Física 1 (Exactas) Practica 7.3 - Momento angular

Dos patinadores sobre hielo, de masa m = 50 kg cada uno, se acercan mutuamente en trayectorias paralelas distantes 3 m entre sí. Ambos patinan (sin fricción) a 10 m/s.  El primer patinador sostiene una varilla, sin masa y de 3 m de largo, de la que se toma el segundo. 

 

a.     Describir cuantitativamente el movimiento de los dos a partir de ese momento. 

 

Centro de masa

rCMo = (m1 r1 + m2 r2) / (m1 + m2)

 

donde

rCMo = centro de masa

m1 = m2 = masa de cada hombre = m = 50 kg

r1 = r2 = r = distancia al centro de masa = D / 2

D = longitud de la barra = r1 + r2 = 3 m

 

Reemplazando

rCMo = 2 m D / 2 / 2 m = D / 2 = 3 m /2 = 1,5 m

 

 

Velocidad del centro de masa

m1 v1 – m2 v2 = M vCM

 

Donde

v1 = v2 = v = velocidad de los patinadores = 10 m/s

M = masa total = 2 m

vCM = velocidad del centro de masa

 

Reemplazando

vCM = (m v – m v) / 2 m = 0

 

 

Momento angular total

Lo = 2 m vo r

 

Donde

Lo = momento angular

m = masa del hombre = 50 kg

vo = velocidad inicial = 10 m/s

r = distancia al centro de masa = 3 m – 1,5 m = 1,5 m

 

reemplazando 

Lo = 2 * 50 kg 10 m/s 1,5 m = 1500 kg m²/s

 

 

Velocidad angular

vo = ωo r

 

Donde

ωo = velocidad angular

 

Reemplazando

ωo = vo / r = 10 m/s / 1,5 m = 6,67 1/seg

 

 

Movimiento resultante = movimiento circular uniforme (girando alrededor de CM)

 

 

 

b.     Suponer ahora que uno de ellos tira de la varilla, acortando la distancia a 1 m. Describir el movimiento posterior.

 

τ = dL / dt

 

Donde

τ = torque de la fuerza externa = r x F

r = distancia entre la masa y el CM

F = Fuerza externa = 0

L = momento angular respecto al CM 

dL/dt = variación del momento angular respecto del tiempo

 

Reemplazando

dL/dt = 0 à Se conserva el momento angular L = Lo

 

Momento inicial: Lo = 2 m vo ro

Momento inicial: L = 2 m v1 r1

 

Donde

v1 = velocidad de cada patinador

r1 = distancia de cada patinador al CM = 1 m / 2 = 0,5 m

 

Reemplazando y despejando v1

v1 = 2 m vo ro / (2 m r1) = vo ro / r1 = 10 m/s 1,5 m / 0,5 m = 30 m/s

 

Velocidad angular

v1 = ω1 r1

 

Donde

ω1 = velocidad angular

 

Reemplazando

ω1 = v1 / r1 = 30 m/s / 0,5 m = 60 1/seg

 

Movimiento resultante = movimiento circular uniforme (girando alrededor de CM)

Con mayor velocidad angular

 

 

c.      ¿Cómo y con qué velocidad se moverán los patinadores si repentinamente uno de ellos suelta la varilla? Resolver para los casos (a) y (b).

 

Al soltar la varilla  desaparece la tensión (T = 0) à fuerza centrípeta = 0 à cada patinador sale despedido en línea recta en  la dirección tangente a la trayectoria original

 

Velocidad a = vo = 10 m/s

Velocidad v = v1 = 30 m/s

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 7.2 - Momento angular

Una partícula de masa m está atada al extremo de un hilo y se mueve en una trayectoria circular de radio r₀ sobre una superficie horizontal plana sin fricción. El hilo pasa por un agujero en la superficie e inicialmente su otro extremo se mantiene fijo. Si se tira lentamente del hilo, de forma que el radio disminuye, halle como varía la velocidad angular ω, en función de r, sabiendo que para r = r₀ la velocidad angular era ωo.

 

 

τ = dL / dt

 

Donde

τ = torque de la fuerza externa = r x F

r = distancia entre la masa y el agujero

F = tensión del hilo

r x F = 0 (son colineales)

L = momento angular respecto de agujero 

dL/dt = variación del momento angular respecto del tiempo

 

Reemplazando

dL/dt = 0 à Se conserva el momento angular L = Lo

 

 

Estado final: L = m v r = m ω r^2

Estado inicial: Lo = m vo ro =   m ωo ro^2

 

Donde

m = masa

v = velocidad tangencial

ω = velocidad angular 

r = distancia entre la masa y el agujero

vo = velocidad tangencial inicial

ωo = velocidad angular inicial 

ro = distancia entre la masa y el agujero inicial

 

Reemplazando

m ω r^2 = m ωo ro^2

 

Despejando ω 

ω  = ωo (ro /r)^2

 

Física 1 Practica 7 Indice

 Física 1 - Exactas

Practica 7. Momento angular

1.  https://noemifisica.blogspot.com/2026/06/fisica-1-exactas-practica-71-momento.html

2. https://noemifisica.blogspot.com/2026/06/fisica-1-exactas-practica-72-momento.html

3. https://noemifisica.blogspot.com/2026/06/fisica-1-exactas-practica-73-momento.html

4. 

