Física 1 (Exactas) Practica 6.9 - Momento lineal

Un bloque de masa m = 40 kg es lanzado con velocidad inicial v₀ = 100 m/s en una dirección que forma un ángulo de 30º con la horizontal. En el punto más alto de la trayectoria se divide en dos partes iguales. Una de ellas cae verticalmente, comenzando con una velocidad de 10 m/s hacia abajo. Calcule las distancias entre el punto de lanzamiento y cada uno de los puntos de impacto de los fragmentos con la superficie. Considere g = 10 m/s².

 

Posición mas alta

vx = vox

vy = 0

 

Donde

vx = componente x de la velocidad inicial v

vy = componente y de la velocidad inicial v

vox = componente x de la velocidad inicial vo = vo cos 30°

vo = velocidad inicial = 100 m/s

 

Reemplazando

vx = vo cos 30° = 100 m/s cos 30° = 86,6 m/s

vy = 0

 

Explosión

∆p = pf – pi (ecuación vectorial)

 

Donde

∆p = variación de la cantidad de movimiento = 0

pf = cantidad de movimiento final = m1 v1f + m2 v2f = 0

m1 = masa 1 = M / 2

M = masa inicial = 40 kg 

v1f = velocidad final del m1 (0; - 10 m/s)

m2 =masa 2 = M / 2

v2f = velocidad final de m2

pi = cantidad de movimiento inicial = M vi

vi = velocidad inicial = (vx; vy) = (86,6 m/s; 0)

 

Descomponiendo las componentes

Según x: m1 v1fx + m2 v2fx – M vix = 0

Según y: m1 v1fy + m2 v2fy – M viy = 0

 

Reemplazando

 M / 2 * 0 + M / 2 v2fx = M * 100 cos 30°

 M / 2 * (- 10 m/s) + M / 2 v2fy = M * 0

 

Despejando v2fx y v2fy

v2fx = 2 * 100 cos 30° = 173,20 m/s

v2fy = 10 m /s

 

 

Posición de la masa inicial (antes de la explosión)

 

Ecuaciones horarias

x = xo + vox t

y = yo + voy t – 1/ 2 g t^2

vx = vox

vy = voy – g t

 

Donde

x = posición en t

y = altura en t

xo = posición inicial = 0

yo = altura inicial = 0

vox = componente x de la velocidad inicial vo = vo cos 30°

voy = componente y de la velocidad inicial vo = vo sen 30°

vo = velocidad inicial = 100 m/s

vx = componente x de la velocidad inicial v

vy = componente y de la velocidad inicial v

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

 

La posición más alta vy = 0

vy = vo sen 30° – g t = 0

 

Despejando t

t = vo sen 30° / g = 100 m/s * 0,5 / 10 m/s² = 5 seg

 

 Reemplazando en la posición

x1 = vox t = vo cos 30° t = 100 m/s cos 30° 5 seg = 433 m

y1 = voy t – 1 /2 g t^2 = 100 m/s sen 30° 5 seg – 1 /2 10 m/s² (5 seg)^2 = 125 m

 

Posición del fragmento 1

 

Ecuaciones horarias

x1f = x1 + vo1x t

y1f = y1 + vo1y t – 1/ 2 g t^2

Donde

x1f = posición en t

y1f = altura en t

x1 = posición inicial = 433 m

y1 = altura inicial = 125 m

v1f = velocidad final del m1 (0; - 10 m/s)

 

Reemplazando

x1f = 433 m + 0 * t = 433 m

y1f = 125 m – 10 t – 1/ 2 * 10 m/s^{2 t}^2

 

Distancia entre el punto de disparo y el punto de caída del fragmento 1

D1 = x1f – xo = 433 m

 

 

Posición del fragmento 2

 

Ecuaciones horarias

x2f = x1 + vo2x t

y2f = y1 + vo2y t – 1/ 2 g t^2

 

Donde

x2f = posición en t

y2f = altura en t

x1 = posición inicial = 433 m

y1 = altura inicial = 125 m

v2f = velocidad final del m1 (173,20 m/s; 10 m /s)

 

Reemplazando

x2f = 433 m + 173,23 m/s  t

y2f = 125 m + 10 m/s t – 1/ 2 * 10 m/s² t^2 = 0

 

Despejando t de la ecuación y2f

t1 = 6,10 seg

t2 = - 4,10 seg (descartado)

 

Reemplazando en la ecuación de x2f

x2f = 433 m + 173,23 m/s * 6,10 seg = 1489 m

 

Distancia entre el punto de disparo y el punto de caída del fragmento 2

D2 = x2f – xo = 1489 m

 

Física 1 (Exactas) Practica 6.8 - Momento lineal

Un hombre que pesa 100 kg se encuentra en reposo sobre un lago helado (considere rozamiento nulo). Para salir arroja horizontalmente una piedra que pesa 1 kg con velocidad de 10 m/s en dirección contraria a la de costa más cercana, que está a 20 m de distancia. ¿Cuánto tarda el hombre en llegar a la costa?

