Física 1 (Exactas) Práctica 12.7 - Dinámica del cuerpo rígido

Un anillo de masa M y radio R cuelga de un soporte, tal que el anillo puede oscilar en su propio plano como un péndulo físico. Encuentre el período T₁ de pequeñas oscilaciones. Suponga un anillo idéntico que puede girar en torno de un eje tangente al anillo y contenido en el plano del mismo. El anillo puede efectuar oscilaciones dentro y fuera del plano. Encuentre el periodo T₂ de pequeñas oscilaciones. ¿Qué oscilación tiene el período más largo? 

 

Caso (a) (" ...el anillo puede oscilar en su propio plano como un péndulo físico ...")

 

EIR = eje de rotación posición del soporte

  

τ  = - P d = I α

 

Donde

τ  = torque respecto del EIR

P = peso = m g

d = distancia de P al EIR = R sen θ (pequeñas oscilaciones sen θ ≈ θ) 

I = momento de inercia respecto EIR = ICM + IS

ICM = momento de inercia respecto del CM = M R^2

IS = desplazamiento del momento de inercia (Steiner) = M R^2

α = aceleración angular = d²θ/dt²

 

Reemplazando

- M g R θ = (M R^2 + M R^2) d²θ/dt²

 

Reordenando

d²θ/dt² + g / (2 R) θ = 0

 

La solución

θ = A cos (ω1 t + ϕ)

 

Donde

A = amplitud de las oscilaciones

ω1 = velocidad angular = [g / (2 R)]^(1/2) = 2π / T1

T1 = periodo

ϕ = fase inicial

 

Reemplazando

T1 = 2π [(2 R) / g]^(1/2)

 

 

Caso (b) (" ... un anillo idéntico que puede girar en torno de un eje tangente al anillo ...")

 

EIR = eje de rotación posición tangente al anillo

  

τ  = - P d = I α

 

Donde

τ  = torque respecto del EIR

P = peso = m g

d = distancia de P al EIR = R sen θ (pequeñas oscilaciones sen θ ≈ θ) 

I = momento de inercia respecto EIR = ID + IS

ID = momento de inercia respecto a un diámetro = 1 /2 M R^2 (Teorema de los ejes perpendiculares)

IS = desplazamiento del momento de inercia (Steiner) = M R^2

α = aceleración angular = d²θ/dt²

 

 

Reemplazando

- M g R θ = (1 /2 M R^2 + M R^2) d²θ/dt²

 

Reordenando

d²θ/dt² + 2/3 g / R θ = 0

 

La solución

θ = A cos (ω t + ϕ)

 

Donde

A = amplitud de las oscilaciones

ω2 = velocidad angular = [2/3 g / R]^(1/2) = 2π / T2

T2 = periodo

ϕ = fase inicial

 

Reemplazando

T2 = 2π [3/2 R / g]^(1/2)

 

Comparando los periodos

T1 = 2π [2 R / g]^(1/2)

T2 = 2π [3/2 R / g]^(1/2)

 

T1 > T2

 

 

Teorema de los ejes perpendiculares

Ix + Iy = ICM

 

Donde

Ix = Iy = ID = Momentos de inercia de diámetros perpendiculares en el plano

ICM = Momento respecto al eje perpendicular = M R^2

 

Reemplazando

2 ID = ICM à ID = (M R^2) / 2

 

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 12.6 - Dinámica del cuerpo rígido

Una varilla homogénea de masa M y longitud L es abandonada en reposo en la posición que se observa en la Figura Sus extremos deslizan sobre una superficie cilíndrica de radio R, sin rozamiento. La varilla se mueve en un plano vertical. 

 

 

a)      Hallar, utilizando argumentos cinemáticos, el eje instantáneo de rotación de la varilla cuando ésta adopta la posición horizontal. 

 

“ … Sus extremos deslizan sobre una superficie cilíndrica de radio R …”  à velocidades de los extremos son tangenciales a la superficie del cilindro

 

EIR se puede determinar como la intersección de las proyecciones de las rectas perpendiculares a las velocidades à  las rectas perpendiculares a las velocidades tangenciales son radiales à los radios se intersectan en el eje del cilindro.

 

 

b)     Calcule, por energía, la velocidad del centro de masa de la varilla cuando ésta adopta la posición horizontal.