5. 

Indice

https://noemifisica.blogspot.com/2026/03/fisica-1-exactas-indice.html

Física 1 (Exactas) Practica 7.1 - Momento angular

Considere el sistema formado por una barra de longitud L y masa despreciable, en cuyos extremos se hallan fijas sendas masas, de valor m y M, tal como muestra la Figura. El sistema se halla apoyado sobre una superficie horizontal libre de rozamiento, y es libre de girar alrededor de un eje fijo O. El sistema se pone en movimiento dándole a t = 0 una velocidad angular ωo a la barra.

 

a)     Indique qué fuerzas actúan sobre cada una de las partículas y diga si se conserva el momento lineal y el momento angular del sistema con respecto al origen O.

 

Fuerzas

Peso: Pm = m g y PM = M g (vertical hacia abajo).

Normal: Nm y NM reacción de la superficie horizontal a las masas m y M (vertical hacia arriba)

Tensión: T fuerza ejercida por la barra (radial hacia el centro de rotación O)

 

 

Conservación del momento lineal (P)

 

Fm + FM = dP / dt

 

Donde

Fm = fuerza centrípeta sobre m = m ωo^2 rm

ωo = velocidad angular

rm = distancia entre m y O

FM = fuerza centrípeta sobre M = M ωo^2 rM

rM = distancia entre M y O

P = momento lineal

dP / dt = variación del momento lineal respecto del tiempo

 

Reemplazando

Fm + FM = m ωo^2 rm - M ωo^2 rM = ωo^2 (m rm - M rM)

 

Si m rm ≠ M rM à Fm + FM ≠  0 à  dP / dt ≠ 0 à NO se conserva el momento lineal

Si m rm =  M rM à Fm + FM =  0 à  dP / dt = 0 à Se conserva el momento lineal

Si m rm = M rM el punto O está en el centro de masa

 

 

Momento angular

 

τO = dLO / dt

 

Donde

τO = torque de la fuerza externa = rm x Fm + rM x FM = 0

rm x Fm = 0 (tienen el misma linea de aplicación)

rM x FM = 0 (tienen el misma linea de aplicación)

LO = momento angular respecto de O

dLO / dt = variación del momento angular respecto del tiempo

 

Reemplazando

.dLO / dt = 0 à Se conserva el momento angular

 

 

b)     Calcule el momento angular con respecto a O y determine como varía la velocidad angular de las barras con el tiempo.

 

LO = IO ωo

 

Donde

LO = momento angular respecto de O

IO = momento de inercia respecto de O = m rm^2 + M rM^2

ωo = velocidad angular

rm = distancia entre m y O

rM = distancia entre M y O = L - rm

L = longitud de la barra

 

Reemplazando

LO = (m rm^2 + M (L – rm)^2) ωo

 

Momento angular se conserva y el momento de inercia es constante à ω(t) = ωo

 

 

c)     Halle posición y velocidad del centro de masa del sistema en función del tiempo.

 

Centro de Masa

 

rCMO = (m rm – M rM) / (m + M) = (m rm – M (L – rm)) / (m + M)

 

Con rCMO = centro de masa del sistema respecto de O 

 

Movimiento del centro de masa

 

θ = ωo t

 

Con θ = ángulo barrido por la barra

 

Reemplazando

rCM(t) = (rCMO cos (ωo t); rCMO sen (ωo t))

  

Derivando

drCM(t) / dt = ( - rCMO ωo  sen (ωo t) ; rCMO ωo cos (ωo t))

 

 

 

d)   Calcule el impulso angular con respecto al punto O’ (ubicado fuera de barra), situado a una distancia D del punto O.

 

∆JθO´ = LO´ - LO´o

 

Donde

∆JθO´ = impulso angular = variación del momento angular

LO´o = momento angular respecto de O´ inicial = 0 (el sistema se pone en movimiento en t = 0)

LO´ = momento angular respecto a O´

  

LO´ = LO + rOO´ x P (ecuación vectorial)

 

Donde

LO = momento angular respecto a O = IO ωo (vector en la dirección y sentido de ωo)

P = cantidad de movimiento lineal = m vm - M vM

vm = velocidad de m = ωo x rmO 

vM = velocidad de M = ωo x rMO

rCMO = centro de masa del sistema respecto de O = (m rm – M rM) / (m + M)

rOO´ = distancia entre los puntos O y O´ = D (vector horizontal)

 

