriba)

 

Reemplazando

ǔn = (- 0,38 ǐ – 0,93 ǰ)

radio de curbatura 

an = vn^2 / ρb

 

Donde

an = componente normal de la aceleración = - g ǰ . (- 0,38 ǐ – 0,93 ǰ)

vn^2 = componente normal de la velocidad = | v |^2

ρb = radio de cobertura subiendo

 

Reemplazando

ρb = vn^2 / an = (9,35 m/s)^2 / (10 m/s² * 0,93) = 9,45 m

 

 Comparando

ρs = ρb

 

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 1.7 - Cinemática y Dinámica

Un objeto sigue la trayectoria en espiral que muestra la figura. Mientras la desarrolla, su rapidez es constante, pero el módulo de su aceleración varía.

 

 

a.     ¿Es constante la velocidad del objeto?

 

Rapidez = constante à | velocidad | = constante (cambia de dirección y sentido)

 

 

b.     ¿Es constante su aceleración?

 

a = at ǔt + an ǔn (ecuación vectorial)

 

Donde

a = aceleración

at = aceleración tangencial (en la dirección de v) = dv / d t

ǔt = versor en la dirección de v

v = velocidad

an = aceleración normal (en la dirección perpendicular a v) = v^2 / ρ

ρ = radio de curvatura

ǔn = versor perpendicular ǔv

 

at = dv / d t = 0 (v = constante)

 

an = v^2 / ρ ≠ 0

 

Reemplazando

a = v^2 / ρ ǔn    à | a | = v^2 / ρ

 

ρ varia (espiral) à a varia

 

 

c.      El módulo de la aceleración, ¿aumenta o disminuye?

 

 | a | = v^2 / ρ

 

| v |  constante y ρ disminuye (ver la figura) à | a |   aumenta

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 1.6 - Cinemática y Dinámica

 Un ave vuela en el plano x- y según las coordenadas:

x(t) = 2,0 m – 3,6 m/s t                  

y(t) = 1,8 m/s² t^2

 

a.     Escribir el vector posición en función del tiempo

 

r(t) = (2,0 m – 3,6 m/s t) ǐ + (1,8 m/s² t^2) ǰ

 

 

b.     Graficar la trayectoria del ave

 

Ecuación de la trayectoria

 

Despejando t de la ecuación x

t = (2 m – x) / 3,6 m/s

 

Con t > 0 à 2 m >  x 

 

Reemplazando en la ecuación según y

y(x) = 1,8 m /s² ((2 m – x) / 3,6 m/s)^2 = (2 m – x)^2 / 7,2 m

 

 

  

c.      Obtener los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo

 

Velocidad (v(t)) = dr / dt

 

derivando r(t) 

v(t) = – 3,6 m/s ǐ + 3,6 m/s² t ǰ

 

Aceleración (a(t)) = dv / dt

 

derivando

a(t) = 3,6 m/s² ǰ

 

 

     d.     Calcular módulo, dirección y sentido de la velocidad y de la aceleración en el instante t = 3 s

 

Velocidad en t = 3 s

Reemplazando para t = 3 s

v(3 s) = – 3,6 m/s ǐ + 3,6 m/s² 3 seg ǰ = – 3,6 m/s ǐ + 10,8 m/s ǰ

 

Modulo

| v(3 s) | = ((– 3,6 m/s)^2 + (10,8 m/s)^2)^(1/2) = 11,38 m/s

 

Dirección y sentido

Tan θ = vy / vx = 10,8 m/s / (-3,6 m/s)) = -3

 

Con sen θ > 0 y cos θ < 0

θ = arc tan (-3) = 180° - 71,57° = 108,43°

 

 

Aceleración en t = 3 s

 

Reemplazando para t = 3 s

a(3 s) = 3,6 m/s² ǰ

 

Modulo

| a(3 s) | = 3,6 m/s²

 

Dirección y sentido

θ = 90° (eje y)

 

 

 

e.      velocidad y aceleración

 

e.1. Dibujar los vectores velocidad y aceleración para el instante t = 3s.

 

 

e.2. En ese instante, el ave, ¿está acelerando, está frenando, o su rapidez no está cambiando?

 

Según x:  a = 0 à vx = constante

Según y: vy > 0 y ay > 0 à acelerando

 

El ave está acelerando

 

 

e.3. El ave, ¿está girando? De ser así, ¿en qué dirección?

 

El ave está girando en sentido horario

 

 

f.      Hallar los vectores intrínsecos de la aceleración en t = 3 s

 

 a = at ǔt + an ǔn (ecuación vectorial)

 

Donde

a = aceleración = 3,6 m/s² ǰ

at = aceleración tangencial (en la dirección de v)

ǔt = versor en la dirección de v = v / | v|

an = aceleración normal (en la dirección perpendicular a v)

ǔn = versor perpendicular ǔv

 

ǔt = v / | v| = (– 3,6 m/s ǐ + 10,8 m/s ǰ) / 11,38 m/s = – 0,3 ǐ + 0,9 ǰ

 

ǔn = (a ǐ + b ǰ)

 

Con   ǔv . ǔt = 0 y | ǔn | = 1

ǔv . ǔt = (– 0,3 ǐ + 0,9  ǰ ) . (a ǐ + b ǰ) = – 0,3 a + 0,9 b

| ǔn |^2 = a^2 + b^2 = 1

 

Una solución del sistema à a = 0,9 y b = 0,3

 

reemplazando en ǔn

ǔn = 0,9 ǐ + 0,3 ǰ  

  

Reemplazando en las ecuaciones de a

at = a . ǔt = 3,6 m/s² ǰ . (– 0,3 ǐ + 0,9 ǰ) = 3,4 m/s²

an = a . ǔn = 3,6 m/s² ǰ . (0,9 ǐ + 0,3 ǰ) = 1,1 m/s²

 

 

g.     Hallar la ecuación de la recta tangente a la trayectoria en t = 3 s

 

y – yo = m (x – xo)

 

Donde

yo = posición según en t = 3 s

xo = posición según x en t = 3 s

m = pendiente de la recta tangente = dy / dx

 

Reemplazando

xo(3 s) = 2,0 m – 3,6 m/s 3 s =   - 8,8 m             

 yo(3 s) = 1,8 m/s² (3 s)^2 = 16, 2 n

 

Ecuación de la trayectoria

y(x) = 1,8 m /s² ((2 m – x) / 3,6 m/s)^2 = (2 m – x)^2 / 7,2 m

 

Derivando

dy / dx = 2 (2 m – x) / 7,2 m (-1)

 

Para x = - 8,8 m (equivale a t = 3 s)

dy / dx = - 2 (2 m – (- 8 ,8 m) / 7,2 m = - 3

 

Reemplazando y reordenando

y = - 3 (x – (- 8,8 m)) + 16,2 m =   - 3 x – 10,2 m

 

 

 

h.     Hallar el radio de curvatura en t = 3 s

 

an = v^2 / ρ

 

Con ρ = radio de curvatura en el punto

 

Despejando ρ

ρ = v^2 / an = (11,38 m/s)^2 / 1,1 m/s² = 113,8 m