Física 1 (Exactas) Práctica 9.7 - Teoremas de conservación

Dos cuerpos de masas m₁ y m₂, respectivamente, con m₁ = 2m y m₂ = m que están unidos por un resorte de longitud libre l₀ y constante elástica k, se encuentran sobre una superficie horizontal plana y carente de fricción. El sistema se pone en movimiento estirando el resorte hasta una longitud 2 l₀ y dándole una velocidad v cada una de las partículas, perpendicular al segmento que las une y en sentidos opuestos.

 

a)      Cuál es la velocidad angular del sistema cuando la longitud del resorte es (3/2) l₀?

No hay fuerzas externa  à momento angular se conserva

 

Centro de masa

CM = (r1 m1 + r2 m2) / (m1 + m2)

 

Donde

CM = centro de masa = 0 (origen de las coordenadas)

r1 = distancia de la masa 1 al centro de masa

m1 = masa del cuerpo 1 = 2 m

r2 = distancia de la masa 2 al centro de masa

m2 = masa del cuerpo 2 = m

r = longitud del resorte = r1 + r2

 

Reemplazando

CM = (r1 2 m -  r2 m) / (2m + m) = 0  à r1 2 m = r2 m

2 r1 = r2

 

Reemplazando r2

r = r1 + 2 r1 = 3 r1 à .r1 = 1/3 r

 

Reemplazando r1

r = 1 /2 r2 + r2 à r2 = 2/3 r

 

 

Momento angular

L = m1 r1 v1 + m2 r2 v2

 

Donde

L = momento angular

r1 = distancia de la masa 1 al centro de masa = 1/3 r

v1 = velocidad de la masa 1 = r1 ω

ω = velocidad angular

r2 = distancia de la masa 2 al centro de masa = 2/3 r

v2 = velocidad de la masa 2 = r2 ω

 

Momento inicial (Lo)

 r = 2 lo

v1 = v2 = v

 

Reemplazando

Lo = 2 m 1/3 * 2 lo v + m 2/3 * 2 lo v = 8/3 m lo v

 

 

Momento final (Lf)

 r = 3/2 lo

 

Reemplazando

Lf = 2 m (1/3 * 3/2 lo)^2 ω + m (2/3 * 3/2 lo)^2 ω = 3/2 m lo^2 ω

 

Igualando Lo = Lf

8/3 m lo v = 3/2 m lo^2 ω

 

Despejando ω

ω = 16 /9 v / lo

 

  

b)     Calcule el vector velocidad de cada masa en esa posición.

 

vf1 = vf1r (ǔr) + vf1t (ǔθ)

 

Donde

vf1 = vector velocidad final de la masa1

vf1r = velocidad radial de la masa 1

vf1t = velocidad tangencial de la masa 1 =  r1f   ω

r1f =  distancia al centro de masa 1 = 1 /3 * 3/2 lo = 1 /2 lo

ω = velocidad angular = 16 /9 v / lo

 

Reemplazando

vf1 = vf1r ( r ) + 1/2 lo 16/9 v / lo = vf1r (ǔr) + 8 /9 v (ǔθ)

 

(ǔr) = versor radial

(ǔθ) = versor tangencial o angular

 

 

vf2 = vf2r (ǔr) + vd2t (ǔθ)

 

Donde

vf2 = vector velocidad final de la masa 2

vf2r = velocidad radial de la masa 2

vf2t = velocidad tangencial de la masa 2 = r2f   ω

r2f = distancia al centro de masa 2 = 2/3 * 3/2 lo = lo

ω = velocidad angular = 16/9  v / lo

 

Reemplazando

vf2 = vf2r (ǔr) + lo (16/9 v / lo) (ǔθ) = vf2r (ǔr) + 16/9 v (ǔθ)

 

 

Relación velocidades radiales

 No hay fuerzas externas à vCM = 0

 

vCM = (m1 vf1r -  m2 vf2r ) / (m1 + m2) = 0

 

