Física 1 (Exactas) Practica 5.7 - Sistemas no inerciales

Una partícula de masa m se halla engarzada en un riel circular de radio R, que carece de rozamiento. En un dado instante la partícula se encuentra en reposo en el punto C, y se aplica sobre el riel una fuerza tal que a partir de ese instante el mismo se mueve con aceleración constante A . Utilice para resolver el problema un sistema no inercial fijo a la esfera.

 

 

 

a-     Haga un diagrama de las fuerzas que actúan sobre m, y determine cuáles son sus pares de interacción.

 

 

 

Fuerza de interacción

 

N = Normal = fuerza que ejerce el riel

El par de interacción está en el riel

 

P = peso = fuerza de atracción de la Tierra sobre el paquete = m g

El par de interacción está en el centro de la Tierra

 

Fuerza de inercia

 

Fi = Fuerza de inercia = m ( - A)

 

 

b.     Plantee las ecuaciones de Newton, y encuentre la ecuación de movimiento de la partícula.

 

Ecuaciones de Newton (sistema no inercial)

Según radial: N – Fir – Pr = m ac

Seguin tangencial: - Fit – Pt = m at

 

Donde

N = reacción del riel

Fir = componente radial de la fuerza de inercial Fi = Fi sen φ

Fit = componente tangencial de la fuerza de inercial Fi = Fi cos φ

Fi = Fuerza de inercia = m A

Pr = componente radial del peso = P cos φ

Pt = componente tangencial del peso = P sen φ

P = peso = m g

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R = ω^2 R

v = velocidad tangencial

ω = velocidad angular

R = radio del riel

at = aceleración tangencial = R γ

γ = aceleración angular = d²φ/dt²

  

Reemplazando

N – m A sen φ – m g cos φ = m ω^2 R

- m A cos φ -  m g sen φ = m R d²φ / dt²

 

Reordenando la ecuación tangencial

d²φ / dt²   + A / R cos φ + g / R sen φ = 0

 

 

c.     Exprese el valor de la normal ejercida por el riel sobre m como función del ángulo φ. 

 

d²φ / dt² = dω / dt = (dω / dφ) (dφ / dt) = (dω / dφ) ω

 

reemplazando

ω dω / dφ = -  A / R cos φ -  g / R sen φ

 

Integrando

ω^2 / 2 = - A / R sen φ + g / R cos φ + C

 

Para to = 0 à  φo = 0  y vo = 0 (ωo = 0)

Reemplazando

0  = g / R + C  à C = - g / R

 

Reemplazando en ω^2 R

ω^2 R = - 2 A sen φ + 2 g cos φ - 2 g

 

Reemplazando en N

N =   -  m A sen φ + 3 m g cos φ – 2 g m

 

 

d.      Encuentre la posición de equilibrio, y determine si el equilibrio es estable o inestable.

 

Posición de equilibrio

 

- m A cos φe -  m g sen φe = 0 (posición de equilibrio)

 

Despejando φe

tan φe = - A / g

 

Esta ecuación tiene dos soluciones

cos φ1 <  0 y sen φ1 > 0 à  φ1 pertenece  (π/2 ; π)

cos φ2 > 0 y sen φ2 < 0 à  φ2 pertenece (3π/2: 2π)

 

Pequeñas perturbaciones

 

FN(φ) = - m A cos φ -  m g sen φ

 

Con FN = fuerza neta

 

φ = φe + ε

 

Con ε es una pequeña perturbación respecto de φe

 

La serie de Taylor de FN en el entorno de φe

FN(φ) ≈ - m A cos φe -  m g sen φe + (m A sen φe -  m g cos φe) ε

 

La ecuación diferencial

d²ε/dt² + (A / R sen φe - g / R cos φe) ε = 0

 

con A cos φe = - g sen φe

cos φe = - g / A sen φe

 

Reemplazando en la ecuación diferencial

d²ε / dt² + (A / R + g^2 / (R A)) sen φe ε = 0

 

Si sen φe > 0 la solución de la ecuación diferencial es un oscilador.

Ante pequeñas perturbaciones (ε)  la partícula oscila en torno a la posición de equilibrio (φe) 

à Equilibrio estable

 

Si sen φe < 0 la solución de la ecuación diferencial es una función exponencial

Ante pequeñas perturbaciones (ε)  la partícula se aleja de la posición de equilibrio (φe) 

à Equilibrio inestable

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 5.6 - Sistemas no inerciales

Un tren sube una pendiente que forma un ángulo a con la horizontal. 

El movimiento es uniformemente acelerado con una aceleración a. En el interior de uno de los vagones se hacen los siguientes experimentos:

 

a-     Se determina la dirección de la vertical usando una plomada.

gef = g + a (ecuación vectorial)

 

Donde

gef = gravedad efectiva = composición de las aceleraciones g y a

a = aceleracion del tren

g = aceleracion de la gravedad

Según x: gefx = a cos α

Según y: gefy = a sen α + g

 

Cociente entre ambas ecuaciones

tan θ = gefx / gefy = a cos α / (a sen α + g)

 

Nota: θ = ángulo con la vertical

 

 

Describa cualitativamente los resultados en los casos:

 

i)                α = 0, a ≠ 0.  

