Una masa m1 se halla atada al extremo de una cuerda inextensible de longitud L y masa despreciable. Cuando la cuerda forma un ángulo α con la vertical se suelta la masa m1 con velocidad nula. Al pasar por el punto más bajo de la trayectoria la masa m1 choca elásticamente con una masa m2 que cuelga de una cuerda igual a la anterior y que se halla inicialmente en reposo.
a) Calcular
la velocidad de ambas masas un instante después del choque.
Antes del choque
∆Em = Emf –
Emi
Donde
∆Em =
variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)
Emf =
energía mecánica final = Ecf + Epf
Ecf =
energía cinética final = 1 /2 m1 v1^2
m1 = masa
de la particula 1
v1 =
velocidad de la particula 1 antes del choque
Epf =
energía potencial final = 0
Emi =
energía mecánica inicial = Eci + Epi
Eci =
energía cinética inicial = 0 (velocidad nula)
Epi =
energía potencial inicial = m1 g h
h = altura
inicial de la masa = L – L cos α
L =
longitud de la cuerda
Reemplazando
1 /2 m1
v1^2 = m1 g L (1 - cos α)
Despejando
v1
v1 = ( 2 g
L ( 1 - cos α))^(1/2)
Choque
Choque
elastico
m1 va1 +
m2 va2 = m1 vd1 + m2 vd2 (momento lineal)
1 /2 m1
va1^2 + 1 /2 m2 va2^2 = 1/ 2 m1 vd1^2 + 1/ 2 m2 vd2^2 (energía cinética)
Donde
m1 = masa
de la paticula 1
va1 =
velocidad antes del choque de la particula 1 = (2 g L (1 - cos α))^(1/2)
m2 = masa
de la particula 2
va2 = velocidad
antes del choque de la particula 2 = 0 (en reposo)
vd1 =
velocidad después del choque de la particula 1
vd2 =
velocidad después del choque de la particula 2
Reemplazando
m1 v1 = m1
vd1 + m2 vd2
m1 v1^2
= m1 vd1^2 + m2 vd2^2
Reordenando
las ecuaciones
m1 (v1 – vd1) = m2 vd2
m1 (v1^2 – vd1^2) = m2 vd2^2
Cociente
ambas ecuaciones
(v1 + vd1)
= vd2
Reemplazando
en la ecuación de momento
m1 v1 = m1
vd1 + m2 (v1 + vd1)
Despejando
vd1
vd1 = v1 ( m1 – m2) / ( m1 + m2) =
= (2
g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 – m2) / (m1 + m2)
Cociente
ambas ecuaciones
(v1 + vd1)
= vd2
Despejando
vd1
vd1 = vd2
– v1
Reemplazando
en la ecuación de momento
m1 (v1 –
(vd2 – v1) = m2 vd2
Despejando
vd2
vd2 = 2 m1 v1 / ( m1 + m2) =
= 2
m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 +
m2)
b) Calcular
la altura máxima alcanzada por ambas masas después del choque.
Despues del choque
Particula 1
∆Em = Emf –
Emi
Donde
∆Em =
variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)
Emf =
energía mecánica final = Ecf + Epf
Ecf =
energía cinética final = 1 /2 m1 vf1^2
vf1 =
velocidad final de la particula 1 = 0
Epf =
energía potencial final = m g hf1
hf1 =
altura final de la particula 1 (altura máxima 1)
Emi =
energía mecánica inicial = Eci + Epi
Eci =
energía cinética inicial = 1 /2 m1 vi1^2
vi1 =
velocidad después del choque de la particula 1 = vd1
Epi =
energía potencial inicial = 0
Reemplazando
hf1 = [ 1 /2 m1 ((2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 – m2) / (m1 + m2))^2] /
( m1 g)
=
L (1 - cos α)) ((m1 – m2) / (m1 + m2))^2
Particula 2
∆Em = Emf –
Emi
Donde
∆Em =
variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)
Emf =
energía mecánica final = Ecf + Epf
Ecf =
energía cinética final = 1 /2 m2 vf2^2
vf2 =
velocidad final de la particula 2 = 0
Epf =
energía potencial final = m g hf2
hf2 =
altura final de la particula 2 (altura máxima 2)
Emi =
energía mecánica inicial = Eci + Epi
Eci =
energía cinética inicial = 1 /2 m2 vi2^2
vi2 =
velocidad después del choque de la particula 2 = vd2
Epi =
energía potencial inicial = 0
Reemplazando
hf2 = [ 1 /2 m2 (2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2))^2] / ( m2
g)
= L (1 - cos α) (2 m 1/ (m1 +
m2))^2
c) Discutir
los resultados anteriores para los casos: m1 >>
m2, m1 = m2 y m1 <<
m2.
