Física 1 (Exactas) Practica 1.1.6. Cinemática – Coordenadas cartesianas

 Un juego de un parque de diversiones consiste en una pelotita que se mueve por un carril rectilíneo con aceleración a = k t hacia la derecha, con k > 0. A t = 0, la pelotita se halla en reposo en el extremo izquierdo del carril (punto A). El jugador dispone de un rifle, ubicado a una distancia D del punto A, que dispara bolas con velocidad vo variable, pero con un ángulo α fijo.

 

 

a.     ¿Con qué velocidad vo debe disparar el jugador para que le sea posible acertar en la pelotita? ¿En otras palabras, para qué valor de vo las trayectorias de la bala y la pelotita se cruzan?

 

Jugador

 

rj(t)  = (xj(t) ; yj(t))

 

Donde

rj(t) = posición de la bala del jugador en el instante t

xj(t) = posición según x en el instante t

yj(t) = altura según y en el instante t

 

Ecuaciones horarias

xj = xo + vo cos α t

yj = yo + vo sen α t - 1/ 2 g t^2

 

Donde

xo = posición inicial = 0

yo = altura inicial = 0

vo = velocidad inicial

g = aceleración de la gravedad

 

Reemplazando en yj = 0 (puede encuentrar  la pelota),

yj = vo sen α t - 1/ 2 g t^2 = 0

 

Esta cuadrática tiene dos soluciones

t1 = 0 (cuando se dispara)

t2 = 2 vo sen α / g (cuando llega)

 

Reemplazando en xj para (va a encontrar la pelota si cae despues de D)

xj = vo cos α 2 vo sen α / g = vo^2 sen 2 α / g > D

 

Despejando vo

vo > raíz cuadrada (D g / sen 2 α)

 

Nota:

D > 0; g > 0;  0 < α < 90° à sen 2 α > 0  à  D g / sen 2 α > 0 (existe la raiz cuadrada)

 

 b.     ¿Si vo es alguna de las velocidades halladas en a), en qué instante debe disparar el jugador para pegarle a la pelotita?

 

Jugador

 

rj(t) = (xj(t); yj(t))

 

xj = vo cos α (te – toj)

yj = yo + vo sen α (te – toj) - 1/ 2 g (te – toj)^2

 

Donde

te = tiempo del encuentro

toj = tiempo de lanzamiento del jugador

 

Pelotita

 

rp(t) = (xp(t); yp(t))

 

Donde

rp(t) = posición de la pelotita en el instante t

xp(t) = posición según x en el instante t

yp(t) = altura según y en el instante t = 0

 

Según x

ap = k t

integrando

ap = d vp / d t à vp(t) = 1/ 2 k t^2 + vop 

Con vop = 0 para to = 0

integrando

vp = d xp / d t à xp(t) = 1/ 6 k t^3 + xop

Con xop = D para to = 0

   

Reemplazando

xp(t) = 1/ 6 k t^3 + D

 

Según y

yp = 0

 

Ecuentro 

xj = xp, yj = yp = 0 para te

 

vo cos α (te – toj) = D + 1/ 6 k te^3

vo sen α (te – toj) - 1/ 2 g (te – toj)^2 = 0

 

despejando (te – toj) en la ecuación según y

(te – toj) = 0 (descartada)

(te – toj) =  2 vo sen α  / g

 

Reemplazando en la ecuación según x

vo cos α 2 vo sen α / g = D + 1/ 6 k te^3

 

despejando te

te = raíz cubica (6 (vo^2 sen 2 α / g – D) / k)

 

Despejando toj de la ecuación en (te – toj)

toj = te – 2 vo sen α / g

 

Reemplazando te

toj = raíz cubica (6 (vo^2 sen 2 α / g – D) / k) – 2 vo sen α / g

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 1.1.5. Cinemática – Coordenadas cartesianas

 Un helicóptero se encuentra suspendido en la posición x = L e y = H. En t = 0 el helicóptero comienza a descender con aceleración ay (t) = - k t (k > 0).

En el origen de coordenadas hay un cañón que forma un ángulo α con la dirección horizontal y dispara proyectiles con velocidad de salida vo.

 

a.     Encuentre la trayectoria del proyectil (es decir, halle y(x)).

 

Proyectil

 

rp(t) = (xp(t);yp(t))

 

Donde

rp(t) = posición del proyectil en el instante t

xp(t) = posición según x en el instante t

yp(t) = altura según y en el instante t

 

Ecuaciones horarias

xp(t) = xo + vox t

yp(t) = yo + voy t – 1/ 2 g t^2

 

Donde

xo = posición inicial = 0

yo = altura inicial = 0

vox = componente x de la velocidad = vo cos α

voy = componente y de la velocidad = vo sen α

vo = velocidad de salida del cañón

g = aceleración de la gravedad

t = tiempo

 

Reemplazando

xp(t) = vo cos α t

yp(t) = vo sen α t – 1/ 2 g t^2

 

Despejando t de x(t)

t = xp(t) / (vo cos α)

 

Reemplazando en yp(t)

yp(t) = vo sen α xp(t) / (vo cos α) – 1/ 2 g (xp(t) / (vo cos α)) ^2

 

Ecuación de la trayectoria del proyectil

yp(x) = xp tan α – 1/ 2 g (xp / (vo cos α)) ^2

Grafique y(x) para el proyectil y para el helicóptero.

