Física 1 (Exactas) Practica 2.4 – Dinámica

Un bloque de masa m1 está colocado sobre un plano inclinado de masa m2 como muestra la figura. El plano inclinado descansa sobre una superficie horizontal. Ambas superficies son sin fricción y ambas, el bloque y el plano, pueden moverse.

 

 

 

a)     Si el plano inclinado está fijo, halle las componentes x e y de la aceleración del bloque.

 

 

Según // = - P1 // = m1 a1//

Según ꓕ = N1 – P1ꓕ = 0

 

Donde

P1 // = componente paralela del P1 = P1 sen φ

P1ꓕ = componente perpendicular del P1 = P1 cos φ

P1 = peso de la masa 1 = m1 g

a1// = componente paralela de la aceleración

N1 = reacción del plano

 

 

 

P1// = P1//x + P1//y (ecuación vectorial)

 

P1//x = P1// sen φ = - m1 g sen φ cos φ à a1x = -  g sen φ cos φ

P1//y = P1// cos φ = - m1 g sen φ sen φ à a1y = - g (sen φ)^2

 

 

b)    Si el plano inclinado es libre de moverse, mostrar que:

  

i)                a1x = - m2 g tan j / (m2 (sec j)^2 + m1 (tan j)^2)

ii)             a2x = m1 g tan j / (m2 (sec j)^2 + m1 (tan j)^2)

iii)            a1y = - ( m1 + m2 ) g (tan j)^2 / (m2  (sec j)^2+ m1 (tan j)^2)

 

 

 

Cuerpo 1 Según x: - N1x = m1 (a1x + a2)

Cuerpo 1 Según y: N1y – P1 = m1 a1y

 

Cuerpo 2 Según x: N1x = m2 a2

Cuerpo 2 Según y: N2 - N1y – P2 = 0

 

Donde

N1x = componente x de N1 = N1 sen φ

N1y = componente y de N1 = N1 cos φ

a1x = componente x de aceleración a1 = a1 cos φ  

a1y = componente y de aceleración a1 = a1 sen φ  

a2 = aceleración de la cuña

m1 = masa del bloque 

m2 = masa de la cuña 

 

Sumando las ecuaciones según x

m1 a1 cos φ + m1 a2 + m2 a2 = 0

 

Despejando a2

a2 = -  a1 cos φ  m1  / (m2 + m1)

 

Reemplazando en las ecuaciones del cuerpo 1

-  N1 sen φ = m1 a1 cos φ  - m1^2 a1 cos φ  / (m2 + m1)

 N1 cos  φ – m1 g  = m1 a1 sen φ  

 

Reordenando

N1 sen φ = - m1 a1 cos φ  +   m1^2 a1 cos φ  / (m2 + m1)

N1 cos  φ =  m1 g + m1 a1 sen φ  

 

Cociente de ambas ecuaciones

sen φ / cos  φ = (- m1 a1 cos φ +   m1^2 a1 cos φ  / (m2 + m1)) / (m1 g + m1 a1 sen φ)

 

Reordenando y despejando a1

a1 = m1 g tan φ / [m1^2 cos φ  / (m2 + m1) -  m1 sen φ tan φ  - m1  cos φ]

 

a1x = a1 cos φ   = m1 g tan φ  cos φ   / [m1^2 cos φ  / (m2 + m1) -  m1 sen φ tan φ  - m1  cos φ]

a1y = a1 sen φ   = m1 g tan φ  sen φ   / [m1^2 cos φ  / (m2 + m1) -  m1 sen φ tan φ  - m1  cos φ]

Reemplazando en a2

a2 = - m1 g tan φ cos φ / [(m1^2 cos φ  / (m2 + m1) -  m1 sen φ tan φ  - m1  cos φ)  (m2 + m1)]

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 2.3 – Dinámica

El sistema de la figura utiliza dos contrapesos de masa m para levantar un cuerpo de masa M, que se halla inicialmente en reposo sobre el piso. Considere que las sogas son inextensibles y sin masa, y poleas de masas despreciables.

 

 

  

a)     Escriba las ecuaciones de Newton y las condiciones de vínculo.

