Física 1 (Exactas) Practica 1.2.11 Cinemática – Coordenadas polares

Un faro que gira con velocidad angular constante w, proyecta su luz sobre una pantalla ubicada a una distancia d = OP, como lo muestra la Figura,

 

 

a)     Halle la velocidad lineal del punto luminoso sobre la pantalla en función de datos y de x.

  

tan φ = x / OP

 

Donde

φ = ángulo barrido = ω t

ω = velocidad angular

t = tiempo transcurrido

x = posición del punto de luz

OP = distancia a la pantalla = d

 

Reemplazando

tan φ = x / d

 

Despejando x

x = d tan (ω t)

 

Derivando

v = dx / d t = d ω / (cos (ω t))^2

 

.cos φ = d / (d^2 + x^2)^(1/2) (ver figura)

 

Reemplazando

v = d ω (d^2 + x^2) / d^2 = ω (d^2 + x^2) / d

 

 

b)    Calcule la velocidad angular del punto luminoso para un observador situado a una distancia D = AP de la pantalla en función de los datos y de x (sugerencia: haga este cálculo usando trigonometría).

 

 

 

tan θ = x / AP

 

Donde

θ = ángulo barrido

ωθ = velocidad angular

x = posición del punto de luz = d tan (ω  t)

r = tiempo transcurrido

x = posición del punto de luz

AP = distancia a la pantalla = D

 

Reemplazando

tan θ = d x / D

 

Despejando θ

θ = arc tan (d x / D)

 

derivando

ωθ = dθ / dt = d [arc tan (d x / D)] / dt = 

                     = 1 / (1 + (d x / D)^2) d / D dx/dt =

                     = 1 / (1 + (d x / D)^2) / D ω (d^2 + x^2)

                     = ω (d^2 + x^2) / (D (1 + (d x / D)^2))

 

 

c)     ¿Cómo debería ser la velocidad angular del faro para que el punto luminoso se mueva con velocidad constante?

 

v =  ω (d^2 + x^2) / d

Si v = cte; d = cte  y  x = variable (recorre la pantalla) à ω = variable

 

derivando

dv/dt = dω /dt  (d^2 + x^2) / d + ω/ d 2 x dx/dt = 0 (v = cte)

 

Simplificando

dω /dt  (d^2 + x^2)  + ω 2 x v  = 0

dω /dt  =  - ω 2 x v  / (d^2 + x^2)  ≠ 0 à ω = variable

 

Física 1 (Exactas) Practica 1.2.10 Cinemática – Coordenadas polares

Un auto azul parte del reposo desde el punto O en el instante t = 0, y describe una trayectoria circular de radio R = 90 m con una aceleración angular Γa = k t (k = π/6 s^-3). Pasado 3 s desde la partida del auto azul, parte desde O (desde el reposo) un auto rojo que se mueve en línea recta hacia el punto P con una aceleración constante ar = -ao,

 

a)     ¿Cuánto tiempo tarda el auto azul en llegar al punto P?

Auto azul

Γa = d ωa / dt = k t

 

Donde

Γa = aceleración angular del auto azul

 ωa = velocidad angular

k = contante = -  π/6 s^-3  (sentido horario)

θa = ángulo barrido

t = tiempo transcurrido

 

Integrando

ωa = k t^2 /2 + ωo

  

Reemplazando  ωo = 0 (parte del reposo)

ωa = d θa / dt = k t^2 /2

 

Integrando

θa = k t^3 / 6 + θo

  

Reemplazando  θo =   π (parte de O)

θa = π + k t^3 / 6 = π -  π/6 s^-3 t^3 / 6

 

Para  θa = 0  (Final en P)

 

Despejando t

t = raíz cubica (36 s³) = 3,30 s

 

 

b)    ¿Cuál debe ser el valor de ao para que el auto rojo pueda alcanzar al auto azul en el punto P?

 

Auto rojo

xr = xor + vo (t – to) + 1/ 2 a (t – to)^2

 

Donde

xr = posición en t =  R

R = radio = 90 m

xor = posición inicial = - R

vo = velocidad inicial = 0 (parte del reposo)

a = aceleración = ao

to = tiempo de partida del auto rojo = 3 s

t = tiempo del auto azul = 3,3 s

 

reemplazando

R = - R + 1/ 2 a (t - to)^2

 

Despejando a

a = 2 (R – (- R)) / (t - to)^2 = 4 * 90 m / (3,3 s – 3 s)^2 = 3449 m/s²

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 1.2.9 Cinemática – Coordenadas polares

Cierto mecanismo de relojería consiste de dos agujas A y B que se mueven ambas en sentido horario. La aguja A se mueve con velocidad angular constante ωo partiendo de ϕA (t = 0) = 0, la aguja B se mueve con una aceleración angular constante Γ partiendo con velocidad angular ωB (t = 0) = 2ωo desde ϕB (t = 0) = 0.

 

a)     Calcule en qué instantes ambas agujas coinciden.