Caso I. m1 >> m2
.m1
>> m2 à m2 / m1 ≈ 0
vd1 = (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1
– m2) / (m1 + m2)
=
(2 g L (1 - cos α))^(1/2) (1 - m2
/ m1) / (1 + m2 / m1) =
≈ (2 g L (1 - cos α))^(1/2) = v1
vd2 = 2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2)
= 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (1 + m2
/ m1)
≈ 2
(2 g L (1 - cos α))^(1/2) = 2 v1
hf1 = L (1 - cos
α) ((m1 – m2) / (m1 + m2))^2
= L (1 - cos α) ((1 – m2 / m1) / (1 + m2 / m1))^2
≈ L
(1 - cos α) = h
hf2 = L (1 - cos
α) (2 m 1/ (m1 + m2))^2
= L (1 - cos α)
(2/ (1 + m2 / m1))^2
≈ 4 L (1 - cos α) = 4 h
Caso II. m1 = m2
m1 = m2 à m2 / m1 = 1
vd1 = (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1
– m2) / (m1 + m2)
=
(2 g L (1 - cos α))^(1/2) (1 - m2
/ m1) / (1 + m2 / m1) =
= (2 g L (1 - cos α))^(1/2) * (0 / 2) = 0
vd2 = 2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2)
= 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (1 + m2
/ m1)
= 2
(2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (1 / 2) = v1
hf1 = L (1 - cos
α) ((m1 – m2) / (m1 + m2))^2
= L (1 - cos α) ((1 – m2 / m1) / (1 + m2 / m1))^2
= L
(1 - cos α) * (0 /2 )^2 = 0
hf2 = L (1 - cos
α) (2 m 1/ (m1 + m2))^2
= L (1 - cos α)
(2 / (1 + m2 / m1))^2
= L (1 - cos α) *(2 / 2)^2 =
h
Transferencia
completa entre las partículas 1 y 2
Caso III. m1 << m2
m1 <<
m2 à m1 / m2 ≈ 0
vd1 = (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1
– m2) / (m1 + m2)
=
(2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 / m2
- 1) / ( m1 / m2 + 1) =
≈ (2 g L (1 - cos α))^(1/2) * (- 1 / 1 ) = - v1
vd2 = 2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2)
= 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) m1 / m2
/ (m1/m2 + 1 )
≈ 2
(2 g L (1 - cos α))^(1/2) * (0 / 1) = 0
hf1 = L (1 - cos
α) ((m1 – m2) / (m1 + m2))^2
= L (1 - cos α) ((m1/m2 – 1)
/ (m1/m2 + 1 ))^2
≈ L
(1 - cos α) (- 1)^2 = h
hf2 = L (1 - cos
α) (2 m 1/ (m1 + m2))^2
= L (1 - cos α) (2 (m1 / m2) / (m1 / m2 + 1))^2
≈ 4 L (1 - cos α) * ( 2 * 0
/1)^2 = 0
La particula 2 se comporta como una pared. La particula 1 rebota sobre ella, cambiando el sentido de la velocidad