Reemplazando

2 m1 vf1r – m vf2r = 0 à vf2r  = 2 vf1r

 

 

Energía mecánica

 

No hay fuerzas no conservativas à Energía mecánica se conserva

 

Energía mecánica inicial (Emo)

Emo = Eco1 + Eco2 + Eepo

 

Donde

Emo = Energía mecánica inicial

Eco1 = energía cinética inicial de la masa 1 = 1/2 m1 v1^2

Eco2 = energía cinética inicial de la masa 2 = 1/2 m2 v2^2

Eepo = Energía elástica inicial = 1/2 k (2 lo – lo)^2 = 1/2 k lo^2

 

Reemplazando

Emo = 1/2 * 2 m v^2 + 1/2 m v^2 + 1/2 k lo^2 = 3/2 m v^2 + 1/2 k lo^2

 

 

Energía mecánica final (Emf)

Emf = Ecf1 + Ecf2 + Eepf

 

Donde

Emf = Energía mecánica final

Ecf1 = energía cinética final de la masa 1 = 1/2 m1 vf1^2

vf1 = velocidad final de la masa 1 = vf1r (ǔr) + 8/9 v (ǔθ)

Ecf2 = energía cinética final de la masa 2 = 1/2 m2 vf2^2

vf2 = velocidad tangencial final de la masa 2 = 2 vf1r (ǔr) + 16/9 v (ǔθ)

Eepf = Energía elástica final = 1/2 k (3/2 lo – lo)^2 = 1/8 k lo^2

 

Reemplazando

Emf = 1/2 * 2 m ( vf1r)^2 + 1/2 * 2 m (8 /9 v)^2 + 1/2 m (2 vf1r)^2 + 1/2 m (16/9 v)^2 + 1/2 k lo^2 =  3 m vf1r^2 + 64/27 m v^2 + 1/8 k lo^2

  

Igualando las Em

 3 m vf1r^2 + 64/27 m v^2 + 1/8 k lo^2 = 3/2 m v^2 + 1/2 k lo^2

 

Despejando vf1r

vf1r = [(3/2 m v^2 + 1 /2 k lo^2 - 64 /27 m v^2 -  1/8 k lo^2) / (3 m)]^(1/2)

        =   [1/8 k lo^2 / m – 47/162 v^2]^(1/2)

 

Reemplazando en vf2r

vf2r = 2 [1/8 k lo^2 / m – 47/162 v^2]^(1/2)

 

Reemplazando

vf1 = [1/8 k lo^2 / m – 47/162 v^2]^(1/2) (ǔr) + 8/9 v (ǔθ)

vf2 = 2 [1/8 k lo^2 / m – 47/162 v^2]^(1/2) (ǔr) + 16/9 v (ǔθ)

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 9.6 - Teoremas de conservación

El sistema de la Figura consiste de dos masas (m₁ y m₂) unidas por un hilo inextensible que pasa por un orificio practicado en una mesa horizontal sin rozamiento. En cierto instante, la masa m₂ está en reposo y la masa m₁ se mueve con velocidad v₀ a una distancia r₀ del orificio. La masa m₂ puede, o no, continuar en reposo dependiendo de cierta relación matemática entre m₁, m₂, v₀, r₀ y g.

 

 

a)      Determinar esa relación usando las ecuaciones de Newton.

 

 

Masa 1: T = m1 ac1

Masa 2:  T - P2   = m2 a2

 

Donde

T = tensión del hilo

m1 , m2 = masa de cada particula

ac1 = aceleracion centrípeta de la masa 1 = vo^2 / ro

vo = velocidad de la masa 1

ro = distancia al centro (radio de giro)

P2 = peso de la masa 2 = m2 g

a2 = aceleración de la masa 2

 

Reemplazando

m1 vo^2 / ro  - m2 g = m2 a2

 

Despejando a2

a2 = m1 / m2 vo^2/ ro  – g

 

Si m1 / m2 vo^2/ ro  =  g à a2 = 0

 

 

b)     Independientemente de que m₂ se mueva o no, diga qué magnitudes se conservan.  Justifique su respuesta.