 

 α = 0 à tren horizontal

 

Reemplazando en tan θ

tan θ = a / g

 

La plomada se inclina hacia atrás respecto de la vertical

 

 

ii)              α ≠ 0, a = 0.

 

a = 0 à La velocidad del tren es constante (o está detenido) 

Reemplazando tan θ

tan θ = 0

 

La plomada conserva la vertical sin depender del ángulo de la pendiente

 

 

iii)             α ≠ 0, a = - g sen α (¿qué significan estos datos?)

 

a = - g sen α =  - componente paralela a la pendiente de la gravedad à No hay fuerza neta paralela a la pendiente

 

Reemplazando tan θ

tan θ = - tan α

 

La plomada queda perpendicular al suelo del vagón

 

 

iv)             α ≠ 0, a ≠ 0.

 

tan θ = a cos α / (a sen α + g)

 

La plomada se inclina hacia la parte trasera del vagón.

Cuanto mayor sea a o α  à mayo será θ

 

 

b.     Se determina el período de un péndulo para oscilaciones pequeñas.

 

T = 2 π (L / gef)^(1/2)

 

Donde

T = periodo del péndulo

L = longitud de péndulo

gef = gravedad efectiva = composición de las aceleraciones g y a

 

gef = g + a (ecuación vectorial)

 

Según x: gefx = a cos α

Según y: gefy = a sen α + g

 

 | gef | = (gefx^2 + gefy^2)^(1/2) = ((a cos α)^2 + (a sen α + g)^2)^(1/2)

 

reemplazando

T = 2 π (L / ((a cos α)^2 + (a sen α + g)^2)^(1/2))^(1/2)

 

 

Describa cualitativamente los resultados en los casos:

 

i)                α = 0, a ≠ 0.

 

α = 0 à tren horizontal

 

Reemplazando en T

T = 2 π (L / (a^2 + g^2)^(1/2))^(1/2)

 

El periodo de oscilación del péndulo disminuye, respecto del tren detenido

 

 

ii)              α ≠ 0, a = 0.

 

a = 0 à La velocidad del tren es constante ( o está detenido) 

 

Reemplazando en T

T = 2 π (L / g)^(1/2)

 

El periodo de oscilación del péndulo se mantiene constante sin depender del ángulo de la pendiente

 

 

iii)             α ≠ 0, a = - g sen α (¿qué significan estos datos?)

 

a = - g sen α =  - componente paralela a la pendiente de la gravedad à No hay fuerza neta paralela a la pendiente

 

reemplazando en T

T = 2 π (L / (g cos α)^(1/2)

 

 El periodo de oscilación del péndulo aumenta, respecto del tren detenido

 

iv)             α ≠ 0, a ≠ 0.

 

T = 2 π (L / ((a cos α)^2 + (a sen α + g)^2)^(1/2))^(1/2)

 

El periodo de oscilación del péndulo disminuye, respecto del tren detenido

 

 

 

c.      Se determina la fuerza que registra un dinamómetro cuando se cuelga del mismo un objeto de masa m.

 

F = m gef

 

Donde

F = fuerza que mide el dinamómetro

m = masa del objeto

gef = gravedad efectiva = composición de las aceleraciones g y a

 

gef = g + a (ecuación vectorial)

 

Según x: gefx = a cos α

Según y: gefy = a sen α + g

 

 | gef | = (gefx^2 + gefy^2)^(1/2) = ((a cos α)^2 + (a sen α + g)^2)^(1/2)

 

reemplazando

F = m ((a cos α)^2 + (a sen α + g)^2)^(1/2)

 

Operando y reordenando en la raíz

F = m (a^2 + g^2 +2 a g sen α)^(1/2)

 

 

Describa cualitativamente los resultados en los casos:

 

i)                α = 0, a ≠ 0.

 

α = 0 à tren horizontal

Reemplazando en F

F = m (a^2 + g)^2)^(1/2)

 

La fuerza medida es mayor respecto del tren detenido

 

 

ii)              α ≠ 0, a = 0.

 

a = 0 à La velocidad del tren es constante ( o está detenido) 

Reemplazando en F

F = m g

 

La fuerza medida es igual sin depender del ángulo de la pendiente respecto del tren detenido

 

 

iii)             α ≠ 0, a = - g sen α (¿qué significan estos datos?)

 

a = - g sen α =  - componente paralela a la pendiente de la gravedad à No hay fuerza neta paralela a la pendiente

 

reemplazando en F

F = m g cos α

 

La fuerza medida es menor respecto del tren detenido

 

 

iv)             α ≠ 0, a ≠ 0.

 

Reemplazando en F

F = m (a^2 + g^2 +2 a g sen α)^(1/2)

 

La fuerza medida es mayor respecto del tren detenido