Reemplazando

LO´ = LO + rOO´ x P

       = IO ωo + D x (m ωo x rmO + M ωo x rMO) =

       = IO ωo + D ωo (m + M) rCMO

 

 

Reemplazando en ∆JOO´

∆JOO´ = (m rm^2 + M (L - rm)^2 ωo + D ωo (m rm + M (L - rm))  

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 6.9 - Momento lineal

Un bloque de masa m = 40 kg es lanzado con velocidad inicial v₀ = 100 m/s en una dirección que forma un ángulo de 30º con la horizontal. En el punto más alto de la trayectoria se divide en dos partes iguales. Una de ellas cae verticalmente, comenzando con una velocidad de 10 m/s hacia abajo. Calcule las distancias entre el punto de lanzamiento y cada uno de los puntos de impacto de los fragmentos con la superficie. Considere g = 10 m/s².

 

Posición mas alta

vx = vox

vy = 0

 

Donde

vx = componente x de la velocidad inicial v

vy = componente y de la velocidad inicial v

vox = componente x de la velocidad inicial vo = vo cos 30°

vo = velocidad inicial = 100 m/s

 

Reemplazando

vx = vo cos 30° = 100 m/s cos 30° = 86,6 m/s

vy = 0

 

Explosión

∆p = pf – pi (ecuación vectorial)

 

Donde

∆p = variación de la cantidad de movimiento = 0

pf = cantidad de movimiento final = m1 v1f + m2 v2f = 0

m1 = masa 1 = M / 2

M = masa inicial = 40 kg 

v1f = velocidad final del m1 (0; - 10 m/s)

m2 =masa 2 = M / 2

v2f = velocidad final de m2

pi = cantidad de movimiento inicial = M vi

vi = velocidad inicial = (vx; vy) = (86,6 m/s; 0)

 

Descomponiendo las componentes

Según x: m1 v1fx + m2 v2fx – M vix = 0

Según y: m1 v1fy + m2 v2fy – M viy = 0

 

Reemplazando

 M / 2 * 0 + M / 2 v2fx = M * 100 cos 30°

 M / 2 * (- 10 m/s) + M / 2 v2fy = M * 0

 

Despejando v2fx y v2fy

v2fx = 2 * 100 cos 30° = 173,20 m/s

v2fy = 10 m /s

 

 

Posición de la masa inicial (antes de la explosión)

 

Ecuaciones horarias

x = xo + vox t

y = yo + voy t – 1/ 2 g t^2

vx = vox

vy = voy – g t

 

Donde

x = posición en t

y = altura en t

xo = posición inicial = 0

yo = altura inicial = 0

vox = componente x de la velocidad inicial vo = vo cos 30°

voy = componente y de la velocidad inicial vo = vo sen 30°

vo = velocidad inicial = 100 m/s

vx = componente x de la velocidad inicial v

vy = componente y de la velocidad inicial v

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

 

La posición más alta vy = 0

vy = vo sen 30° – g t = 0

 

Despejando t

t = vo sen 30° / g = 100 m/s * 0,5 / 10 m/s² = 5 seg

 

 Reemplazando en la posición

x1 = vox t = vo cos 30° t = 100 m/s cos 30° 5 seg = 433 m

y1 = voy t – 1 /2 g t^2 = 100 m/s sen 30° 5 seg – 1 /2 10 m/s² (5 seg)^2 = 125 m

 

Posición del fragmento 1

 

Ecuaciones horarias

x1f = x1 + vo1x t

y1f = y1 + vo1y t – 1/ 2 g t^2

Donde

x1f = posición en t

y1f = altura en t

x1 = posición inicial = 433 m

y1 = altura inicial = 125 m

v1f = velocidad final del m1 (0; - 10 m/s)

 

Reemplazando

x1f = 433 m + 0 * t = 433 m

y1f = 125 m – 10 t – 1/ 2 * 10 m/s^{2 t}^2

 

Distancia entre el punto de disparo y el punto de caída del fragmento 1

D1 = x1f – xo = 433 m

 

 

Posición del fragmento 2

 

Ecuaciones horarias

x2f = x1 + vo2x t

y2f = y1 + vo2y t – 1/ 2 g t^2

 

Donde

x2f = posición en t

y2f = altura en t

x1 = posición inicial = 433 m

y1 = altura inicial = 125 m

v2f = velocidad final del m1 (173,20 m/s; 10 m /s)

 

Reemplazando

x2f = 433 m + 173,23 m/s  t

y2f = 125 m + 10 m/s t – 1/ 2 * 10 m/s² t^2 = 0

 

Despejando t de la ecuación y2f

t1 = 6,10 seg

t2 = - 4,10 seg (descartado)

 

Reemplazando en la ecuación de x2f

x2f = 433 m + 173,23 m/s * 6,10 seg = 1489 m

 

Distancia entre el punto de disparo y el punto de caída del fragmento 2

D2 = x2f – xo = 1489 m