Física 1 (Exactas) Práctica 9.4 - Teoremas de conservación

Un cuerpo de masa m se halla sujeto a un resorte, de constante elástica k y longitud libre Lo, cuyo otro extremo está fijo a un eje. El sistema se encuentra sobre una superficie horizontal libre de rozamiento. En el instante inicial el resorte tiene una longitud 2 Lo y la masa m tiene una velocidad v₀ formando un ángulo α  con la dirección del resorte.

a)       Diga qué magnitudes se conservan, justificando su respuesta.

 

Fuerzas

Fe = fuerza elástica = - k ∆r (fuerza conservativa)

 

Magnitud que ser conseva

Energía mecánica: se conserva (no hay fuerzas no conservativas)

Momento angular (respecto al origen):  se conserva (Torque = r x Fe = 0)

(r y F son vectores colineales)

 

 

b)       Calcule la velocidad angular y la velocidad radial del cuerpo cuando la longitud del resorte es L = (3/2) Lo.

 

Velocidad angular

∆L = Lf – Li

 

Donde

∆L = variación del momento angular = 0 (se conserva)

Lf = momento angular final =  rf x pf = rf x m vf

Li = momento angular inicial == ri x pi = ri x m vi

 ri = distancia al origen = 2 Lo (ǐ)

pi = momento lineal inicial

m = masa

vi = velocidad inicial = vo cos α (ǐ) + vo sen α (ǰ)

rf = distancia al origen = 3/ 2  Lo 

pf = momento lineal final

m = masa

vf = velocidad final = rf ω

ω = velocidad angular

 

 

Reemplazando

Li = m 2 Lo (ǐ) (vo cos α (ǐ) + vo sen α (ǰ)) =  m 2 Lo vo  sen α (ǩ)

Lf(ǩ) = m (3 /2 Lo )^2  ω (ǩ)

 

Igualando

m 2 Lo vo sen α = m (3 /2 Lo )^2  ω

 

Despejado ω

 ω = 8 / 9 vo sen α / Lo

 

 

Velocidad radial

 

∆Em = Emf  -  Emi

 

Donde

∆Em = variación de la energía mecánica = 0 (se conserva)

Emf = energía mecánica final = 1/2 m vf^2 + 1/2 k ∆xf^2

 vf = velocidad final = vr (ǔr) + vθ (ǔθ)

vr = velocidad radial

vθ = velocidad tangencial = rf ω

rf = distancia al origen = 3/2  Lo

ω = 8 / 9 vo sen α / Lo

∆xf = variación de la longitud final = 3/2 Lo – Lo = 1/2 Lo

Emi = energía mecánica inicial = 1/2 m vi^2 + 1/2 k ∆xi^2

 vi = velocidad inicial = vo

k = constante del resorte

∆xi = variación de la longitud inicial = 2 Lo – Lo = Lo

 

Reemplazando

Emi = 1/2 m vo^2 + 1/2 k Lo^2

Emf = 1/2 m (vr^2 + (3/2 Lo 8/9 vo sen α / Lo)^2 ) + 1/2 k (1/2 Lo)^2

 

Igualando

1/2 m vo^2 + 1/2 k Lo^2 = 1/2 m (vr^2 + (4/3 vo sen α)^2)  + 1/2 k (1/2 Lo)^2

 

Reordenando

m vr^2 + m (4 / 3 vo sen α)^2  + (1 /4  – 1) k  Lo^2 –  m vo^2 = 0

 

Despejando vr

vr   = [vo^2 (1 – 16 / 9 (sen α)^2)  + 3 / 4 (k / m) Lo^2 ]^(1/2)

 

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 9.3 - Teoremas de conservación

Una masa m₁ se halla atada al extremo de una cuerda inextensible de longitud L y masa despreciable. Cuando la cuerda forma un ángulo α con la vertical se suelta la masa m₁ con velocidad nula. Al pasar por el punto más bajo de la trayectoria la masa m₁ choca elásticamente con una masa m₂ que cuelga de una cuerda igual a la anterior y que se halla inicialmente en reposo.

a)      Calcular la velocidad de ambas masas un instante después del choque.

