Física 1 (Exactas) Práctica 11.8 - Cinemática del cuerpo rígido

Teniendo en cuenta que si un punto O pertenece al eje instantáneo de rotación, entonces vP . rOP = 0.

 

a)      Invente un método gráfico para determinar la posición del eje instantáneo de rotación, en los siguientes casos:

 

Caso A

 

Método gráfico

Punto P: Trazar una línea recta perpendicular al vector VP saliendo desde el punto P.

Punto Q: Trazar otra línea recta perpendicular al vector VQ saliendo desde el punto Q

EIR: El punto donde se intersectan ambas líneas punteadas es el Eje Instantáneo de Rotación.

  

 

 

 Caso B

Método gráfico

Punto P: Trazar una línea recta perpendicular al vector VP saliendo desde el punto P.

Punto Q: Trazar otra línea recta perpendicular al vector VQ saliendo desde el punto Q

EIR: El punto donde se intersectan ambas líneas punteadas es el Eje Instantáneo de Rotación.

 

b)     Dibuje el campo de velocidades de un cilindro que rueda sin deslizar sobre un plano horizontal.

 

  

c)      Encuentre el eje instantáneo de rotación en los ejemplos del problema 3.

Caso 1

 

El triángulo apunta hacia arriba en todo momento. Su orientación no cambia.

ω = 0 à EIR  se encuentra en el infinito.

 

Caso 2

 

 

El triángulo gira al mismo tiempo que se desplaza à Rotación Pura

EIR: centro de la circunferencia.

  

Caso 3

 

 

 

Cuando el triángulo llega a la parte más baja de la trayectoria (t = t4), recorrió π y el triángulo giro π/2

ω = ωc / 2

 

Eje instantáneo de rotación (EIR)

 

V = ω d

 

Donde

V = velocidad tangencial

ω = velocidad angular

d = radio de giro

 

Reemplazando para ambas velocidades angulares (V es única)

V = ωc R = ω d

 

Con R = radio de giro orbital

 

Despejando d

d = ωorbital R / ω = ωorbital R / (ωorbital /2) = 2 R    

 

 

EIR = Punto diametralmente opuesto de la circunferencia en cada instante.

 

Física 1 (Exactas) Práctica 11.7 - Cinemática del cuerpo rígido

Demuestre que, si un punto O pertenece al eje instantáneo de rotación, entonces vP . rOP = 0.

vP = vO + Ω x rOP

 

Donde

vP = velocidad de un punto P

vP = velocidad de un punto eje instantáneo = 0

 Ω = velocidad angular

rOP = vector entre OP

x = producto vectorial

 

Reemplazando

vP = Ω x rOP

 

Multiplicando escalar (.) por rOP

vP . rOP = (Ω x rOP) . rOP

 

Ω x rOP = es perpendicular a Ω y rOP à (Ω x rOP) . rOP = 0 à vP . rOP = 0

 

Física 1 (Exactas) Práctica 11.6 - Cinemática del cuerpo rígido

El eje instantáneo de rotación es el conjunto de puntos que tienen velocidad nula en un dado instante.

 

a.      Demuestre que, si existe, es una recta paralela a Ω

 

vI = vA + Ω x rIA

 

Donde

vI = velocidad de un punto I perteneciente al eje instantáneo de rotación = 0

vA = velocidad de un punto cualquiera

 Ω = velocidad angular

rIA = vector entre IA

x = producto vectorial

 

Multiplicando vectorialmente (x) ambos miembros por Ω

Ω x vI = Ω x vA + Ω x (Ω x rIA) = 0

 

Usando las propiedades del doble producto vectorial en el segundo termino

Ω x vA + Ω (Ω . rIA) - rIA (Ω . Ω) = 0

 

 

Si el eje existe à Ω x rIA  = 0 à rIA es paralela a Ω   

 

Despejando rIA

rIA = Ω x vA / Ω^2

 

Este es un punto del eje instantáneo de rotación.

La recta contiene al punto rIA y es paralela a Ω

 

Recta: r: rIA + λ Ω

 

Reemplazando

r: Ω x vA / Ω^2 + λ Ω 

 

Nota: Doble producto: a x (b x c) = b (a . c) – c (a . b)

 

  

b.      Demuestre que si hay un punto P del cuerpo tal que vP . Ω ≠ 0, entonces no hay eje instantáneo de rotación.