 

∆p = pf – pi

 

Donde

∆p = variación de la cantidad de movimiento = 0

pf = cantidad de movimiento final = m1 v1f + m2 v2f = 0

m1 = masa del hombre = 100 kg

v1f = velocidad final del hombre

m2 =masa de la piedra = 1 kg

v2f = velocidad final de la piedra = 10 m/s

pi = cantidad de movimiento inicial = 0

 

Reemplazando y despejando v1f

v1f = - m2 vf2 / m1 = - 1 kg 10 m/s / 100 kg = - 0,10 m/s

 

∆x = v1f ∆t

 

Donde

∆x = distancia recorrida = - 20 m

∆t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando y despejando ∆t

∆t = ∆x / v1f = (- 20 m) / (- 0,10 m/s) = 200 seg

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 6.7 - Momento lineal

Dos bolas de masas m₁ y m₂ están unidas por una barra de masa despreciable y longitud L. Inicialmente el sistema se halla en equilibrio inestable, estando la barra en posición vertical y m₂ en contacto con una superficie horizontal, libre de rozamiento (ver Figura). Se aparta el sistema de la posición de equilibrio inclinando levemente la barra. El sistema evoluciona de modo que en el estado final las dos bolas están en contacto con la superficie.

 

 

a)     Hallar la posición del centro de masa en el estado inicial. 

 

rCM = (m1 r1 + m2 r2) / (m1 + m2) (ecuación vectorial)

 

Posición m1: r1 = (P; L)

Posición m2: r2 = (P; 0)

 

Reemplazando en la ecuación del centro de masa

xCM = (m1 P + m2 P) / (m1 + m2) = P

yCM = (m1 L + m2 0) / (m1 + m2) = m1 L / (m1 + m2)

 

Donde

xCM = coordenada x del centro de masa

yCM = coordenada y del centro de masa

 

 

b)       Hallar la componente horizontal de la velocidad del centro de masa. 

 

No existen fuerzas externas horizontales à vCMx = 0

 

 

c)        ¿A qué distancia de P quedará cada bola en el estado final?

 

xCM = P y vCMx = 0 à posición final xCM = P

 

Centro de masa (estado final)

xCM = (m1 x1 + m2 x2) / (m1 + m2) = P

 

Además x1 -  x2  = L à x2 = x1 - L

 

Reemplazando en xCM

xCM = (m1 x1 + m2 (x1 - L) / (m1 + m2) = P

 

Despejando x1

x1 = (P m1 + P m2 + m2 L) / (m1 + m2)

 

d1 = P – x1 = (P m1 + P m2 – P m1 – P m + m2 L) / (m1 + m2)

d1 = m2 L / (m1 + m2)

 

Con d1 = distancia entre P y la masa 1

 

Despejando x2

x2 = (P m1 + P m2 + m2 L) / (m1 + m2) – L

 

d2 = x2 - P = (m2 L – L (m1 + m2)) / (m1 + m2) =

d2 = m1 L / (m1 + m2)

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 6.6 - Momento lineal

Según puede verse en la figura un hombre de masa M y altura H está de pie en un extremo de un tablón homogéneo de longitud L y masa m apoyado sobre una superficie sin rozamiento. Inicialmente el hombre y el tablón están en reposo y luego el hombre camina hacia el otro extremo del tablón.

 

a)      Si el hombre se supone homogéneo, hallar la ubicación del centro de masa del sistema.

 

xCM = (M xH + m xT) / (M + m)

 

Donde

xCM = centro de masa del sistema

M = masa del hombre

xH = posición del hombre = 0

m = masa del tablón

xT = centro de masa del tablón = L / 2

L = longitud del tablón

 

Reemplazando

xCM = m L / (2 (M + m))

 

 

b)     Hallar la velocidad del centro de masa para todo instante.

 

No hay fuerzas externas y el isyema esta inicialmente en reposo à VCM = 0

 

VCM = velocidad del centro de masa

 

 

c)      ¿Qué distancia habrá recorrido el hombre respecto a la superficie cuando llega al otro extremo del tablón?

 

Si VCM = 0 à xCM no se desplaza à   ∆xCM = 0

 

∆xCM = M ∆xH + m ∆xT = 0

 

Donde

∆xCM = variación de la posición del centro de masa = 0

∆xH = variación de la posición del hombre

.∆Xt = variación de la posición del tablón = ∆xH – L

 

 

Reemplazando

∆xCM = M ∆xH + m (∆xH – L) = 0

 

Despejando ∆xH

∆xH = m L / (M + m)

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 6.5 - Momento lineal

Hallar la posición del centro de masa del sistema Tierra-Luna para un instante dado. La masa de la Tierra es unas 82 veces la de la Luna y la distancia entre los centros de la Tierra y de la Luna es de unos 60 radios terrestres. Expresar la respuesta en función de los radios terrestres. 