 

 

Antes del choque

 

∆Em = Emf – Emi

 

Donde

∆Em = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)

Emf = energía mecánica final = Ecf + Epf

Ecf = energía cinética final = 1 /2 m1 v1^2

m1 = masa de la particula 1

v1 = velocidad de la particula 1 antes del choque

Epf = energía potencial final = 0

Emi = energía mecánica inicial = Eci + Epi

Eci = energía cinética inicial = 0 (velocidad nula)

Epi = energía potencial inicial = m1 g h

h = altura inicial de la masa = L – L cos α

L = longitud de la cuerda

 

Reemplazando

1 /2 m1 v1^2  = m1 g L (1 - cos α)

 

Despejando v1

v1 = ( 2 g L ( 1 - cos α))^(1/2)

 

 

Choque

 

Choque elastico

m1 va1 + m2 va2 = m1 vd1 + m2 vd2 (momento lineal)

1 /2 m1 va1^2 + 1 /2 m2 va2^2 = 1/ 2 m1 vd1^2 + 1/ 2 m2 vd2^2 (energía cinética)

 

Donde

m1 = masa de la paticula 1

va1 = velocidad antes del choque de la particula 1 = (2 g L (1 - cos α))^(1/2)  

m2 = masa de la particula 2

va2 = velocidad antes del choque de la particula 2 = 0 (en reposo)

vd1 = velocidad después del choque de la particula 1

vd2 = velocidad después del choque de la particula 2

 

Reemplazando

m1 v1 = m1 vd1 + m2 vd2

m1 v1^2 =  m1 vd1^2 +  m2 vd2^2

 

Reordenando las ecuaciones

m1 (v1 – vd1) = m2 vd2

m1 (v1^2 – vd1^2) = m2 vd2^2

 

Cociente ambas ecuaciones

(v1 + vd1) = vd2

 

Reemplazando en la ecuación de momento

m1 v1 = m1 vd1 + m2 (v1 + vd1)

 

Despejando vd1

vd1 = v1 ( m1 – m2) / ( m1 + m2) =

        = (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 – m2) / (m1 + m2)

 

 

Cociente ambas ecuaciones

(v1 + vd1) = vd2

 

Despejando vd1

vd1 = vd2 – v1

 

Reemplazando en la ecuación de momento

m1 (v1 – (vd2 – v1) = m2 vd2

 

Despejando vd2

vd2 = 2 m1 v1 / ( m1 + m2) =

        = 2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2)

 

 

b)     Calcular la altura máxima alcanzada por ambas masas después del choque.

 

Despues del choque

 

Particula 1

 

∆Em = Emf – Emi

 

Donde

∆Em = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)

Emf = energía mecánica final = Ecf + Epf

Ecf = energía cinética final = 1 /2 m1 vf1^2

vf1 = velocidad final de la particula 1 = 0

Epf = energía potencial final = m g hf1

hf1 = altura final de la particula 1 (altura máxima 1)

Emi = energía mecánica inicial = Eci + Epi

Eci = energía cinética inicial = 1 /2 m1 vi1^2

vi1 = velocidad después del choque de la particula 1 = vd1

Epi = energía potencial inicial = 0

 

Reemplazando

hf1 = [ 1 /2 m1  ((2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 – m2) / (m1 + m2))^2] / ( m1 g)

       =  L (1 - cos α)) ((m1 – m2) / (m1 + m2))^2

 

 

Particula 2

 

∆Em = Emf – Emi

 

Donde

∆Em = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)

Emf = energía mecánica final = Ecf + Epf

Ecf = energía cinética final = 1 /2 m2 vf2^2

vf2 = velocidad final de la particula 2 = 0

Epf = energía potencial final = m g hf2

hf2 = altura final de la particula 2 (altura máxima 2)