 

Centro de Masa (CM)

  

Centro del cilindro = centro de coordenadas

 

Posición inicial (0)

Extremo derecho: (R; 0)

Extremo izquierdo: (0; - R)

 

CMo = [(R; 0) + (0;-R)]/2 = (R/2; - R/2)

 

Posición final (f) horizontal

Extremo derecho: (L/2; - h)

Extremo izquierdo: (- L/2; - h)

 

CMf = [(L/2; -h) + (- L/2; - h)]/2 = (0; - h)

 

Con

L^2  = R^2 + R^2  (ver figura) à L = 2^(1/2) R

.h = L / 2 = 2^(1/2) R / 2 = R / 2^(1/2)

 

Reemplazando

CMf = (0; - R / 2^(1/2))

 

 

Energía mecánica

 

ΔEm = Emf – Emo

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas NO conservativas)

Emf = energía mecánica final = Ecrf + Epf

Ecrf = energía cinética rotatoria final = 1 /2 I ω^2

Io = momento de inercia respecto de O = ICM + M h^2

ICM = momento de inercia respecto del CM = 1/ 12 M L^2

ω = velocidad angular de rotación = vCM / h

Epf = energía potencial final = M g (- R/2^(1/2))

Emo = energía mecánica inicial = Eco + Epo

Ecro = energía cinética rotatoria inicial = 0 (vo = 0)

Epo = energía potencial inicial = M g (- R/2)

 

Reemplazando

1 /2 (1/12 M (2^(1/2) R)^2 + M (R/2^(1/2))^2 (vCM / R/2^(1/2))^2 + M g (- R/2^(1/2)) = M g (- R /2)

 

Despejando vCM

vCM = [ 3 /2 g R (1/2^(1/2) - 1)]^(1/2)

 

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 12.5 - Dinámica del cuerpo rígido

Una barra homogénea delgada de masa M y longitud L puede girar libremente en torno de su eje fijo horizontal, tal como se indica en la Figura Se suelta la barra desde una posición que forma un ángulo α₀ con la vertical. Hallar,

 

a)      La velocidad angular de la barra cuando ésta pasa por la posición más baja.

 

τ = - P . dp = I γ

 

Donde

τ = Torque (respecto del eje fijo)

P = peso de la barra = M g

dp = distancia del CM a la vertical = L / 2 sen α

I = momento de inercia de la barra respecto del eje = Io + M (L/2)^2

Io = momento de inercia de la barra respecto del CM = 1/12 M L^2

γ = aceleración angular

 

Reemplazando

- M g L/2 sen α = (1/12 M L^2 + 1/ 4 M L^2) γ

 

Despejando γ

γ = - 3/2 g sen α  / L 

 

γ = dω/dt = dω/dα dα/dt = dω/dα ω

 

Reemplazando

ω dω/dα = - 3/2 g sen α / L 

 

Integrando

1 /2 ω^2 = - 3/2 g cos α / L + C

 

Condiciones iniciales ωo = 0 y α = αo

0 = - 3 g cos αo  / L + C à C = 3 g cos αo  / L

 

Reemplazando

ω^2 = 3 g / L (cos α - cos αo)

 

En α = 0° (posición más baja)

ω  = [3 g / L (1 - cos αo)]^(1/2)

 

 

 

b)     La fuerza que ejerce el eje fijo sobre la barra cuando ésta pasa por la posición vertical.

 

Ecuación de Newton

R – P = M ac

 

Donde

R = reacción del eje

P = peso = M g

ac = aceleración centrípeta = ω^2 L / 2

 

Reemplazando

R = M 3 g / L (1 - cos αo) (L / 2) + M g = M g (5/2 – 3/2 cos αo)

 

 

 

c)      Resuelva nuevamente utilizando conceptos de energía el punto a).

 

No hay fuerzas NO conservativas à ΔEm = 0

ΔEm = Emf – Emi

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica

Emf = energía mecánica final = Ecrf + Epf

Ecrf = energía cinética de rotación final = 1 /2 I ω^2

Epf = energía potencial final = 0

Emi = energía mecánica inicial = Ecri + Epi

Ecri = energía cinética de rotación inicial = 0 (ωo = 0)

Epi = energía potencial inicial = M g h

h = altura inicial = L / 2 – L / 2 cos αo

 

Igualando

1 /2 (1 /3 M L^2) ω^2 = M g L / 2 (1 – cos αo)

 

Despejando ω

ω = [3 g / L (cos α - cos αo)]^(1/2)

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 12.4 - Dinámica del cuerpo rígido

Un disco cilíndrico homogéneo de radio R y masa M₁ es arrastrado sobre una superficie horizontal sin fricción por una cuerda que está unida a un cuerpo de masa M₂, como se indica en la Figura Determine,

 

 

a)      La aceleración del centro del disco y la aceleración angular del disco. 