 

Momento angular (p)

Torsión = r x T  = 0 ( r y T son paralelas) à momento angular (p) se conserva

 

Energía mecánica (Em)

∆Em = Wfnc = 0 (no hay fuerzas no conservativas) = à Em se conserva

 

 

c)      Calcular las velocidades v₁ y v₂ de ambas partículas y el ángulo que forma v₁ con el hilo, en el instante en que m₂ ha bajado una distancia d. 

 

h + ro = L

 

Donde

h = longitud del hilo vertical

r =  distancia al centro (radio de giro)

L = longitud total del hilo (ideal inextensible)

 

h1 + r1 = L

 

Donde

h1 = nueva longitud del hilo vertical = h + d

d = distancia que baja la masa 2

.r1 = nuevo radio de giro

 

Igualando y despejando r1

r1 = ro – d

 

v1 = [v1t^2 + v1r^2]^(1/2)

 

Donde

v1 = velocidad de la masa 1

v1t = nueva velocidad tangencial de la masa 1

v1r = nueva velocidad radial de la masa 1

 

 

Velocidad tangencial (conservación del momento angular)

 

m1 ro vo = m1 r1 v1t

 

Despejando v1t

v1t = ro vo / (ro – d)

 

 

Velocidad radial (conservación energía mecánica)

 

1/ 2 m1 vo^2 – m2 g h  =  1 /2 m1 (v1r^2 + v1t^2) + 1 /2 m2 v2^2 - m2 g h2

 

Donde

v2 = nueva velocidad de la masa 2 = v1r (hilo inextensible)

 

Reemplazando

1/ 2 m1 vo^2 – m2 g h  =  1 /2 m1 (v2^2 + (ro vo / (ro – d))^2 ) + 1 /2 m2 v2^2 - m2 g ( h + d)

 

Despejando v2

v2 = [(2 m2 g d + m1 vo^2 (1 - ro^2 / (ro – d))^2) / (m1 + m2)]^(1/2)

 

 

Reemplazando en v1

v1 = [ ro^2 vo^2 / (ro – d)^2 + v2^2]^(1/2)

 

Angulo α

 

v1 sen α = v1t = ro vo / (ro – d)

v1 cos α = v1r = v2

 

El cociente de ambas ecuaciones

tan α =  ro vo / ((ro – d ) v2)

 

 

d)     Grafique el potencial efectivo en función de la distancia de m₂ al orificio. Exprese en función de la energía la condición para que m₂ permanezca en reposo y compare con el resultado obtenido en a). 

 

Energía mecanica

Em = 1 /2 m1 (v1r^2 + v1t^2) + 1 /2 m2 v2^2 - m2 g h2

 

Ademas:

v1r = v2

v1t = ro vo / r

h2 = L – r

 

Reescribiendo la energía mecanica

Em = 1 /2 (m1 + m2) v2^2 + 1 /2 m1 (ro vo / r)^2   – m2 g (L – r)  

 

Definiendo Vef( r)

Con Vef( T) = potencial efectivo

Ved( r) = 1 /2 m1 (ro vo / r)^2   – m2 g (L – r)

 

 

Condicion m2 en reposo à minimo de Vef

 

Punto critico dVef/dr = 0 

.dVef / dr = 1 /2 m1 (ro vo )^2 (-2 / r^3) + m2 g = 0

 

Despejando vo en r = ro

vo^2 = m2 / m1 g ro^2

 

 

 

Nota: Gráfico Google IA 

e)     Resuelva numéricamente el problema. Obtenga gráficos de z(t) y de las trayectorias de la partícula sobre la mesa.

 

 Nota: Gráfico Google IA 

Nota: Gráfico Google IA