Emi = energía mecánica inicial = Eci + Epi

Eci = energía cinética inicial = 1 /2 m2 vi2^2

vi2 = velocidad después del choque de la particula 2 = vd2

Epi = energía potencial inicial = 0

 

Reemplazando

hf2 = [ 1 /2 m2  (2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2))^2] / ( m2 g)

       =  L (1 - cos α)  (2 m 1/ (m1 + m2))^2

 

 

c)      Discutir los resultados anteriores para los casos: m₁ >> m₂, m₁ = m₂ y m₁ << m₂.

 

Caso I. m1 >> m2

.m1 >> m2 à m2 / m1 ≈ 0

 

vd1 =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 – m2) / (m1 + m2)

        =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (1 -  m2 / m1) / (1 + m2 / m1) =

        ≈  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) = v1

 

vd2 = 2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2)

        = 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (1 + m2 / m1)

        ≈ 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) = 2 v1

 

hf1 = L (1 - cos α) ((m1 – m2) / (m1 + m2))^2

         = L (1 - cos α) ((1 – m2 / m1) / (1 + m2 / m1))^2

         ≈ L (1 - cos α) = h

 

hf2 = L (1 - cos α)  (2 m 1/ (m1 + m2))^2

       = L (1 - cos α)  (2/ (1 + m2 / m1))^2

       ≈ 4 L (1 - cos α) = 4 h

 

 

Caso II. m1 = m2

m1 = m2 à m2 / m1 = 1

 

vd1 =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 – m2) / (m1 + m2)

        =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (1 -  m2 / m1) / (1 + m2 / m1) =

        =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) * (0 / 2)   = 0

 

vd2 = 2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2)

        = 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (1 + m2 / m1)

        = 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (1 / 2) =  v1

 

hf1 = L (1 - cos α) ((m1 – m2) / (m1 + m2))^2

         = L (1 - cos α) ((1 – m2 / m1) / (1 + m2 / m1))^2

       = L (1 - cos α) * (0 /2 )^2 = 0

 

hf2 = L (1 - cos α)  (2 m 1/ (m1 + m2))^2

       = L (1 - cos α)  (2 / (1 + m2 / m1))^2

       = L (1 - cos α) *(2 / 2)^2 =  h

 

Transferencia completa entre las partículas 1 y 2

 

Caso III. m1 <<  m2

m1 <<  m2 à m1 / m2 ≈ 0

 

vd1 =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 – m2) / (m1 + m2)

        =  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) (m1 / m2  - 1) / ( m1 / m2  + 1) =

       ≈  (2 g L (1 - cos α))^(1/2) * (- 1 / 1 ) = -  v1

 

vd2 = 2 m1 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) / (m1 + m2)

        = 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2)  m1 / m2  / (m1/m2 + 1 )

        ≈ 2 (2 g L (1 - cos α))^(1/2) * (0 / 1) = 0

 

hf1 = L (1 - cos α) ((m1 – m2) / (m1 + m2))^2

         = L (1 - cos α) ((m1/m2  – 1) / (m1/m2 + 1 ))^2

       ≈ L (1 - cos α) (- 1)^2 = h

 

hf2 = L (1 - cos α)  (2 m 1/ (m1 + m2))^2

       = L (1 - cos α) (2 (m1 / m2) / (m1 / m2 + 1))^2

       ≈ 4 L (1 - cos α) * ( 2 * 0 /1)^2 = 0

 

La particula 2 se comporta como una pared. La particula 1 rebota sobre ella, cambiando el sentido de la velocidad

 

Física 1 (Exactas) Práctica 9.2 - Teoremas de conservación

El carrito B (m_B = 2 kg está en reposo sobre una superficie horizontal a 10 m de la pared rígida C. El carro A (m_A = 10 kg, v_A = 10 m/s) choca con B y luego B choca con C. Considerar todos los choques perfectamente elásticos. 

