Física 1 (Exactas) Practica 0 – 2. 11. Cinemática

  Un automóvil viaja en línea recta con velocidad constante desde A hasta C, pasando por B. Se sabe que por A pasa a las 12 hs., por B a las 13 hs. y por C a las 15 hs. (AB = 50 km, BC = desconocido).

 

a)     Elija un origen de tiempo y un sistema de referencia.

 

En to = 0, xo = posición A; dirección de movimiento coincide con el eje x

 

 

b)    Elija un instante to ¿cuánto vale xo? Escriba la ecuación de movimiento.

 

En to = 0, xo = posición A

 

x(t) = xo + v t (Ecuación horaria)

 

Donde

x = posición en el instante t

xo = posición A = 0

v = velocidad

t = tiempo trascurrido

 

 Reemplazando en la ecuación de movimiento

x(t) = xo + v t

 

 

c)     Elija otro instante to ¿cuánto vale xo? Escriba la ecuación de movimiento.

 

En to = 0, xo = posición B

 

x(t) = xo + v t 

 

Donde

x = posición en t

xo = posición B = 0

v = velocidad

t = tiempo trascurrido

 

Reemplazando en la ecuación de movimiento

x(t) = xo + v  t

 

 

d)    Calcule la velocidad del auto y la distancia BC.

 

x(t) = xo + v t 

 

Donde

x = posición B = xo + AB

xo = posición A = 0

AB = distancia entre A y B = 50 km

v = velocidad

t = tiempo trascurrido = (13 hs – 12 hs) = 1 h

 

Reemplazando y despejando v

v = AB / t = 50 km / 1 h = 50 km/h

 

Volviendo a la ecuacion horaria

x(t) = xo + v t 

 

Donde

x = posición C = xo + BC

xo = posición B = 0

BC = distancia entre B y C

v = velocidad = 50 km/h

t = tiempo trascurrido = (15 hs – 13 hs) = 2 h

 

Reemplazando

BC = v t = 50 km/h 2 h = 100 km

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 2. 10. Cinemática

Un cuerpo que en el instante t = 0 se encuentra en un punto A, viaja en línea recta con velocidad constante de módulo desconocido v. Cuando transcurre un tiempo T el móvil pasa por un punto B que está a distancia d de A.

 

a)     Halle v.

 

x = xo + v t (Ecuación horaria)

 

Donde

x = posición B = xo + d

xo = posición A

d = distancia entre A y B

v = velocidad

t = tiempo trascurrido = T

 

Reemplazando y despejando v

v = (x – xo) / t = (xo + d – xo) / T = d / T

 

 

b)    Dé dos expresiones para la posición del cuerpo en función del tiempo, considerando un sistema de coordenadas con origen en A y otra considerando un sistema de coordenadas con origen en B, y grafíquelas.

 

Origen en A

x = xo + v t

 

Donde

x = posición en t

xo = posición inicial = 0

v = velocidad = d/T (movimiento de A a B)

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

xo = d/T t

  

Origen en B

 

x = xo + v t

 

Donde

x = posición en t

xo = posición inicial = 0

v = velocidad = - d/T (movimiento de B a A)

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

xo = - d/T t

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 1. 9. Vectores y trigonometría

 Hallar la expresión de los vectores posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares y cilíndricas. Representar gráficamente.

 

 

	Coordenadas cartesianas a cilíndricas
	Coordenadas cilíndricas a cartesianas  x = r cos θ  y = r sen θ z = z
	Coordenadas cartesianas a polares
	Coordenadas polares a cartesianas  x = ρ sen φ cos θ y = ρ sen φ sen θ z = ρ cos φ

 

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 1. 8. Vectores y trigonometría

 Dados los vectores A, B y C, demostrar:

 

 a)    Que el producto vectorial no es asociativo y se cumple: A x (B x C) = B (A . C)  - C (A . B)

A = (ax i + ay j + az k)

B = (bx i + by j + bz k)

C = (cx i + cy j + cz k)

Reemplazando 

B x C = (bx i + by j + bz k) x (cx i + cy j + cz k) =

 

Distribuyendo

B x C = bx i x cx i + bx i x cy j + bx i x cz k +

          + by j x cx i + by j x cy j + by j x cz k +

          + bz k x cx i + bz k x cy j + bz k x cz k) =

 

Producto de versores

B x C = bx cy k + bx cz (-j) + by cx (-k) + by cz i + bz cx j + bz cy (-i) =

 

Reordenando

B x C = (by cz - bz cy) i + (bz cx - bx cz) j + (bx cy - by cx) k

 

 

A x (B x C) = (ax i + ay j + az k) x (by cz - bz cy) i + (bz cx - bx cz) j + (bx cy - by cx) k =

Distribuyendo

A x (B x C) = ax i x (by cz - bz cy) i + ax i x (bz cx - bx cz) j + ax i x (bx cy - by cx) k +