Cuerpo 1: P1x – T1 = m1 a1

Cuerpo 2: P2x - T2 = m2 a2

Polea: T1 + T2 – T3 = 0 (polea ideal)

Cuerpo 3: T3 – P3 = m3 a3

 

Donde

P1x = componente x del peso de la masa m = m g sen a

T1 = T2 = tensiones de los contrapesos = T12

m1 = m2 = masa de los contrapesos = m

a1 = a2 = aceleración de los contrapesos = a12

T3 = tensión del cuerpo

m3 = masa del cuerpo M

a3 = aceleración del cuerpo

 

Posición original

AD + DC + CE + EB = L (longitud de la cuerda)

 

Movimiento

A´D + DC´ + C´E + EB´ = L (longitud de la cuerda)

 

Restando ambas ecuaciones

A´D – AD + DC´ - DC + C´E – CE + EB´ - EB = 0

d – h – h + d = 0 à h = d

 

b)    Calcule la aceleración de cada masa en función de m, M, a y g.

 

Reemplazando las ecuaciones

m g sen a - T12 = m a12

m g sen a - T12 = m a12

T12 + T12 – T3 = 0

T3 – M g = M a3

 

Despejando las tensiones

T12 =  m g sen a - m a12

T3 = M g + M a3

 

Reemplazando en la ecuación de la polea

2 (m g sen a - m a12) – (M g + M a3)  = 0

 

Desplazamientos

d = 1 /2 a12 t^2

h = 1 /2 a3 t^2

 

Igualando

1 /2 a12 t^2  = 1 /2 a3 t^2 à a12 = a3 = a

 

Reemplazando en la ecuación de la polea

2 (m g sen a - m a) – (M g + M a)  = 0

 

Despejando a

a = (2 m g sen a - M g ) / (2 m + M)

 

 

c)     Si el sistema comienza a accionar cuando se quitan los soportes que sostienen los contrapesos, indicar cuál es el mínimo valor de m para levantar el cuerpo a una altura H en un tiempo T.

 

Reemplazando en h

H = 1 /2 (2 m g sen a - M g ) / (2 m + M) T^2

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 2.2 – Dinámica

Como se muestra en la figura, un cuerpo de masa m1 está ubicado sobre una mesa plana sin fricción. Considere que las sogas son inextensibles y de masas despreciables. El sistema está inicialmente en reposo y la polea A es móvil y de masa nula.

a)     Escriba las ecuaciones de Newton para ambas masas y la condición de vínculo que relaciona sus posiciones.

Cuerpo 1: T1 = m1 a1

Polea A: T2 + T2 – T1 = 0 (masa de polea nula)

Cuerpo 2: P2 – T2 = m2 a2

 

 

Posición original

AC + AB + BD = L (longitud de la soga)

 

Posición en movimiento

A´C + A´B + BD´ = L

 

Restando ambas ecuaciones

AC + AC´ + AB + AB´ + BD – BD´ = 0.d1 + d1 - d2 = 0

2 d1 = d2

 

 

b)    Cuando el sistema comienza a moverse, diga cuál es la relación que debe existir entre las distancias d1 y d2 recorridas por m1 y m2 (condición de vínculo).

 

2 d1 = d2

 

c)     Encuentre la aceleración de cada masa y las tensiones en los hilos en función de m1, m2 y g.

 

Cuerpo 1: T1 = m1 a1

Polea A: T2 + T2 – T1 = 0 (masa de polea nula)

Cuerpo 2: P2 – T2 = m2 a2

 

Despejando las tensiones

T1 = m1 a1

2 T2 = T1

T2 = P2 – m2 a2

 

Reemplazando 2 T2 = T1

2 (P2 – m2 a2) = m1 a1

 

Desplazamiento

d1 = 1 /2 a1 t^2

d2 = 1 / 2 a2 t^2

 

Cociente entre ambas ecuaciones de desplazamiento

d1 / d2 = a1 / a2

d1 / (2 d1) = a1 / a2 à a2 = 2 a1

 

Reemplazando en la relación de tensiones

2 m2 g – 2 m2 2 a1 = m1 a1

 

Despejando a1

a1 = 2 m2 g / (m1 + 4 m2)

 

Reemplazando en a2

a2 = 2 a1 = 4 m2 g / (m1 + 4 m2)

 

Reemplazando en las tensiones

T1 = m1 a1 = 2 m1 m2 g / (m1 + 4 m2)

T2 = m2 g – m2 a2 = m2 g (1 - 4 m2 / (m1 + 4 m2))