 

rCM = (MT rT + ML rL) / (MT + ML)

 

Donde

rCM = posición del centro de masa

MT = masa de la Tierra = 82 ML

rT = posición de la Tierra = 0

ML = masa de la Luna

rL = posición de la Luna = 60 RT

 

Reemplazando

rCM = (82 ML * 0 + ML 60 RT) / (82 ML+ ML) = 60 / 83 RT

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 6.4 - Momento lineal

En el espacio una explosión hace estallar una piedra de 30 kg en tres partes: una de 10 kg que sale con una velocidad de 6 m/s y otra de 8 kg que sale con una velocidad de 8 m/s y un ángulo de 70º con la dirección de la anterior. Desprecie la acción de la gravedad durante el proceso.

 

a)     Mostrar que el vector velocidad de la tercera parte está contenido en el plano definido por los otros dos.

 

∆p = pf – pi (ecuación vectorial)

 

Donde

∆p = variación de la cantidad de movimiento = 0

pf = cantidad de movimientos final = p1 + p2 + p3 (ecuación vectorial)

pi = cantidad de movimiento inicial = 0

 

Reemplazando y despejando p3

.p3 = - (p1 + p2)

 

El vector  p3 es una combinación lineal de los vectores p1 y p2 à p3 es coplanar a p1 y p2

 

 

 

b)     Averiguar la velocidad y la dirección con que se desprende dicho trozo.

 

∆p = pf – pi (ecuación vectorial)

 

Donde

∆p = variación de la cantidad de movimiento = 0

pf = cantidad de movimientos final = m1 v1 + m2 v2 + m3 v3

m1 = masa 1 = 10 kg

v1 = velocidad de la partícula 1 = 6 m/s (1 ; 0)

m2 = masa 2 = 8 kg

v2 = velocidad de la partícula 2 = 8 m/s (cos 70° ; sen 70°)

.m3 = masa 3 = M – m1 – m2

M = masa de la piedra = 30 kg

v3 = velocidad de la partícula 3 = |v3| (cos α ; sen α)

pi = cantidad de movimiento inicial = 0

 

Reemplazando

Según x: m1 v1 + m2 v2 cos 70° + m3 |v3| cos α = 0

Según y:  m2 v2 sen 70° + m3 |v3| sen α = 0

 

Despejando |v3| cos α y |v3| sen α

m3 |v3| sen α = -  m2 v2 sen 70°

m3 |v3| cos α = - (m1 v1 + m2 v2 cos 70°)

 

Cociente entre ambas ecuaciones

 tan α = (m2 v2 sen 70°) / (m1 v1 + m2 v2 cos 70°)

tan α = (8 kg 8 m/s sen 70°) / (10 kg 6 m/s + 8 kg 8 m/s cos 70°) = 0,73

 α = arco tan (0,73) = 36,3° en el primer cuadrante

sen α < 0 y cos α < 0 pertenece al tercer cuadrante  à α = 36,3° + 180° = 216,3°

 

Elevando al cuadrado y sumando ambas ecuaciones

m3^2 |v3|^2 = (-  m2 v2 sen 70°)^2 + (- (m1 v1 + m2 v2 cos 70°))^2

 

despejando |v3|

|v3| = [((m2 v2 sen 70°)^2 + (m1 v1 + m2 v2 cos 70°)^2) / (M – m1 – m2)^2]^(1/2)

  = [((8 kg 8 m/s sen 70°)^2 + (10 kg 6 m/s + 8 kg 8 m/s cos 70°)^2) / (30 kg – 8 kg – 10 kg)^2]^(1/2) =

|v3| = 8,5 m/s

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 6.3 - Momento lineal

El núcleo de uno de los isótopos de radio, Ra²²⁶, tiene una masa de unos 3,8 x 10⁻²² g. Este núcleo sufre una desintegración radioactiva, emitiendo una partícula alfa (núcleo de Helio de 6,7 x 10⁻²⁴ g). El núcleo residual es de radón, con una masa de 3,7 x 10⁻²² g. La velocidad de la partícula alfa es de 0,05 c (c = velocidad de la luz). ¿Cuál es la velocidad del núcleo residual? Desprecie la acción de la gravedad durante el proceso.

 

∆p = pf – pi (ecuación vectorial)

 

Donde

∆p = variación de la cantidad de movimiento = 0

pf = cantidad de movimientos final = m1 v1 + m2 v2

m1 = masa de la partícula alfa = 6,7 x 10^(-24) gr

v1 = velocidad de la partícula alfa = 0,05 c

c = velocidad de la luz = 3 x 10^8 m/seg

m2 = masa de radón = 3,7 x 10^(-22) gr

v2 = velocidad del radón

pi = cantidad de movimiento inicial = 0

 

Reemplazando

m1 v1 + m2 v2 = 0

 

Despejando v2

v2 = - m1 v1 / m2 =

     = - 6,7 x 10^(-24) gr 0,05 * 3 x 10^8 m/seg / 3,7 x 10^(-22) gr =

v2 = - 2,7 x 10^5 m/seg