El carrito B (mB = 2 kg está en reposo sobre una superficie horizontal a 10 m de la pared rígida C. El carro A (mA = 10 kg, vA = 10 m/s) choca con B y luego B choca con C. Considerar todos los choques perfectamente elásticos.
a)
¿Dónde chocan A y B por segunda vez?
1er Choque A y B
1 /2 mA va1A^2
+ 1 /2 mB va1B^2 = 1 /2 mA vd1A^2 + 1/ 2 mB vd1B^2 (Energía cinética)
Donde
mA = masa
de A = 10 kg
va1A =
velocidad antes del choque de A = 10 m/s
mB = masa
de B = 2 kg
va1B =
velocidad antes del choque de B = 0
vd1A =
velocidad después del choque de A
vd1B =
velocidad después del choque de B
Reemplazando
en la ecuación de momento lineal
mA va1A =
mA vd1A + mB vd1B
reordenando
mA (va1A –
vd1A) = mB vd1B
reemplazando
en la ecuación de energía cinética
.mA va1A^2
= mA vd1A^2 + mB vd1B^2
Reordenando
mA (va1A^2
– vd1A^2) = mB vd1B^2
Cociente
entre las ecuaciones reordenadas
va1A + vd1A
= vd1B
Reemplazando
en la ecuación de movimiento lineal
mA va1A =
mA vd1A + mB (va1A + vd1A)
despejando
vd1A
vd1A = va1A (mA – mB) / (mA + mB) = 10 m/s (10 kg – 2 kg) /
(10 kg + 2 kg) = 20/3 m/s
Cociente
entre las ecuaciones reordenadas
va1A + vd1A
= vd1B
Despejando
vd1A
vd1A = vd1B
– va1A
Reemplazando
en la ecuación de movimiento lineal
mA va1A =
mA (vd1B – va1A) + mB vd1B
despejando
vd1B
vd1B = 2 mA va1A /
(mA + mB) = 2 * 10 kg 10 m/s / (10 kg + 2 kg) = 50/3 m/s
Choque B y pared
x1B = xoB
+ vd1B t1
Donde
x1B =
distancia entre B y C (la pared) = 10 m
xoB = posición
del primer choque = 0
vd1B =
velocidad de carro = 50/3 m/s
Reemplazando
y despejando t1
t1 = xB /
vd1B = 10 m / 50/3 m/s = 0,6 seg
Choque elástico
contra la pared à vdpB = - vd1B = - 50/3 m /s
2do Choque A y B
Carro A: xA
= xoA + vd1A te
Carrito B: .x2B
= x1B + (-vd1B) (te – t1)
Donde
xA =
distancia recorrida del carro A
xoA = posición
del primer choque = 0
vd1A =
velocidad después del choque = 20/3 m/s
te =
tiempo del encuentro
x2B =
distancia recorrida por el carrito B
x1B =
distancia entre B y C = 10 m
vd1B =
velocidad después del choque = 50/3 m/s
t1 =
tiempo hasta la pared = 0,6 seg
Igualando
xA = x2B
vd1A te =
x1B + (-vd1B) (te – t1)
despejando
te
te = (x1B +
vd1B t1) / (vd1A + vd1B) = (10 m + 50/3 m/s 0,6 seg) / (20/3 m/s + 50/3 m/s) =
6/7 seg
reemplazando
en xA
xA = vd1A te = 20/3 m/s 6/7 seg = 40/7 m
b) ¿Cuál
es la velocidad de B después de chocar la segunda vez con A?
