Física 1 (Exactas) Práctica 12.4 - Dinámica del cuerpo rígido

Un disco cilíndrico homogéneo de radio R y masa M₁ es arrastrado sobre una superficie horizontal sin fricción por una cuerda que está unida a un cuerpo de masa M₂, como se indica en la Figura Determine,

 

 

a)      La aceleración del centro del disco y la aceleración angular del disco. 

 

Ecuaciones de la dinámica

Cuerpo 1. Ecuación de Newton según x: T = M1 aCM

Cuerpo 1. Torque (respecto del CM): T R = I α

Cuerpo 2. Ecuación de Newton 2: P2 – T = M2 a2

 

Donde

T = tensión

M1 = masa del disco

aCM = aceleración del centro de masa del disco

R = radio del disco

I = momento de inercia del disco = 1 /2 M1 R^2

α = aceleración angular del disco

P2 = peso del cuerpo 2 = M2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

Reemplazando en las ecuaciones

T = M1 aCM

T R = 1/ 2 M1 R^2 α

M2 g – T = M2 a2

 

 

Condición de la cuerda

H = D1 + D2

 

Donde

H = desplazamiento de cuerpo

D1 = desplazamiento del disco

D2 = cuerda que se desenrolla del disco = θ R

 

Derivando dos veces

d² H/ dt² = d² D1/ dt² + R d² θ / dt²

 

Donde

d² H/ dt² = a2

d² D1/ dt²  = aCM

d² θ / dt² = α

 

a2 = aCM + R α

 

Reemplazando en las ecuaciones

T = M1 aCM

T R = 1/ 2 M1 R^2 α

M2 g – T = M2 a2

 

Despejando T de las ecuaciones del disco

T = M1 aCM

T = 1/ 2 M1 R α

 

Igualando

M1 aCM = 1/ 2 M1 R α

 

Despejando R α

R α = 2 aCM

 

Reemplazando en la ecuación de las aceleraciones

a2 = aCM + 2 aCM = 3 aCM

 

Reemplazando en la ecuación del cuerpo

M2 g – M1 aCM = M2 3 aCM

 

Despejando aCM

aCM = M2 g / (M1 + 3 M2)

 

Reemplazando y despejando α  de la ecuación en R α

α = 2 aCM / R = 2 M2 g / (M1 + 3 M2) / R

 

 

 

b)     La aceleración del cuerpo de masa M₂. 

 

a2 = aCM + 2 aCM = 3 aCM

 

Reemplazando

a2 = 3 M2 g / (M1 + 3 M2)

 

c)                La tensión en la cuerda.

 

T = M1 aCM

 

Reemplazando

T = M1 M2 g / (M1 + 3 M2)

 

d)                La velocidad del centro de masa del disco cuando se ha desplazado una distancia igual a su diámetro, medida desde la posición en la que estaba en reposo.

 

xCM = xo + vo t + 1/ 2 aCM t^2

vCM = vo + aCM t

 

Donde

xCM = desplazamiento del centro de masa del disco = diámetro = 2 R

xo = desplazamiento inicial del centro de masa del disco = 0

vo = velocidad inicial del centro de masa del disco = 0

aCM = aceleración del centro de masa del disco = M2 g / (M1 + 3 M2)

vCM = velocidad del centro de masa del disco

t = tiempo transcurrido para que el disco se desplace un diámetro

 

Reemplazando y despejando t de la ecuación de la velocidad

t = vCM / aCM

 

Reemplazando en la ecuación del desplazamiento

xCM = 1 /2 aCM (vCM / aCM)^2 = 1 /2 vCM^2 / aCM

 

Despejando vCM

vCM = [2 xCM aCM]^(1/2) = [2 * 2 R M2 g / (M1 + 3 M2)]^(1/2)

 

 

 

e)                La velocidad de la masa colgante en ese instante.

 

v2 = vo2 + a2 t

 

Donde

v2 = velocidad del cuerpo

vo = velocidad inicial del cuerpo = 0

a2 = aceleración del cuerpo = 3 aCM

t = tiempo transcurrido = vCM/aCM (tiempo transcurrido para que el disco se desplace un diámetro)

 

Reemplazando

v2 = 3 aCM t = 3 v = 3 [4 R M2 g / (M1 + 3 M2)]^(1/2)

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 12.3 - Dinámica del cuerpo rígido

En la Figura se muestran dos cilindros homogéneos de radio R y masa M. El cilindro de arriba, sostenido por un eje horizontal a través de su centro, rota libremente. Se enrosca una cuerda y se deja caer el cilindro inferior. La cuerda no desliza respecto de los cilindros.

a.     ¿Cuál es la aceleración del centro de masa del cilindro inferior?

 

Cilindro superior (solo ROTACION)

 

τ1 = T R = I1 α1

 

Donde

τ1 = Torque respecto del eje de rotación

T = tensión de la cuerda

R = radio del cilindro

I1 = momento de inercia del cilindro 1 = 1 /2 M R^2

M = masa del cilindro

α1 = aceleración angular del cilindro 1

 

Despejando α1

α1 = T R / (1 /2 M R^2) = 2 T / (M R)

 

 

Circulo inferior (ROTACION y TRASLACION)

 

P2 – T = M a

τ2 = T R = I2 α2

 

Donde

P2 = peso del cilindro 2 = M g

a = aceleracion 

τ2 = Torque respecto del eje de rotación

I2 = momento de inercia del cilindro 2 = 1 /2 M R^2

α2 = aceleración angular del cilindro 2

 

Despejando α2

α2 = T R / (1 /2 M R^2) = 2 T / (M R)

 

 

