Física 1 (Ing.) Práctica 1.19 - Cinemática y Dinámica

Una bola de 4 kg que está sujeta mediante dos cuerdas, gira con velocidad angular constante alrededor de un poste vertical. 

 

a.     Calcular la tensión que soporta la cuerda inferior, si la tensión de la cuerda superior es de 70 N.

 

Ecuaciones de Newton

Según r: TSr + TIr = m ac

Según y: TSy – TIy – P = 0

 

donde

TS = tensión de la soga superior = 70 N

TSr = componente radial de TS = TS cos α

cos α = ((1,25 m)^2 – (1 m)^2))^(1/2) / 1,25 m = 0,60

TSy = componente vertical de TS = TS sen α

 sen α = 1 m / 1,25 m = 0,80

TI = tensión de la soga inferior

TIr = componente radial de TI = TI cos α

TIy = componente vertical de TI = TI sen α

ac = aceleración centrípeta = ω² R

ω = velocidad angular

R = radio de giro = ((1,25 m)^2 – (1 m)^2)^(1/2) = 0,75 m 

P = peso = m g

m = masa de la bola = 4 kg

 

Reemplazando en la ecuación según y

TS 0,80 - TI 0,80 – m g = 0

 

Despejando TI

TI = (TS 0,80 - m g) / 0,80 = (70 N 0,80 – 4 kg 10 m/s²) / 0,80 = 20 N

 

  

b.     En las condiciones de (a.), calcular las revoluciones por minuto (RPM) con las que gira la bola alrededor del poste,

 

Reemplazando en la ecuación según r

TS 0,60 + TI 0,60 = m ω^2 R

 

Despejando ω

ω = [(TS 0,60 + TI 0,60) / (m R)^(1/2) = [(70 N + 20 N) * 0,60 / (4 kg 0,75 m)^(1/2) = 4,24 1 /seg

 

ω = 2 π f

con f = frecuencia 

despejando f

f = ω / 2 π = 4,24 1/s / 2 π = 0,68 / seg (60 seg / 1 min) = 40,51 rpm

 

 

 

c.      A partir de qué valor de RPM, la tensión de la cuerda inferior se hace cero (tener en cuenta que, en este caso, la tensión de la cuerda superior ya no es más 70 N). 

 

 

Ecuaciones de Newton

Según r: TSr = m ac

Según y: TSy – P = 0

 

donde

TS = tensión de la soga superior

TSr = componente radial de TS = TS cos α

cos α = ((1,25 m)^2 – (1 m)^2))^(1/2) / 1,25 m = 0,60

TSy = componente vertical de TS = TS sen α

sen α = 1 m / 1,25 m = 0,80

ac = aceleración centrípeta = ω² R

ω = velocidad angular

R = radio de giro = ((1,25 m)^2 – (1 m)^2)^(1/2) = 0,75 m 

P = peso = m g

m = masa de la bola = 4 kg

 

Reemplazando en la ecuación según y; despejando TS

TS = m g / 0,80

 

Reemplazando en la ecuación según r; despejando TS

TS = m ω^2 R / 0,60

 

Igualando

 m g / 0,80 = m ω^2 R / 0,60

 

Despejando 

 ω = (g / R  0,60 / 0,80 )^(1/2) = (10 m/s² / 0,75 m  0,60 / 0,80 )^(1/2) = 3,16 /seg

 

ω = 2 π f

con f = frecuencia

 

despejando f

f = ω / 2 π = 3,16 1/s / 2 π = 0,50 / seg (60 seg / 1 min) = 30,20 rpm

 

 

 

d.     Explicar, qué le sucede a la cuerda inferior, si el número de RPM es menor al calculado en (c.).   

 

f  < 30,20 rpm à la cuerda inferior se afloja por completo

 

La bola comienza a descender, disminuyendo el radio y cambiando el ángulo

 

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 1.18B - Cinemática y Dinámica

Un hombre de masa mh está parado sobre una plataforma de masa mp = 3mh. 

Entre ellos el coeficiente de rozamiento es µ, pero es despreciable el rozamiento entre el bloque y el piso. En un determinado momento, el hombre comienza a tirar de la soga que pasa por una polea fija y una móvil. 

 

 

a.     Realizar el diagrama de cuerpo libre para el hombre, la plataforma y las poleas, para un observador inercial e indicar fuerzas exteriores e interiores para el sistema formado sólo por el hombre y el bloque.  

 

DCL

Sistema hombre – plataforma

Fuerzas externas

F = fuerza que ejerce el hombre sobre la polea superior

PA = peso del hombre

T3 = fuerza realizada por la polea inferior sobre el bloque

NB = reacción del piso sobre el bloque

PB = peso del bloque

 

Fuerzas internas

NBA = reacción del bloque al hombre

Froz A = fuerza de rozamiento entre el hombre y el bloque

NAB = reacción del hombre al bloque = NBA

Froz B = fuerza de rozamiento entre el bloque y el hombre = Froz A

 

 

 

b.     Calcular, justificando cada paso, la aceleración máxima para que el hombre no deslice sobre el bloque.