 

Aguja A

ϕA(t) = ϕAo + ωA t

 

donde

ϕA(t) = ángulo barrido en el instante t

ϕAo = ángulo inicial (t = 0) = 0 = 2 π

ωA = velocidad angular constante = - ωo  ( sentido horario à ωA < 0  )

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

 ϕA(t) = 2 π - ωo t

 

 

Aguja B

ϕB(t) = ϕBo + ωBo t + 1 /2 γ t^2

 

donde

ϕB(t) = ángulo barrido en el instante t

ϕBo = ángulo inicial (t = 0) = 0 = 2 π

ωBo = velocidad angular = - 2 ωo ( sentido horario à ωBo < 0)

γ = aceleración angular = - Γ ( sentido horario, aceleración à γ < 0)

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

ϕB(t) = 2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2

 

 

agujas coinciden ϕA(t) - ϕB(t) = 0

2 π - ωo t – (2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2) = 0

 

reordenando

ωo t + 1 /2 Γ t^2 = 0

 

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = 0 (cuando se inicia)

t2 = - 2 ωo / Γ (descartada < 0)

 

No hay cruce en la primera vuelta

 

Segunda vuelta

ωo t + 1 /2 Γ t^2 = 2 π

 

Reordenando

1 /2 Γ t^2 + ωo t  - 2 π = 0

 

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = (-  ωo – raíz cuadrada (ωo^2 + Γ π)) / Γ (descartada < 0)

t2 = (-  ωo + raíz cuadrada (ωo^2 + Γ π)) / Γ

 

 Nota:

 raíz cuadrada (ωo^2 + Γ π) > raíz cuadrada (ωo^2) =  ωo  à  t2 > 0

 

b)    Calcule en qué instantes ambas agujas coinciden en el caso en que la aguja A se mueva en sentido antihorario.

 

Aguja A

ϕA(t) = ϕAo + ωA t

 

donde

ϕA(t) = ángulo barrido en el instante t

ϕAo = ángulo inicial (t = 0) = 0

ωA = velocidad angular constante = ωo  ( sentido antihorario à ωA >  0  )

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

ϕA(t) = ωo t

 

Aguja B

ϕB(t) = 2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2

 

agujas coinciden ϕA(t) - ϕB(t) = 0

ωo t – (2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2) = 0

 

Reordenando

1 /2 Γ t^2 + 3 ωo t - 2 π = 0

 

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = (-  3 ωo – raíz cuadrada (9 ωo^2 + Γ π)) / Γ (descartada < 0)

t2 = (-  3 ωo + raíz cuadrada (9 ωo^2 + Γ π)) / Γ

 

Nota:

 raíz cuadrada (9 ωo^2 + Γ π) > raíz cuadrada (9 ωo^2) = 3 ωo  à t2 > 0

 

Física 1 (Exactas) Practica 1.2.8 Cinemática – Coordenadas polares

Un cuerpo inicialmente en reposo (es decir, q (t = 0) = 0, w (t) = 0) es acelerado en una trayectoria circular de 1,3 m de radio, de acuerdo a la ley g = 120 s^-4 t^2 – 48 s^-3 t + 16 s^-2 donde g es la aceleración angular medida en s^-2. Halle,

 

a)     q = q (t) y w = w (t)

 

integrando

g = d ω / dt à  ω(t)  = 120 s^-4 t^3 / 3  – 48 s^-3 t^2 / 2  + 16 s^-2 t + ω(t=0)

 

ω(t) = 40 s^-4 t^3   – 24 s^-3 t^2 + 16 s^-2 t

 

Integrando

ω  = d θ  / dt à θ(t) = 40 s^-4 t^4 / 4    – 24 s^-3 t^3 / 3  + 16 s^-2 t^2 /2 + θ(t=0)

 

θ(t) = 10 s^-4 t^4   – 8 s^-3 t^3 + 8 s^-2 t^2

 

 

b)    El vector aceleración (ayuda: utilice la descomposición polar).

 

a = at + ac (ecuación vectorial)

 

Donde

a = vector aceleración

at = aceleración tangencial = R g

ac = aceleración centrípeta = ω^2 R

 

Reemplazando

a(t) = (120 s-4 t^2 – 48 s-3 t + 16 s-2) (1,3 m) (θ) +

         + (40 s-4 t^3 – 24 s-3 t^2 + 16 s-2 t)^2 (1,3 m) (-r) =

         = (156 m/s⁴ t^2 -  62,4 m/s³ t + 20,8 m/s²) (θ) +

         + (2080 m/s⁸ t^6 - 1747,2 m/s⁶ t^4 - 998,4 m/s⁵ t^3 + 1996,8 m/s⁴ t^2) (-r)

 

Nota:

(θ) versor θ

(r) versor r

 

 

c)     cuánto vale el vector velocidad en t = 2 s?

 

v(t) = ω(t) R

 

Reemplazando

v(2 s) = (40 s^-4 (2 s)^3   – 24 s^-3 (2 s)^2 + 16 s^-2 (2 s)) (1,3 m) = 332,8 m/s