Una bolita de masa m se mueve por un tubo delgado, carente de rozamiento, el cual describe una semicircunferencia de radio R. La bolita se halla sujeta por un extremo a un resorte de constante elástica k y longitud natural l0 = πR/2, y por el otro a una soga, deslizando ambos elementos por el interior del tubo, tal como muestra la Figura del extremo de la soga pende, a través de una polea, otro cuerpo de masa M que actúa como contrapeso. Considere la soga inextensible, y las masas de soga, resorte y poleas despreciables.
En el instante inicial la bolita se halla en el punto
A (φ
= 0) con velocidad v0.
a) Plantee
las ecuaciones de Newton para cada una de las masas. Halle la ecuación
diferencial que rige el movimiento de la bolita.
Ecuaciones
de Newton
Bolilla m. Dirección radial: N – Pr = m ac
Bolilla m, Dirección tangencial: T - Fe – Pt = m at
Cuerpo M:
PM – T = M a
Donde
N =
reacción del tubo
Pr =
componente radial del P = P cos φ
Pt =
componente tangencial del P = P sen φ
P = peso =
m g
φ = ángulo
con la vertical
T = tensión
de la soga
Fe = fuerza
de elástica = k ∆l
k =
constante del resorte
∆l =
variación de la longitud del resorte = (l – lo)
l = longitud del resorte estirado = R (φ + π
/ 2)
lo =
longitud natural del resorte = π R/ 2
R = radio
del tubo
ac =
aceleración centrípeta = v^2 / R = ω^2 R
v =
velocidad tangencial
ω =
velocidad angular = dφ / dt
at =
aceleración tangencial = γ R
γ =
aceleración angular = d2φ / dt2
PM = peso del cuerpo = M g
a =
aceleración del cuerpo = at (soga ideal)
Sumando las
ecuaciones de ambos cuerpos
PM - Fe –
Pt = (m + M) a
Reemplazando
M g - k (R (φ + π / 2) – R π / 2) – m g sen φ = (m + M) R d2φ /
dt2
Reordenando
d2φ
/ dt2 +
k / (m + M) φ + m g / ((m + M) R) sen φ
= M g / ((m + M) R)
.d2 φ / dt2 = ω dω / d φ
ω dω / d φ
= M
g / ((m + M) R) - k / (m + M) φ - m g /
((m + M) R) sen φ
Integrando
ω^2 / 2
= M g
φ / ((m + M) R) – k / (m + M) φ^2 / 2
- m g / ((m + M) R) cos φ + C
Para t = 0;
φ = 0 y v = vo
ωo^2 / 2
= - m g / ((m + M) R) + C = (vo / R)^2
v^2 = [(m
+ M) vo^2 – k (R φ)^2 – 2 m g ( R – R cos φ) – 2 M g R φ] / (m + M)
b) Halle
gráficamente la o las posiciones de equilibrio de la bolita, determinando si
corresponden a posiciones de equilibrio estable o inestable.
Posición de equilibrio (d2 φ / dt2 = 0)
k R φeq + m g sen φeq = M g
Reordenando
sen φeq = M / m - k R / (m g) φeq
Con φ en el
intervalo [-π/2; π/2] (ver figura)
Opción I. φ en el intervalo [0; π/2] à sen φ > 0
M /m - k R / (m g) φeq > 0 à M g / (k R) > φeq
Comparando
con el intervalo
0 < φeq < mínimo (M g / (k R) y π/2)
Opción II. φ en el intervalo [- π/2; 0 ] à sen φ < 0
M /m - k R / (m g) φeq < 0 à M g / (k R) < φeq
Comparando
con el intervalo
No hay solución
Las
funciones sen φeq y M / m - k R / (m g)
φeq tienen un único punto de intersección
Tipo de equilibrio – pequeñas perturbaciones
φ = φeq +
ε
Con ε =
pequeña perturbación
FN = M g - k R φ –
m g sen φ
Con FN = fuerza neta
La serie de
Taylor de 1er orden de FN en el entorno φeq
FN(φeq + ε)
= FN(φeq) – (k R + m g cos φeq) ε
Reemplazando
en la ecuación diferencial
(M + m) d2
ε / dt2 + (k R + m g cos φeq) ε = 0
La solución
de esta ecuación es una funciona oscilatoria si
(k R + m g cos φeq) > 0
Comparando con el intervalo
cos φeq >
0 entre [0; π/2] à (k R + m g cos
φeq) > 0 à equilibrio
estable
c) Halle
la expresión de la fuerza de vínculo ejercida por el tubo sobre la bolita como
función del ángulo φ.
Reemplazando
en la ecuación radial de la Bolilla
N – m g cos
φ = m v^2 / R
v^2 = [(m
+ M) vo^2 – k (R φ)^2 – 2 m g ( R – R cos φ) – 2 M g R φ] / (m + M)
Despejando
N
N = m g cos φ + m v^2 / R
Con v^2
v^2 = [(m
+ M) vo^2 – k (R φ)^2 – 2 m g ( R – R cos φ) – 2 M g R φ] / (m + M)