                    + ay j x (by cz - bz cy) i + ay j x (bz cx - bx cz) j + ay j x (bx cy - by cx) k +

                    + az k x (by cz - bz cy) i + az k x (bz cx - bx cz) j + az k x (bx cy - by cx) k)

 

Producto de versores

A x (B x C) = ax (bz cx - bx cz) k + ax (bx cy - by cx) (-j) +

                   + ay (by cz - bz cy) (-k) + ay (bx cy - by cx) i +

                   + az (by cz - bz cy) j + az (bz cx - bx cz) (-i)

Reordenando

 A x (B x C) = (ay (bx cy - by cx) - az (bz cx – bx cz)) i +

                   + (az (by cz - bz cy) - ax (bx cy - by cx)) j +

                   + (ax (bz cx - bx cz) - ay (by cz - bz cy)) k  

 

A x (B x C) = (ay bx cy – ay by cx - az bz cx + az bx cz) i +

                   + (az by cz – az bz cy - ax bx cy + ax by cx) j +

                   + (ax bz cx – ax bx cz - ay by cz + ay bz cy) k (I)

 

 

A . C = ax cx + ay cy + az cz

 

Reemplazando 

B (A . C) = bx i (ax cx + ay cy + az cz) +

               +  by j (ax cx + ay cy + az cz) +

               +  bz k (ax cx + ay cy + az cz)

Distribuyendo 

B (A . C) = i (ax bx cx + ay bx cy + az bx cz) +

               +   j (ax by cx + ay by cy + az by cz) +

               +   k (ax bz cx + ay bz cy + az bz cz)

 

A . B = ax bx + ay by + az bz

Reemplazando 

C (A . B) = cx i (ax bx + ay by + az bz) +

               +  cy j (ax bx + ay by + az bz) +

               +  cz k (ax bx + ay by + az bz)

Distribuyendo 

C (A . B) = i (ax bx cx + ay by cx + az bz cx) +

               +   j (ax bx cy + ay by cy + az bz cy) +

               +   k (ax bx cz + ay by cz + az bz cz)

 

B (A . C) – C (A . B) =

              =  ((ax bx cx + ay bx cy + az bx cz) - (ax bx cx + ay by cx + az bz cx)) i +

              + ((ax by cx + ay by cy + az by cz) - (ax bx cy + ay by cy + az bz cy)) j +

              + ((ax bz cx + ay bz cy + az bz cz) - (ax bx cz + ay by cz + az bz cz)) k

 

B (A . C) – C (A . B) =

              = (ay bx cy + az bx cz -  ay by cx - az bz cx) i +

              +  (ax by cx + az by cz - ax bx cy -  az bz cy) j +

              + (ax bz cx + ay bz cy - ax bx cz - ay by cz) k (II)

 

 

(I) = (II) à A x (B x C) = B (A . C)  - C (A . B)

 

b)    Que cualesquiera sean los vectores, se cumple:

 

A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) = 0

 

A x (B x C) = B (A . C) – C (A . B)

B x (C x A) = C (B . A) – A (B . C)

C x (A x B) = A (C. B) – B (C . A)

 

Sumando

A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) =

                   = B (A . C) – C (A . B) + C (B . A) – A (B . C) + A (C. B) – B (C . A)

 

El producto escalar es conmutativo

A . C = C . A

A . B = B . A

B . C = C . B

 

A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) =

                   = B (A . C) – C (A . B) + C (A . B) – A (B . C) + A (B . C) – B (A . C) = 0

  

c)     Que el producto mixto es igual al volumen del paralelepípedo construido sobre los mismos una vez llevado a partir de su origen común.

 

 (A x B) .C = producto mixto

 

Volumen del paralelepípedo ABC = Área de la base * altura

Área de la base = | A x B |

Altura = | C | cos ϕ

 

Reemplazando

Volumen = | (A x B) | * | C | cos ϕ = (A x B) . C   

 

d)   Que la condición necesaria y suficiente para que los tres vectores sean paralelos a un mismo plano es que su producto mixto sea nulo.

 

(A x B) . C   = 0 à volumen = 0 à A, B y C sean  paralelos

 

Vectores paralelos = linealmente dependientes que equivale a coplanares (en el mismo plano) y misma dirección 

 

Física 1 (Exactas) Practica 0 – 1. 7. Vectores y trigonometría

 Sean i , j y k los versores (vectores de modulo uno)

 a)     la terna mostrada en la Fig. (a). Usando la definición de producto vectorial, calcular,

 b)    Repetir el cálculo anterior para la terna de la Fig. (b) y comparar con los resultados obtenidos en ambos casos.

  

i x j = k   k x i = j   j x k = i   i x i = 0    j x j = 0   k x k = 0	i x j = - k   k x i = - j    j x k = - i   i x i = 0    j x j = 0   k x k = 0

 

Regla de la mano derecha

X  x  Y = Z