Un proyectil es disparado con un ángulo inicial α con respecto a la horizontal (en el punto máximo, la velocidad es
horizontal y la aceleración es vertical y hacia abajo).
a.
Hallar la expresión del radio de curvatura en el punto
más alto de la trayectoria.
an
= v^2 / ρ
Donde
an
= aceleración normal = g
g
= aceleración de la gravedad = 10 m/s2
v
= velocidad normal (componente según x de la velocidad) = vo cos α
vo
= velocidad inicial
ρ
= radio de curvatura
Reemplazando
ρ = (vo cos α)^2 / g
b.
Calcular dicho radio
para los datos: α = 30° y vo = 10 m/s.
Reemplazando
ρ = (10 m/s cos 30°)^2 / 10 m/s2 = 7,2 m
c.
Con los datos (b), calcular el radio de curvatura
cuando está en la mitad de altura al subir y al bajar, y comprobar que dichos
radios son iguales.
a = dv / dt
integrando
v(t)
= vo + a t
v
= dr / dt
integrando
r(t) = ro + vo t + 1/2 a t^2
Donde
r(t) = posición = (d ǐ + h ǰ)
d = distancia horizontal
h = altura
ro = posición inicial = (0,0)
vo = velocidad inicial = (vo
cos α ǐ + vo sen α ǰ)
a
= aceleración = - g ǰ
v(t) = vector velocidad = (vx
ǐ + vy ǰ)
Reemplazando
(d ǐ + h ǰ) = (vo cos α ǐ + vo sen α ǰ) t + 1/2 (- g ǰ) t^2
(vx ǐ + vy ǰ) = (vo cos α ǐ + vo sen α ǰ) + (- g ǰ) t
Altura
máxima vy = 0
Según ǰ: vy = vo sen α - g t
Despejando t
t = vo sen α / g
Reemplazando
en h
Según ǰ: h = (vo
sen α)^2 / g - 1/2 (vo sen α)^2 / g = 1/2 (vo sen α)^2 / g
Mitad de altura (h/2)
(1/2 (vo sen α)^2 / g) / 2 = vo sen α t + 1/2 (- g) t^2
Reordenando
1/2 g t^2 - vo sen α t + (1/4 (vo sen α)^2 / g) = 0
Reemplazando los datos de (b)
1/2 * 10 m/s2 t^2 – 10 m/s sen 30°
t + ((10 m/s sen 30°)^2 / (4 * 10 m/s2) = 0
5
m/s2 t^2 – 5 m/ s t + 0,625 seg = 0
Esta cuadrática tiene dos
soluciones
ts = 0,15 seg (subida)
tb = 0,85 seg (bajada)
Nota:
t = tangencial (ǔt)
n = normal (ǔn)
Al subir
vs = (vo cos α ǐ + vo sen α ǰ) + (- g ǰ) ts
donde
vs = velocidad de subida
vo = velocidad inicial = 10 m/s
α = angulo = 30°
g = aceleracion de la gravedad = 10 m/s2
ts = tiempo en la subida = 0,15 seg
Reemplazando en vs
vs = (10 m/s cos 30° ǐ + 10 m/s sen 30° ǰ) +
(- 10 m/s2 ǰ) 0,15 seg
vs
= 8,66 m/s ǐ + 3,54 m/s ǰ
| vs | = ((8,66 m/s)^2 +
(3,54 m/s)^2)^(1/2) = 9,35 m/s
Versores
vs = vst ǔt + vsn ǔn
Donde
vs
= velocidad en h/2 cuando el proyectil sube = 8,66 m/s ǐ + 3,54 m/s ǰ
vst
= componente tangencial de la velocidad
ǔt
= versor tangencial = v / | v |
vsn
= componente normal de la velocidad
ǔn
= versor normal (perpendicular a ǔt)
Reemplazando en ǔt
ǔt = (8,66 m/s ǐ +
3,54 m/s ǰ) / 9,35 m/s = 0,93 ǐ + 0,38 ǰ
ǔn
= (a ǐ + b ǰ)
Con
ǔt . ǔn = 0 y | ǔn | = 1
ǔt
. ǔn = (0,93 ǐ + 0,38 ǰ) . (a ǐ + b ǰ) = 0,93 a + 0,38 b = 0
a^2
+ b^2 = 1
Una
solución de este sistema
a
= 0,38 (hacia la derecha)
b
= - 0,93 (hacia abajo)
La
otra solución sería a = - 0,38 (hacia la izquierda) y b = 0,93 (hacia arriba)
Reemplazando
ǔn
= (0,38 ǐ – 0,93 ǰ)
Radio de curvatura
an
= vn^2 / ρs
Donde
an
= componente normal de la aceleración = - g ǰ . (0,38 ǐ – 0,93 ǰ)
vn^2
= componente normal de la velocidad = | v |^2
ρs
= radio de cobertura subiendo
Reemplazando
ρs = vn^2 / an = (9,35 m/s)^2 / (10 m/s2
* 0,93) = 9,45 m
Al bajar
vb = (vo cos α ǐ + vo sen α ǰ) + (- g ǰ) tb
donde
vb = velocidad de subida
vo = velocidad inicial = 10 m/s
α = angulo = 30°
g = aceleracion de la gravedad = 10 m/s2
tb = tiempo en la subida = 0,85 seg
Reemplazando en vb
vb = (10 m/s cos 30° ǐ + 10 m/s sen 30° ǰ) +
(- 10 m/s2 ǰ) 0,85 seg
vb
= 8,66 m/s ǐ - 3,54 m/s ǰ
| vb | = ((8,66 m/s)^2 + (-
3,54 m/s)^2)^(1/2) = 9,35 m/s
versores
vb = vbt ǔt + vbn ǔn
Donde
vb
= velocidad en h/2 cuando el proyectil en baja = 8,66 m/s ǐ - 3,54 m/s ǰ
vbt
= componente tangencial de la velocidad
ǔt
= versor tangencial = v / | v |
vbn
= componente normal de la velocidad
ǔn
= versor normal (perpendicular a ǔt)
Reemplazando en ǔt
ǔt = (8,66 m/s ǐ -
3,54 m/s ǰ) / 9,35 m/s = 0,93 ǐ - 0,38 ǰ
ǔn
= (a ǐ + b ǰ)
Con
ǔt . ǔn = 0 y | ǔn | = 1
ǔt
. ǔn = (0,93 ǐ - 0,38 ǰ) . (a ǐ + b ǰ) = 0,93 a - 0,38 b = 0
a^2
+ b^2 = 1
Una
solución de este sistema
a
= - 0,38 (hacia la izquierda)
b
= - 0,93 (hacia abajo)
La
otra solución sería a = - 0,38 (hacia la izquierda) y b = 0,93 (hacia arriba)
Reemplazando
ǔn
= (- 0,38 ǐ – 0,93 ǰ)
radio de curbatura
an
= vn^2 / ρb
Donde
an
= componente normal de la aceleración = - g ǰ . (- 0,38 ǐ – 0,93 ǰ)
vn^2
= componente normal de la velocidad = | v |^2
ρb
= radio de cobertura subiendo
Reemplazando
ρb = vn^2 / an = (9,35 m/s)^2 / (10 m/s2
* 0,93) = 9,45 m
Comparando
ρs = ρb