 

Ecuaciones de Newton

Hombre. Según x: F – Froz A = mh ah

Hombre. Según y: NBA – PA = 0

Plataforma. Según x: T3 + Froz B = mp ap

Polea superior: T2 -  F -  F = 0  à T2 = 2 F

Polea inferior: T3 – F – F = 0 à T3 = 2 F

 

“ … el hombre no deslice sobre el bloque …” à ah = ap = a

 

Donde

F = fuerza que ejerce el hombre sobre la polea superior

Froz A = fuerza de rozamiento estático máximo = μ NBA

μ = coeficiente de rozamiento estático

NBA = reacción del bloque al hombre

PA = peso del hombre = mh g

mp = masa del bloque = 3 mh

 

Reemplazando

F – μ mh g = mh  a

2 F + μ mh g = 3 mh a

 

Despejando F de ambas ecuaciones

F = mh a + μ mh g

F = (3 mh a - μ mh g) / 2

 

Igualando

mh a + μ mh g = (3 mh a - μ mh g) / 2

 

Despejando a

a = 3 μ mh g / mh = 3 μ g

 

Física 1 (Ing.) Práctica 1.18A - Cinemática y Dinámica

Un hombre de masa mh se encuentra parado sobre una plataforma de masa m_p, encontrándose inicialmente ambos en reposo. En un determinado momento, el hombre comienza a tirar de una soga ideal con una fuerza F para acercarse a la pared.

 

Si el hombre no se desplaza respecto de la plataforma y el rozamiento entre la plataforma y el piso es despreciable, calcular la aceleración del sistema hombre-plataforma y la fuerza de rozamiento estática entre el hombre y la plataforma para los siguientes casos:

 DCL

 

Ecuaciones de Newton

Hombre, según x:  F -  Froz A = mh ah

Plataforma, según x:  F + Froz B = mp ap

Polea: F + F – T = 0

 

Donde

F = fuerza

Froz A = fuerza de rozamiento estática entre el hombre y la plataforma

mh = masa del hombre

ah = aceleración del hombre

Froz B = fuerza de rozamiento estpatica entre el hombre y la plataforma = Froz A

mp = masa de la plataforma

ap = aceleración de la plataforma

T = tensión de la polea

 

“… el hombre no se desplaza respecto de la plataforma ..” à | ap | = |ah | = a 

 

Sumando las ecuaciones

F + F = (mh + mp) a

 

Despejando a

a = 2 F / (mh + mp)

 

Restando ambas ecuaciones

Froz A + Froz B = (mp – mh) a

 

Despejando Froz

Froz = (mp – mh) a / 2 = F (mp – mh) / (mh + mp)

 

 

a.     mh > mp

 

mp / mh à 0

 

Reemplazando

a = 2 F / (mh + mp) = 2 F / (mh (1 + mp / mh)) = 2 F / mh  

Froz = F (mp – mh) / (mh + mp) = F mh (mp / mh – 1) / (mh (1 + mp / mh)) = - F

 

 

 

b.     mh = mp

 

mp = mh = m

 

Reemplazando

a = 2 F / (mh + mp) = 2 F / (m + m) = F / m  

Froz = F (mp – mh) / (mh + mp) = F (m – m) / (m + m) = 0

 

 

c.      mh < mp

 

mh / mp à 0

a = 2 F / (mh + mp) = 2 F / (mp (mh / mp + 1)) = 2 F / mp  

Froz = F (mp – mh) / (mh + mp) = F mp (1 – mh / mp) / (mp (mh / mp + 1) = F  

 

 

d.     Si el sistema parte del reposo, ¿Depende el sentido de la fuerza de rozamiento estático de la dirección del desplazamiento?  

  

           d.a. mh > mp

Froz de la plataforma hacia la izquierda

Froz del hombre hacia la derecha

 

 

        d.b. mh = mp

 Froz = 0

  

        d.c. mh < mp

Froz de la plataforma hacia la derecha

Froz del hombre hacia la izquierda

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 1.17 - Cinemática y Dinámica

Halle la expresión para la aceleración de los cuerpos m₁ y m₂ y la tensión en las cuerdas en cada caso. Considere las poleas como ideales, y desprecie la fricción de m₁ con la superficie.