Condicción dinámica

 

y = R θ1 + R θ2

 

Donde

y = distancia recorrida por el cilindro2

R θ1 = cuerda desenrollada del cilindro 1

θ1 = ángulo girado por el cilindro 1

R θ2 = cuerda desenrollada del cilindro 2

θ2 = ángulo girado por el cilindro 2

 

Derivando dos veces

d²y / dt² = R d²θ1 / dt² + R d²θ2 / dt²

 

con

d²y / dt² = a

d² θ1 / dt² = α1

d² θ2 / dt² = α2

 

Reemplazando

a = R α1 + R α2

 

Reemplazando (α1 y α2)

a = R 2 T / (M R) + R 2 T / (M R) = 4 T / M 

 

Despejando T

T = M a / 4

 

Reemplazando T

M g – M a / 4 = M a

 

Despejando a

a = 4/5 g

 

 

b.  Calcule la tensión de la cuerda.

 

Reemplazando en T

T = M 4/5 g / 4 = 1/5 M g

 

 

c.  Calcule la velocidad del centro de masa del cilindro inferior, cuando ha caído una distancia 10 R.

 

y = yo + vo t + 1/ 2 a t^2

v = vo + a t

 

Donde

y = desplazamiento del centro de masa del cilindro 2 = 10 R

yo = desplazamiento inicial del centro de masa del cilindro 2 = 0

vo = velocidad inicial del centro de masa del cilindro 2= 0

a = aceleración = 4/5 g

v = velocidad del centro de masa del cilindro 2

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando y despejando t de la ecuación de la velocidad

t = v /a

 

Reemplazando en la ecuación del desplazamiento

y = 1 /2 a (v / a)^2 = 1 /2 v^2 / a

 

Despejando v

v = [2 y a]^(1/2) = [2 * 10 R 4/5 g]^(1/2) = [4 R g]^(1/2)

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 12.2 - Dinámica del cuerpo rígido

Considere un yo-yo (just google it) con radio exterior R igual a 10 veces su radio interior r. El momento de inercia I₀ del yo-yo respecto de su centro de masa está dado por I₀ = MR²/2, donde M es la masa total del yo-yo. El extremo final de la cuerda se mantiene en reposo y ésta no desliza respecto del yo-yo. 

a)      Calcule la aceleración del centro de masa del yo-yo. ¿Cómo es comparada con g? 

 

 

 

Ecuación de Newton

P – T = M a

 

Donde

P = peso del yo-yo = M g

T = tensión de la cuerda

M = masa del yo-yo

a = aceleración

 

Reemplazando

M g – T = M a

 

Torque respecto del CM (centro del yo – yo)

T r = I α

 

Donde

r = radio menor

I = momento de inercia = 1 /2 M R^2

R = radio = 10 r

r = radio interior

α = aceleración angular = a / r

 

Reemplazando y despejando T

T r = 1 /2 M (10 r)^2 (a / r)

T = 1 /2 M 100 a = 50 M a

 

Reemplazando T en la ecuación de Newton

M g – 50 M a = M a

 

Despejando

a = g / (50 +1) = g / 51 < g

 

 

 

b)     Encuentre la tensión en la cuerda a medida que el yo-yo desciende. ¿Cómo es comparada con Mg?

T = 50 M a

 

Reemplazando

T = 50 M (g / 51) = 50 /51 M g < M g

 

 

Física 1 Practica 12 Indice

 Física 1 - Exactas

Práctica 12 -  Dinámica del cuerpo rígido

1. https://noemifisica.blogspot.com/2026/07/fisica-1-exactas-practica-121-dinamica.html

2. https://noemifisica.blogspot.com/2026/07/fisica-1-exactas-practica-122-dinamica.html

3. https://noemifisica.blogspot.com/2026/07/fisica-1-exactas-practica-123-dinamica.html

4. https://noemifisica.blogspot.com/2026/07/fisica-1-exactas-practica-124-dinamica.html

5. 

Indice

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Física 1 (Exactas) Práctica 12.1 - Dinámica del cuerpo rígido

El sistema de la Figura consiste de dos cuerpos de masas m₁ y m₂ unidos por una cuerda inextensible que pasa a través de una polea cilíndrica homogénea de masa m_p, que no posee rozamiento con su eje. Calcule la aceleración de las masas. Observe que el resultado no depende del radio de la polea. 

 

Suponiendo m2 baja

Ecuaciones de Newton

Cuerpo 1: T1 – P1 = m1 a1

Cuerpo 2: P2 – T2 = m2 a2

 

Donde

T1 = tensión del cuerpo 1

P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g

a1 = aceleración del cuerpo 1

T2 = tensión del cuerpo 2

P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

a1 = a2 = a (soga ideal)

 

Reemplazando en las ecuaciones

T1 – m1 g = m1 a

m2 g – T2 = m2 a2

 

Despejando T1 y T2 de las dos ecuaciones

T1 = m1 a + m1 g

T2 = m2 g – m2 a

 

Restando ambas ecuaciones

T2 – T1 = m2 g – m2 a – (m1 a + m1 g)

 

 

Polea: Torque respecto de su eje central

T2 R – T1 R = I α

 

Donde

R = radio de la polea

I = momento de inercia = 1 /2 mp R^2

mp = masa de la polea

α = aceleración angular de la polea = a / R

 

T2 R – T1 R = 1/ 2 mp R^2 (a / R)

T2 – T1 = 1/ 2 mp a

 

Igualando

1/ 2 mp a = (m2 – m1) g – (m1 + m2) a

 

Despejando a

a = (m2 – m1) g / (m1 + m2 + 1/ 2 mp)