 

Ecuaciones de la dinámica

Cuerpo 1. Ecuación de Newton según x: T = M1 aCM

Cuerpo 1. Torque (respecto del CM): T R = I α

Cuerpo 2. Ecuación de Newton 2: P2 – T = M2 a2

 

Donde

T = tensión

M1 = masa del disco

aCM = aceleración del centro de masa del disco

R = radio del disco

I = momento de inercia del disco = 1 /2 M1 R^2

α = aceleración angular del disco

P2 = peso del cuerpo 2 = M2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

Reemplazando en las ecuaciones

T = M1 aCM

T R = 1/ 2 M1 R^2 α

M2 g – T = M2 a2

 

 

Condición de la cuerda

H = D1 + D2

 

Donde

H = desplazamiento de cuerpo

D1 = desplazamiento del disco

D2 = cuerda que se desenrolla del disco = θ R

 

Derivando dos veces

d² H/ dt² = d² D1/ dt² + R d² θ / dt²

 

Donde

d² H/ dt² = a2

d² D1/ dt²  = aCM

d² θ / dt² = α

 

a2 = aCM + R α

 

Reemplazando en las ecuaciones

T = M1 aCM

T R = 1/ 2 M1 R^2 α

M2 g – T = M2 a2

 

Despejando T de las ecuaciones del disco

T = M1 aCM

T = 1/ 2 M1 R α

 

Igualando

M1 aCM = 1/ 2 M1 R α

 

Despejando R α

R α = 2 aCM

 

Reemplazando en la ecuación de las aceleraciones

a2 = aCM + 2 aCM = 3 aCM

 

Reemplazando en la ecuación del cuerpo

M2 g – M1 aCM = M2 3 aCM

 

Despejando aCM

aCM = M2 g / (M1 + 3 M2)

 

Reemplazando y despejando α  de la ecuación en R α

α = 2 aCM / R = 2 M2 g / (M1 + 3 M2) / R

 

 

 

b)     La aceleración del cuerpo de masa M₂. 

 

a2 = aCM + 2 aCM = 3 aCM

 

Reemplazando

a2 = 3 M2 g / (M1 + 3 M2)

 

c)                La tensión en la cuerda.

 

T = M1 aCM

 

Reemplazando

T = M1 M2 g / (M1 + 3 M2)

 

d)                La velocidad del centro de masa del disco cuando se ha desplazado una distancia igual a su diámetro, medida desde la posición en la que estaba en reposo.

 

xCM = xo + vo t + 1/ 2 aCM t^2

vCM = vo + aCM t

 

Donde

xCM = desplazamiento del centro de masa del disco = diámetro = 2 R

xo = desplazamiento inicial del centro de masa del disco = 0

vo = velocidad inicial del centro de masa del disco = 0

aCM = aceleración del centro de masa del disco = M2 g / (M1 + 3 M2)

vCM = velocidad del centro de masa del disco

t = tiempo transcurrido para que el disco se desplace un diámetro

 

Reemplazando y despejando t de la ecuación de la velocidad

t = vCM / aCM

 

Reemplazando en la ecuación del desplazamiento

xCM = 1 /2 aCM (vCM / aCM)^2 = 1 /2 vCM^2 / aCM

 

Despejando vCM

vCM = [2 xCM aCM]^(1/2) = [2 * 2 R M2 g / (M1 + 3 M2)]^(1/2)

 

 

 

e)                La velocidad de la masa colgante en ese instante.

 

v2 = vo2 + a2 t

 

Donde

v2 = velocidad del cuerpo

vo = velocidad inicial del cuerpo = 0

a2 = aceleración del cuerpo = 3 aCM

t = tiempo transcurrido = vCM/aCM (tiempo transcurrido para que el disco se desplace un diámetro)

 

Reemplazando

v2 = 3 aCM t = 3 v = 3 [4 R M2 g / (M1 + 3 M2)]^(1/2)