 

vP . Ω = vI . Ω

 

Con vP = velocidad de cualquier punto del cuerpo

 

Si existe el eje instantáneo à vI = 0

 

Reemplazando

vP . Ω = 0  (Falso ver enunciado) à NO existe el eje instantáneo de rotación

 

Las dos propiedades fundamentales del campo de velocidades del cuerpo rígido:

·       El eje instantáneo de rotación es una línea recta con la dirección de Ω

·       Su existencia requiere obligatoriamente que el producto escalar entre la velocidad de cualquier punto y la velocidad angular sea nulo.

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 11.5 - Cinemática del cuerpo rígido

El centro de una esfera describe un movimiento circular uniforme de velocidad angular ω alrededor de un punto O. Simultáneamente la esfera gira sobre sí misma, de tal forma que un punto A de la misma demora un tiempo τ en volverse a enfrentarse con el punto O (ver Figura).

 

 

 

a)      Encuentre la velocidad de rotación de la esfera Ω

 

 Ω rel = Ω – ω

 

Donde

Ω rel = velocidad relativa (respecto de O) = 2 π / τ

τ = Periodo (tiempo que tarda en dar una vuelta completa el punto A respecto de O)  

Ω = velocidad de rotación de la esfera

ω = velocidad angular respecto de O

 

Reemplazando y despejando Ω

Ω = ω + 2 π / τ

 

 

 

b)     ¿Cuánto tiempo transcurre entre dos pasajes sucesivos del punto A por extremo inferior de la esfera?

 

∆t = 2 π / Ω

 

Donde

∆t = tiempo que tarda entre dos pasajes sucesivos

 

Reemplazando

∆t = 2 π / (ω + 2 π / τ) = 2 π τ / (ω τ + 2 π)

 

 

 

c)      Si el eje de la Tierra fuera perpendicular a la eclíptica, ¿cuál sería el valor de Ω para la Tierra?

 

τ = 1 día solar = 8,64 x 10^4 seg

ω = 2 π / ∆t

∆t  = 365,25 días ( 8,64 x 10^4 seg / 1 día) = 3,16 x 10^17 seg

 

reemplazando

Ω = 2 π / 3,16 x 10^17 seg + 2 π / 8,64 x 10^4 seg = 7,29 x 10^-5 1/seg

 

Física 1 (Exactas) Práctica 11.4 - Cinemática del cuerpo rígido

 Si quisiera definir un ángulo tal que su derivada respecto del tiempo coincida con Ω (salvo un signo), ¿cómo lo definiría?

 dθ/dt = ± Ω

 

Donde

θ = ángulo barrido

Ω = velocidad angular

+ sentido de giro antihorario

- sentido de giro horario

 

Integrando

θ(t) = ∫ Ω dt

Física 1 (Exactas) Práctica 11.3 - Cinemática del cuerpo rígido

Indique la velocidad de rotación del triángulo en los tres siguientes casos:

Caso A

i.                 Indique la velocidad de rotación del triángulo

 

El triángulo se traslada en forma circular pero NO rota

 

La velocidad de rotación del triángulo es cero à ω = 0

 

ii.               Compare con dθ/dt.

 dθ/dt = velocidad angular que el triángulo se desplaza alrededor del circulo

 dθ/dt ≠ ω

 

 

Caso B

i.                 Indique la velocidad de rotación del triángulo

 

 

El triangulo se traslada en forma circular y el triangulo rota sobre si mismo

 

Cuando el triángulo llega a la parte más baja de la trayectoria (t = t4), recorrió π y el triángulo giro π

ω = ωc

donde

ω = velocidad angular de rotación del triangulo

ωc = velocidad angular de traslación del triangulo sobre el circulo

La velocidad de rotacion del triangulo à ω = dθ/dt

  

ii.               Compare con dθ/dt.

dθ/dt = velocidad angular del triángulo sobre el circulo

El triángulo completa una vuelta al círculo en T (dθ/dt).

El triángulo da una vuelta completa sobre sí mismo en T (ω)

 à dθ/dt = ω

 

 

Caso C

i.                 Indique la velocidad de rotación del triángulo

 

 

El triángulo se traslada en forma circular y el triangulo rota sobre si mismo

 

Cuando el triángulo llega a la parte más baja de la trayectoria (t = t4), recorrió π y el triángulo giro π/2

ω = 1 /2 ωc

La velocidad de rotacion del triángulo  à ω = - 1 /2 dθ/dt (gira en sentido opuesto)

 

ii.               Compare con dθ/dt.

dθ/dt = velocidad angular que el triángulo se desplaza alrededor del circulo

El triángulo completa una vuelta al círculo en T (dθ/dt).

El triángulo da media vuelta sobre sí mismo en T en sentido antihorario (ω)

 à dθ/dt = - 2 ω