Física 1 (Ing.) Práctica 1.20 - Cinemática y Dinámica

Una curva de autopista plana (sin peralte*) y de 300 m de radio, tiene un coeficiente de fricción estático entre los neumáticos y el asfalto seco de 0,75, si el asfalto se encuentra mojado baja a 0,50, y, en el hielo, el coeficiente es de solo 0,25. 

 

a.      Determinar la máxima velocidad con que un vehículo puede pasar la curva con seguridad (sin deslizar) en:

(i)              días secos,

(ii)            días lluviosos y

(iii)          días helados. 

 

Ecuaciones de Newton

Según r:  Froz = m ac

Según y:  N – P = 0

 

donde

Froz = fuerza de rozamiento estático máximo = μe N

μe = coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el asfalto

N = reacción de la ruta

P = peso = m g

m = masa

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R

v = velocidad

R = radio de la curva = 300 m

 

Reemplazando N en Froz

Froz = μe N = μe m g

 

Reemplazando en la ecuación según r

μe m g = m v^2 / R

despejando v

v = (μe g R)^1/2 

 

Reemplazando con cada μe

 

	μe	vmax (m/s)
días secos	0,75	47,43
días lluviosos	0,50	38,73
días helados	0,25	27,39

 

 

 

b.     Recalcular las velocidades halladas en a), si la autopista tiene un peralte* de 3°. Realizar un esquema del vehículo sobre la curva con peralte y hacer el DCL.

 

 

 

Ecuaciones de Newton

Según r: Nr + Froz r = m ac

Según y: Ny – P – Froz y = 0

 

donde

Froz = fuerza de rozamiento estático máximo = μe N

μe = coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el asfalto

Froz r = componente radial de la fuerza de rozamiento = Froz cos 3°

Froz y = componente vertical de la fuerza de rozamiento = Froz sen 3°

N = reacción del asfalto

Nx = componente radial de la reacción del asfalto = N sen 3°

Ny = componente vertical de la reacción del asfalto = N cos 3°

m = masa

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R

v = velocidad

R = radio de la curva = 300 m

P = peso = m g

 

Reemplazando en las ecuaciones

N sen 3° + μe N cos 3° = m v^2 / R

N cos 3° – m g - μe N sen 3° = 0

Despejando N en ambas ecuaciones

N (sen 3° + μe cos 3°) = m v^2 / R

N (cos 3° - μe sen 3°) = m g

Dividiendo ambas ecuaciones

(sen 3° + μe cos 3°) / (cos 3° - μe sen 3°) = v^2 / (R g)

 

despejando v

v = [R g (sen 3° + μe cos 3°) / (cos 3° - μe sen 3°)]^(1/2)

 

 Reemplazando cada μe

 

	. μe	vmax (m/s)
días secos	0,75	50,05
días lluviosos	0,50	41,25
días helados	0,25	30,32

 

 

 

c.      Para el ángulo de peralte del punto b), calcular la rapidez mínima a la que se debe desplazar el vehículo, para que no deslice hacia abajo.

 

 

Si se desliza hacia abajo à fuerza de rozamiento estática máxima hacia arriba del plano inclinado.

 

Ecuaciones de Newton

Según r: Nr - Froz r = m ac

Según y: Ny – P + Froz y = 0

 

donde

Froz = fuerza de rozamiento estático máximo = μe N

μe = coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y el asfalto

Froz r = componente radial de la fuerza de rozamiento = Froz cos 3°

Froz y = componente vertical de la fuerza de rozamiento = Froz sen 3°

N = reacción del asfalto

Nx = componente radial de la reacción del asfalto = N sen 3°

Ny = componente vertical de la reacción del asfalto = N cos 3°

m = masa

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R

v = velocidad

R = radio de la curva = 300 m

P = peso = m g

 

Reemplazando en las ecuaciones

N sen 3° - μe N cos 3° = m v^2 / R

N cos 3° + m g - μe N sen 3° = 0

Despejando N en ambas ecuaciones

N (sen 3° - μe cos 3°) = m v^2 / R

N (cos 3° + μe sen 3°) = m g

Dividiendo ambas ecuaciones

(sen 3° - μe cos 3°) / (cos 3° + μe sen 3°) = v^2 / (R g)

 

Dividiendo por cos 3°

(tan 3° - μe) / (1 + μe tan 3°) = v^2 / (R g)

 

despejando v

v^2 = [R g (tan 3° - μe) / (1 + μe tan 3°)]

 

 

Reemplazando cada μe

 

	. μe	Vmin m/s
días secos	0,75	0
días lluviosos	0,50	0
días helados	0,25	0

 

  

 

*Peralte: inclinación que tienen algunas curvas que permite a los vehículos realizar giros a mayor velocidad que si la curva fuese plana, sin correr el riesgo de derrapar.

