El sistema de la Figura consiste de dos masas (m1 y m2) unidas por un hilo inextensible que pasa por un orificio practicado en una mesa horizontal sin rozamiento. En cierto instante, la masa m2 está en reposo y la masa m1 se mueve con velocidad v0 a una distancia r0 del orificio. La masa m2 puede, o no, continuar en reposo dependiendo de cierta relación matemática entre m1, m2, v0, r0 y g.
a) Determinar
esa relación usando las ecuaciones de Newton.
Masa 1: T = m1 ac1
Masa 2: T - P2
= m2 a2
Donde
T = tensión del hilo
m1 , m2 = masa de cada particula
ac1 = aceleracion centrípeta
de la masa 1 = vo^2 / ro
vo = velocidad de la masa 1
ro = distancia al centro
(radio de giro)
P2 = peso de la masa 2 = m2 g
a2 = aceleración de la masa 2
Reemplazando
m1 vo^2 / ro - m2 g = m2 a2
Despejando a2
a2 = m1 / m2 vo^2/ ro – g
Si m1 / m2 vo^2/ ro = g à a2 = 0
b) Independientemente
de que m2
se mueva o no, diga qué magnitudes se conservan. Justifique su respuesta.
Momento angular (p)
Torsión = r x T = 0 ( r y T son paralelas) à
momento angular (p) se conserva
Energía mecánica (Em)
∆Em = Wfnc = 0 (no hay fuerzas
no conservativas) = à
Em se conserva
c) Calcular
las velocidades v1
y
v2 de ambas partículas y el ángulo que forma v1
con el hilo, en el instante en que m2
ha bajado una distancia d.
h + ro = L
Donde
h = longitud del hilo
vertical
r = distancia al centro (radio de giro)
L = longitud total del hilo
(ideal inextensible)
h1 + r1 = L
Donde
h1 = nueva longitud del hilo
vertical = h + d
d = distancia que baja la
masa 2
.r1 = nuevo radio de giro
Igualando y despejando r1
r1 = ro – d
v1 = [v1t^2 + v1r^2]^(1/2)
Donde
v1 = velocidad de la masa 1
v1t = nueva velocidad
tangencial de la masa 1
v1r = nueva velocidad radial
de la masa 1
Velocidad tangencial (conservación
del momento angular)
m1 ro vo = m1 r1 v1t
Despejando v1t
v1t = ro vo / (ro – d)
Velocidad radial
(conservación energía mecánica)
1/
2 m1 vo^2 – m2 g h = 1 /2 m1 (v1r^2 + v1t^2) + 1 /2 m2 v2^2 - m2 g
h2
Donde
v2 = nueva velocidad de la
masa 2 = v1r (hilo inextensible)
Reemplazando
1/ 2 m1 vo^2 – m2 g h = 1 /2
m1 (v2^2 + (ro vo / (ro – d))^2 ) + 1 /2 m2 v2^2 - m2 g ( h + d)
Despejando v2
v2 = [(2 m2 g d + m1 vo^2 (1 - ro^2 / (ro – d))^2) / (m1 + m2)]^(1/2)
Reemplazando en v1
v1 = [ ro^2 vo^2 / (ro – d)^2 + v2^2]^(1/2)
Angulo α
v1 sen α
= v1t = ro vo / (ro – d)
v1 cos α = v1r = v2
El cociente de ambas
ecuaciones
tan α = ro vo / ((ro – d ) v2)
d) Grafique
el potencial efectivo en función de la distancia de m2
al orificio. Exprese en función de la energía la condición para que m2
permanezca en reposo y compare con el resultado obtenido en a).
Energía mecanica
Em = 1 /2 m1 (v1r^2 + v1t^2) +
1 /2 m2 v2^2 - m2 g h2
Ademas:
v1r = v2
v1t = ro vo / r
h2 = L – r
Reescribiendo la energía
mecanica
Em = 1 /2 (m1 + m2) v2^2 + 1
/2 m1 (ro vo / r)^2 – m2 g (L – r)
Definiendo Vef( r)
Con Vef( T) = potencial
efectivo
Ved( r) = 1 /2 m1 (ro vo / r)^2
– m2 g (L – r)
Condicion m2 en reposo à
minimo de Vef
Punto critico dVef/dr = 0
.dVef / dr = 1 /2 m1 (ro vo
)^2 (-2 / r^3) + m2 g = 0
Despejando vo en r = ro
vo^2 = m2 / m1 g ro^2
Nota: Gráfico Google IA
e) Resuelva
numéricamente el problema. Obtenga gráficos de z(t)
y de las trayectorias de la partícula sobre la mesa.
Nota: Gráfico Google IA