 

 Helicóptero

 

rh(t) = (xh(t); yh(t))

 

Donde

rh(t) = posición del helicóptero en el instante t

xh(t) = posición según x en el instante t

yh(t) = altura según y en el instante t

 

Ecuaciones horarias

Según x

xh(t) = xoh + voh th

 

Donde

xh(t) = posición en t

xoh = posición inicial = L

voh = velocidad inicial del helicóptero = 0 (suspendido)

t = tiempo

 

Reemplazando

xh(t) = L

Según y

ay(t) = d vy(t) / dt = - k t

 

Integrando

vy(t) = - k t^2 / 2 + voh

 

vy(t) = d yh(t) / dt = - k t^2/2

 

Integrando

yh(t) = - k t^3 / (2 * 3) + yo

 

Reemplazando yo = H

yh(t) = - k t^3 / 6 + H

 

 

b.     ¿Para qué valores de vo la trayectoria del proyectil y la del helicóptero se cruzan?

 

Se cruzan si el proyectil cruza el helicóptero (xp = L) antes de llegar al piso (yp > 0)

 

Ecuación de la trayectoria (a)

yp(x) = xp tan α – 1/ 2 g (xp / (vo cos α)) ^2

 

Reemplazando en la ecuación de la trayectoria

yp(x) = L tan α – 1/ 2 g (L / (vo cos α)) ^2 > 0

 

Despejando vo

vo > raíz cuadrada (L g / (sen 2α))

 

Nota:

L > 0 ; g > 0 ;  0 < α < 90° à sen 2 α > 0

      à L g / sen 2 α > 0 existe la raíz cuadrada

 

  

c.      Si vo es alguno de los valores hallados en b), diga en qué instante debe efectuarse el disparo para que el proyectil haga impacto sobre el helicóptero.

 

El encuentro se produce cuando en xe = xp = xh = L y  ye = yp = yh en tiempo del encuentro (te)

Igulando las ecuaciones

xe = vo cos α (te – tpo) = L

ye = vo sen α (te – tpo) – 1/ 2 g (te – tpo)^2 = - k te^3 / 6 + H

 

Donde

te = tiempo de encuentro respecto del inicio de caída del helicóptero (to = 0)

tpo = instante inicial del proyectil respecto del inicio de caída del helicóptero

 

 Reemplazando en la ecuación xe y despejando te

te = (L + vo cos α tpo) / (vo cos α) = tpo + L / (vo cos α) 

 

Reemplazando en la ecuación ye

ye = L sen α / cos α – 1/ 2 g (L / (vo cos α))^2 = - k / 6 (tpo + L / (vo cos α))^3 + H 

 

Reordenando

(top + L / (vo cos α))^3 = (- L sen α / cos α + 1/ 2 g (L / (vo cos α))^2   + H) 6 / k 

 

top  = raíz cubica [(- L tan α + 1/ 2 g (L / (vo cos α))^2   + H) 6 / k] -  L / (vo cos α)

.

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 1.1.4. Cinemática – Coordenadas cartesianas

A t = 0 se deja caer un cuerpo sin velocidad inicial desde una altura H del piso. Además del peso, sobre el cuerpo actúa una fuerza en la dirección horizontal que provoca una aceleración en esa dirección que puede expresarse como

ax (t) = - k t^2 (k > 0).

 

a.     Escriba las ecuaciones de movimiento y halle la ecuación de la trayectoria.

 

r(t) = (x(t);y(t))

 

Donde

r(t) = posición en el instante t

x(t) = posición según x

y(t) = altura según y

 

Según x

 

ax(t) = - k t^2

integrando 

vx(t) = ∫ ax(t) dt = - ∫ k t^2 dt = - 1 /3 k t^3 + vox

 x(t) = ∫ vx(t) dt = - ∫ (1 /3 k t^3 + vox) dt = - 1/12 k t^4 + vox t + xo

Reemplazando con las condiciones iniciales (vox = 0 (sin velocidad inicial) y xo = 0)

x(t) = - 1/12 k t^4

 

 

Según y

 

y(t) = yo + voy t – 1/ 2 g t^2

 

Reemplazando con las condiciones iniciales (voy = 0 (sin velocidad inicial) y yo = H)

y(t) = H – 1/ 2 g t^2

 

 

Ecuación de la trayectoria (y(x))

Despejando t^2 de la ecuación x(t)

.t^2 = (12 x) / k)^(1/2)

 

Reemplazando en la ecuación de y

y(x) = H – 1/ 2 g (12 x / k)^(1/2)

 

  

b.     ¿En qué punto del eje x el cuerpo tocará el suelo? Compare con los resultados para ax = 0.

 

H – 1/ 2 g (12 x / k)^(1/2) = 0 (llega al piso)

 

Despejando x

x = (2 H / g)^2 k /12 

 

Para ax = 0 à k = 0

x = 0

Corrimiento lateral debido a una fuerza externa horizontal