 

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 1.19 - Cinemática y Dinámica

Una bola de 4 kg que está sujeta mediante dos cuerdas, gira con velocidad angular constante alrededor de un poste vertical. 

 

a.     Calcular la tensión que soporta la cuerda inferior, si la tensión de la cuerda superior es de 70 N.

 

Ecuaciones de Newton

Según r: TSr + TIr = m ac

Según y: TSy – TIy – P = 0

 

donde

TS = tensión de la soga superior = 70 N

TSr = componente radial de TS = TS cos α

cos α = ((1,25 m)^2 – (1 m)^2))^(1/2) / 1,25 m = 0,60

TSy = componente vertical de TS = TS sen α

 sen α = 1 m / 1,25 m = 0,80

TI = tensión de la soga inferior

TIr = componente radial de TI = TI cos α

TIy = componente vertical de TI = TI sen α

ac = aceleración centrípeta = ω² R

ω = velocidad angular

R = radio de giro = ((1,25 m)^2 – (1 m)^2)^(1/2) = 0,75 m 

P = peso = m g

m = masa de la bola = 4 kg

 

Reemplazando en la ecuación según y

TS 0,80 - TI 0,80 – m g = 0

 

Despejando TI

TI = (TS 0,80 - m g) / 0,80 = (70 N 0,80 – 4 kg 10 m/s²) / 0,80 = 20 N

 

  

b.     En las condiciones de (a.), calcular las revoluciones por minuto (RPM) con las que gira la bola alrededor del poste,

 

Reemplazando en la ecuación según r

TS 0,60 + TI 0,60 = m ω^2 R

 

Despejando ω

ω = [(TS 0,60 + TI 0,60) / (m R)^(1/2) = [(70 N + 20 N) * 0,60 / (4 kg 0,75 m)^(1/2) = 4,24 1 /seg

 

ω = 2 π f

con f = frecuencia 

despejando f

f = ω / 2 π = 4,24 1/s / 2 π = 0,68 / seg (60 seg / 1 min) = 40,51 rpm

 

 

 

c.      A partir de qué valor de RPM, la tensión de la cuerda inferior se hace cero (tener en cuenta que, en este caso, la tensión de la cuerda superior ya no es más 70 N). 

 

 

Ecuaciones de Newton

Según r: TSr = m ac

Según y: TSy – P = 0

 

donde

TS = tensión de la soga superior

TSr = componente radial de TS = TS cos α

cos α = ((1,25 m)^2 – (1 m)^2))^(1/2) / 1,25 m = 0,60

TSy = componente vertical de TS = TS sen α

sen α = 1 m / 1,25 m = 0,80

ac = aceleración centrípeta = ω² R

ω = velocidad angular

R = radio de giro = ((1,25 m)^2 – (1 m)^2)^(1/2) = 0,75 m 

P = peso = m g

m = masa de la bola = 4 kg

 

Reemplazando en la ecuación según y; despejando TS

TS = m g / 0,80

 

Reemplazando en la ecuación según r; despejando TS

TS = m ω^2 R / 0,60

 

Igualando

 m g / 0,80 = m ω^2 R / 0,60

 

Despejando 

 ω = (g / R  0,60 / 0,80 )^(1/2) = (10 m/s² / 0,75 m  0,60 / 0,80 )^(1/2) = 3,16 /seg

 

ω = 2 π f

con f = frecuencia

 

despejando f

f = ω / 2 π = 3,16 1/s / 2 π = 0,50 / seg (60 seg / 1 min) = 30,20 rpm

 

 

 

d.     Explicar, qué le sucede a la cuerda inferior, si el número de RPM es menor al calculado en (c.).   

 

f  < 30,20 rpm à la cuerda inferior se afloja por completo

 

La bola comienza a descender, disminuyendo el radio y cambiando el ángulo