Primero resuelva algebraicamente y luego analice el movimiento para m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

Caso A 

DCL

 

 

Cuerpo 1. Según x: T = m1 a1

Cuerpo 1. Según y: N – P1 = 0

Cuerpo 2. Según x: P2 – T = m2 a2

 

Donde

T = tensión

a1 = aceleración del cuerpo 1

N = reacción de la superficie

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2 = a1 = a (cuerda ideal)

 

Sumando ambas ecuaciones

m2 g = (m1 + m2) a

 

Despejando a

a = m2 g / (m1 + m2)

 

Reemplazando T

T = m1 a = m1 m2 g / (m1 + m2)

 

Con m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

a = m2 g / (m1 + m2) = 6 kg 10 m/s² / (4 kg + 6 kg) = 6 m/s²

T = m1 m2 g / (m1 + m2) = 4 kg 6 kg 10 m/s² / (4 kg + 6 kg) = 24 N

 

 

Caso B

DCL

 

Cuerpo 1. Según x: T1 = m1 a1

Cuerpo 1. Según y: N – P1 = 0

Polea:  T2 – T1 – T3 = 0

Cuerpo2. Según x: P2 – T2 = m2 a2

 

Donde

T1 = tensión del cuerpo 1

a1 = aceleración del cuerpo 1

N = reacción de la superficie

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

T2 = tensión del cuerpo 2

T3 = tensión de la polea al techo 

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

Relación de movimientos

 

 

 

 

L = AB + BC + CD

L´ = A´B + BC´+ C´D

 

Restando ambas ecuaciones

L – L´ = AB – A´B + BC – BC´+ CD – C´D

 

Con

L = L’ = longitud de la cuerda

AB – A´B = d1

BC – BC´= - dp

CD – C´D = - dp

 

reemplazando

 d1 – dp – dp = 0 à d1 = 2 dp

 a1 = 2 a2

 

Polea

T2 – T1 – T3 = 0 à T2 = 2 T1

 

Reemplazando en las ecuaciones

T1 = m1 a1

m2 g – 2 T1 = m2 a1 / 2

 

Reemplazando T1

.m2 g – 2 m1 a1 = m2 a1 / 2

 

Despejando a1

a1 = m2 g / (m2 / 2 + 2 m1)

a2 =  a1 / 2

 

Reemplazando T

T1 = m1 a1 = m1 m2 g / (m2 / 2 + 2 m1)

T2 = 2 T1

 

Con m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

a1 = m2 g  / (m2 / 2 + 2 m1)  = 6 kg 10 m/s² / (6 kg / 2  + 2 * 4 kg) = 5,45 m/s²

a2 = 5,45 m/s² / 2 = 2,73 m/s²

T1 = m1 m2 g / (m2 / 2 + 2 m1) = 4 kg 6 kg 10 m/s² / (6 kg / 2 + 2 * 4 kg) = 21,82 N

T2 = 2 T1 = 2 * 21,82 N = 43,64 N

 

  

Caso C 

 

DCL

Cuerpo 1. Según x: T1 = m1 a1

Cuerpo 1. Según y: N – P1 = 0

Polea:  T2 + T3 – T1 = 0

Cuerpo2. Según x: P2 – T2 = m2 a2

 

Donde

T1 = tensión del cuerpo 1

a1 = aceleración del cuerpo 1

N = reacción de la superficie

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

T2 = tensión del cuerpo 2

T3 = tensión de la polea al piso 

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

Relación de movimientos 

L1 = AB + BC

L1´ = A´B + BC´

 

Restando ambas ecuaciones

L1 – L1´ = AB – A´B + BC – BC´

 

Con

L1 = L1’ = longitud de la cuerda 1 (desde el cuerpo 1 a la polea móvil)

AB – A´B = d1

BC – BC´= - dp

 

reemplazando

d1 – dp = 0 à d1 =  dp

a1 = ap

 

L2 = EC + CD

L2´ = EC´ + C´D´

 

Restando ambas ecuaciones

L´2 – L2´ = EC – EC´ + CD – C´D´

 

Con

L2 = L2’ = longitud de la cuerda 2 (desde el cuerpo 2 al piso)

EC– EC´ = dp

CD – C´D´ = CD – C´D + C´D – C´D´ = dp + d2

 

reemplazando

 dp  + dp – d2 = 0 à 2 dp =  d2

 ap = a2

 2 a1 = a2

 

Polea

T2 + T3 – T1 = 0 à 2 T2 = T1

 

Reemplazando en las ecuaciones

T1 = m1 a1

m2 g – T1 / 2 = m2 2 a1

 

Reemplazando T1

m2 g –  m1 a1 / 2 = m2 2 a1

m2 g = 2 m2 a1 + m1 /2 a1

 

Despejando a

a1 = m2 g / (2 m2 + m1 / 2)

a2 =  2 a1 

 

Reemplazando T

T1 = m1 a1 = m1 m2 g / (2 m2 + m1 / 2)

T2 = T1 / 2  

 

Con m₁ = 4 kg y m₂ = 6 kg. 

 

a1 = m2 g / (2 m2 + m1 / 2)  = 6 kg 10 m/s² / (2 * 6 kg  + 4 kg / 2) = 4,29 m/s²

a2 = 2 * 4,29 m/s² / 2 = 8,57 m/s²

T1 = m1 m2 g / (2 m2 + m1 / 2) = 4 kg 6 kg 10 m/s² / (2 * 6 kg + 4 kg / 2 = 17,14 N

T2 = T1 / 2 = 17,14 N / 2 = 8,57 N