2do choque A y B
mA va2A + mB va2B = mA vd2A + mB vd2B (momento lineal)
1 /2 mA va2A^2
+ 1 /2 mB va2B^2 = 1 /2 mA vd2A^2 + 1/ 2 mB vd2B^2 (Energía cinética)
Donde
mA = masa
de A = 10 kg
va2A =
velocidad antes del choque de A = 20/3 m/s
mB = masa
de B = 2 kg
va2B =
velocidad antes del choque de B = vdpB = - 50/3 m/s
vd2A = velocidad
después del choque de A
vd2B =
velocidad después del choque de B
Reemplazando
en la ecuación de momento lineal
mA va2A +
mB va2B = mA vd2A + mB vd2B
reordenando
mA (va2A –
vd2A) = mB (vd2B – v2B)
reemplazando
en la ecuación de energía cinética
mA va2A^2
+ mB va2B^2 = mA vd2A^2 + mB vd2B^2
Reordenando
mA (va2A^2
– vd2A^2) = mB (vd2B^2 – va2B^2)
Cociente
entre las ecuaciones reordenadas
va2A + vd2A
= vd2B + va2B
Despejando
vd2B
vd2B = va2A
+ vd2A – va2B
Reemplazando
en la ecuación de movimiento lineal
mA va2A –
mA vd2A = mB (va2A + vd2A – va2B) – mB va2B
despejando
vdA
vd2A = [va2A (mA – mB) + 2 mB va2B] / (mA + mB)
= [20/3 m/s (10
kg – 2 kg) + 2 (- 50/3 m/s) 2 kg] / (10 kg + 2 kg) = - 10/9 m/s
Cociente
entre las ecuaciones reordenadas
va2A + vd2A
= vd2B + va2B
Despejando
vd2A
vd2A = vd2B
– va2B – va2A
Reemplazando
en la ecuación de movimiento lineal
mA va2A –
mA (vd2B – va2B + va2A) = mB vd2B – mB va2B
despejando vdB
vd2B = [2 mA va2A +
(mB – mA) va2B] / (mA + mB)
= [ 2 * 10 kg 20/3
m/s + (2 kg – 10 kg) ( - 50/3 m/s)] / (10 kg + 2 kg) = 200/9 m/s
c) ¿Se
conserva el momento lineal? Discutir.
1er Choque A y B à se conserva (no hay fuerzas externas)
Choque B y pared C à no se conserva (fuerza que ejerce la pared)
2do Choque A y B à se conserva (no hay fuerzas externas)
d) ¿Cuál
es la energía cinética transferida por A a B como resultado de cada uno de los
choques? Discuta.
1er Choque A y B
∆Ec1 = EcdA – EcaA
Donde
∆Ec1 = variación de la energía
cinética de A
EcdA = energía cinética de A
después del choque = 1 /2 mA vd1A^2
mA = masa A = 10 kg
vd1A = velocidad de A después
del coche = 20/3 m/s
EcaA = energía cinética de A
antes del choque = 1 /2 mA va1A^2
va1A = velocidad de A antes
del choque = 10 m/s
Reemplazando
∆Ec1 = 1/ 2 mA (vd1A^2 – va1A^2) =
1/ 2 * 10 kg ((20/3 m/s)^2 – (10 m/s)^2) = -
277,78 J
2do Choque A y B
∆Ec2 = EcdA – EcaA
Donde
∆Ec2 = variación de la energía
cinética de A
EcdA = energía cinética de A
después del choque = 1 /2 mA vd2A^2
vd2A = velocidad de A después
del coche = - 10/9 m/s
EcaA = energía cinética de A
antes del choque = 1 /2 mA va2A^2
va2A = velocidad de A antes
del choque = 20/3 m/s
EcaA = energía cinética de A
antes del choque = 1 /2 mA va2A^2
Reemplazando
∆Ec2 = 1/ 2 mA (vd2A^2 – va2A^2) =
1/ 2 * 10 kg ((- 10/9 m/s)^2 - (20/3 m/s)^2) = - 216,05 J
∆Ec = ∆Ec1 + ∆Ec2 = - 277,78 J – 216,05 J = - 493,83 J
Choques A y B son elásticos à energía se conserva à Energía cinética que pierde el carro A la gana el
carro B