 

a)     ¿Dónde chocan A y B por segunda vez?

 

1er Choque A y B

 

 

 mA va1A + mB va1B = mA vd1A + mB vd1B (momento lineal)

1 /2 mA va1A^2 + 1 /2 mB va1B^2 = 1 /2 mA vd1A^2 + 1/ 2 mB vd1B^2 (Energía cinética)

 

Donde

mA = masa de A = 10 kg

va1A = velocidad antes del choque de A = 10 m/s

mB = masa de B = 2 kg

va1B = velocidad antes del choque de B = 0

vd1A = velocidad después del choque de A

vd1B = velocidad después del choque de B

 

Reemplazando en la ecuación de momento lineal

mA va1A = mA vd1A + mB vd1B

 

reordenando

mA (va1A – vd1A) = mB vd1B

 

reemplazando en la ecuación de energía cinética

.mA va1A^2 = mA vd1A^2 + mB vd1B^2

 

Reordenando

mA (va1A^2 – vd1A^2) = mB vd1B^2

 

Cociente entre las ecuaciones reordenadas

va1A + vd1A = vd1B

 

Reemplazando en la ecuación de movimiento lineal

mA va1A = mA vd1A + mB (va1A + vd1A)

 

despejando vd1A

vd1A = va1A (mA – mB) / (mA + mB) = 10 m/s (10 kg – 2 kg) / (10 kg + 2 kg) = 20/3 m/s

  

Cociente entre las ecuaciones reordenadas

va1A + vd1A = vd1B

 

Despejando vd1A

vd1A = vd1B – va1A

 

Reemplazando en la ecuación de movimiento lineal

mA va1A = mA (vd1B – va1A) + mB vd1B

 

despejando vd1B

vd1B  = 2 mA va1A / (mA + mB) = 2 * 10 kg 10 m/s / (10 kg + 2 kg) = 50/3 m/s

 

 

Choque B y pared

 

x1B = xoB + vd1B t1

 

Donde

x1B = distancia entre B y C (la pared) = 10 m

xoB = posición del primer choque = 0

vd1B = velocidad de carro = 50/3 m/s

 

Reemplazando y despejando t1

t1 = xB / vd1B = 10 m / 50/3 m/s = 0,6 seg

 

Choque elástico contra la pared à vdpB = - vd1B = - 50/3 m /s

 

 

2do Choque A y B

 

Carro A: xA = xoA + vd1A te

Carrito B: .x2B = x1B + (-vd1B) (te – t1)

 

Donde

xA = distancia recorrida del carro A

xoA = posición del primer choque = 0

vd1A = velocidad después del choque = 20/3 m/s

te = tiempo del encuentro

x2B = distancia recorrida por el carrito B

x1B = distancia entre B y C = 10 m

vd1B = velocidad después del choque = 50/3 m/s

t1 = tiempo hasta la pared = 0,6 seg

 

Igualando xA = x2B

vd1A te = x1B + (-vd1B) (te – t1)

 

despejando te

te = (x1B + vd1B t1) / (vd1A + vd1B) = (10 m + 50/3 m/s 0,6 seg) / (20/3 m/s + 50/3 m/s) = 6/7 seg

 

reemplazando en xA

xA = vd1A te = 20/3 m/s 6/7 seg = 40/7 m  

  

 

b)     ¿Cuál es la velocidad de B después de chocar la segunda vez con A?

 

2do choque A y B

 

 

mA va2A + mB va2B = mA vd2A + mB vd2B (momento lineal)

1 /2 mA va2A^2 + 1 /2 mB va2B^2 = 1 /2 mA vd2A^2 + 1/ 2 mB vd2B^2 (Energía cinética)

 

Donde

mA = masa de A = 10 kg

va2A = velocidad antes del choque de A = 20/3 m/s

mB = masa de B = 2 kg

va2B = velocidad antes del choque de B = vdpB = - 50/3 m/s

vd2A = velocidad después del choque de A

vd2B = velocidad después del choque de B

 

Reemplazando en la ecuación de momento lineal

mA va2A + mB va2B = mA vd2A + mB vd2B

 

reordenando

mA (va2A – vd2A) = mB (vd2B – v2B)

 

reemplazando en la ecuación de energía cinética

mA va2A^2 + mB va2B^2 = mA vd2A^2 + mB vd2B^2

 

Reordenando

mA (va2A^2 – vd2A^2) = mB (vd2B^2 – va2B^2)

 

Cociente entre las ecuaciones reordenadas

va2A + vd2A = vd2B + va2B

 

Despejando vd2B

vd2B = va2A + vd2A – va2B

 

Reemplazando en la ecuación de movimiento lineal

mA va2A – mA vd2A = mB (va2A + vd2A – va2B) – mB va2B

 

despejando vdA

vd2A = [va2A (mA – mB) + 2 mB va2B] / (mA + mB)

         = [20/3 m/s (10 kg – 2 kg) + 2 (- 50/3 m/s) 2 kg] / (10 kg + 2 kg) = - 10/9 m/s

 

Cociente entre las ecuaciones reordenadas

va2A + vd2A = vd2B + va2B

 

Despejando vd2A

vd2A = vd2B – va2B – va2A

 

Reemplazando en la ecuación de movimiento lineal

mA va2A – mA (vd2B – va2B + va2A) = mB vd2B – mB va2B

 

despejando vdB

vd2B  = [2 mA va2A + (mB – mA) va2B] / (mA + mB)

          = [ 2 * 10 kg 20/3 m/s + (2 kg – 10 kg) ( - 50/3 m/s)] / (10 kg + 2 kg) = 200/9 m/s

 

 

c)      ¿Se conserva el momento lineal? Discutir. 

 

1er Choque A y B à se conserva (no hay fuerzas externas)

Choque B y pared C à no se conserva (fuerza que ejerce la pared)

2do Choque A y B à se conserva (no hay fuerzas externas)

 

 

d)     ¿Cuál es la energía cinética transferida por A a B como resultado de cada uno de los choques? Discuta.

 

1er Choque A y B

∆Ec1 = EcdA – EcaA

 

Donde

∆Ec1 = variación de la energía cinética de A

EcdA = energía cinética de A después del choque = 1 /2 mA vd1A^2

mA = masa A = 10 kg

vd1A = velocidad de A después del coche = 20/3 m/s

EcaA = energía cinética de A antes del choque = 1 /2 mA va1A^2

va1A = velocidad de A antes del choque = 10 m/s

 

Reemplazando

∆Ec1 = 1/ 2 mA (vd1A^2 – va1A^2) = 1/ 2 * 10 kg ((20/3 m/s)^2 – (10 m/s)^2) = - 277,78 J

 

 

2do Choque A y B

∆Ec2 = EcdA – EcaA

 

Donde

∆Ec2 = variación de la energía cinética de A

EcdA = energía cinética de A después del choque = 1 /2 mA vd2A^2

vd2A = velocidad de A después del coche = - 10/9 m/s

EcaA = energía cinética de A antes del choque = 1 /2 mA va2A^2

va2A = velocidad de A antes del choque = 20/3 m/s

EcaA = energía cinética de A antes del choque = 1 /2 mA va2A^2

 

Reemplazando

∆Ec2 = 1/ 2 mA (vd2A^2 – va2A^2) = 1/ 2 * 10 kg ((- 10/9 m/s)^2 - (20/3 m/s)^2) = - 216,05 J

 

∆Ec = ∆Ec1 + ∆Ec2 = - 277,78 J – 216,05 J = - 493,83 J

 

Choques A y B son elásticos à energía se conserva à Energía cinética que pierde el carro A la gana el carro B