Física 1 (Exactas) Practica 2.7 – Dinámica

 Se tiene una partícula de masa m unida al extremo de una barra rígida, sin masa, de longitud L. La barra es libre de girar (en el plano vertical) alrededor de su otro extremo, fijo en un punto P.

 

 

Si se conoce la velocidad vo de la partícula cuando pasa por el punto más bajo de su trayectoria, determine:

 

a)     El ángulo θv para el cual la velocidad se anula.

 

 

Ecuaciones de Newton

Según r:  Pt   = m at

Según y: T - Pr = m ac

 

donde

T = fuerza sobre la barra

Pr = componente radial del peso = P cos θ

Pt = componente tangencial del peso = P sen θ

θ = ángulo con la vertical

P = peso = m g

m = masa

g = aceleración de la gravedad

at = aceleración tangencial

ac = aceleracción centrípeta = v^2 / L

L = longitud de la barra

 

Reemplazando en la ecuación tangencial

m g sen θ = m at

at = dv/dt = dv/dq dq/dt = dv/dq ω = dv/dq v / L

 

Reemplazando y reordenando

L g sen q dq =  v  dv

 

Integrando

g L cos q  =  1 /2  v^2 + C

 

Despejando v^2

v^2 =  2 g L cos q - 2 C

 

Condiciones iniciales ( q = 0; v = vo)

vo^2 =  2 g L cos 0 - 2 C =  2 g L – 2 C

 

Despejando C

C = - 1 /2 vo^2 + g L

 

Reemplazando en v^2

v^2 = - 2 g L cos q - 2 (- 1 /2 vo^2 + g L)

v^2 = -  2 g L cos q + vo^2 - 2 g L = 0

 

Despejando q

cos q = (1 /2 vo^2 -  g L) / g L

 qv = arco cos (1 /2 vo^2 -  g L) / g L)

 

 

b)    El ángulo θf para el cual la fuerza que hace la barra sobre m se anula. Notar que θf podría no existir.

 

Reemplazando en la ecuación radial

T – m g cos θ = m [- 2 g L cos q + vo^2 – 2 g L)] / L

 

Despejando q ( con T = 0)

- g L cos q = - 2 g L cos q + vo^2 – 2 g L

cos q =  (vo^2 - 2 g L) / (g L)

qf = arco  cos ((vo^2 - 2 g L) / (g L))

 

Para que exista qf à vo^2 / g L - 2  < 1 à  vo^2 / g L  <  3   

 

c)     ¿Bajo qué condiciones se puede reemplazar la barra por una cuerda inextensible sin modificar la cinemática de la partícula? Justifique.

 

La cuerda inextensible solo genera fuerzas de Tensión

La barra puede generar fuerzas de Tensión y Reacción, dependiendo del ángulo

 

 à  Si  | qv | < 90 ° solo hay tensión

  

d)     Analice el problema numéricamente para varias condiciones iniciales. ¿Qué tipo de movimiento observa? Generar un gráfico que muestre la dependencia del período de movimiento con su amplitud.

 

El movimiento es oscilatorio armonico 

 

Física 1 (Exactas) Practica 2.6 – Dinámica

 Una masa se desliza sobre una semiesfera de radio R sin fricción.

 

a)     Calcular el ángulo q para el cual se separa de la superficie esférica si inicialmente la masa m es apartada, en un ángulo muy pequeño, de q = 0 y su velocidad inicial es cero.

 

 

 

Según r: N – Pr = -  m ac

Según q: - Pq = - m at

 

Donde

N = reacción de la superficie de la esfera

Pr =  componente según r de P = P cos q

Pq =  componente según q de P (tangencial) = P sen q

P = peso de la masa = m g

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R

at = aceleración tangencial = R α

α = aceleración angular

v = velocidad de la masa

R = radio de la esfera

 

Reemplazando

.N -  m g cos q = - m  v^2 / R

 

Reemplazando en la ecuación según q

m g sen q =  m at

 

at = dv/dt = dv/dq dq/dt = dv/dq ω = dv/dq v / R

 

Reemplazando y reordenando

R g sen q =  v  dv/dq

 

Integrando

 - g R cos q  =  1 /2  v^2 + C

 

Condiciones iniciales ( q = 0; v = 0)

 - g R cos 0  =  C à C = - g R

 

Reemplazando y despejando v^2

v^2 = 2 g R ( 1 – cos q)

 

Reemplazando en la ecuación radial y despejando N

N = 3  m g cos q  -  2 m g

 

La masa se despega cuando N = 0

3  m g cos q  -  2 m g = 0

 

Despejando cos q

cos q = 2 / 3 à  q = arco cos (2 / 3) = 48,2° 

 

b)    Si la masa m se engarza en un riel semicircular sin fricción de radio R, hallar la velocidad con que llega al suelo. ¿Qué aceleración tangencial tiene m en ese instante?

Según r: N = -  m ac

Según q: - P = - m at

 

Reemplazando

m g = m at

 

Despajando at

at = g

 

Reemplazando q = π/2  en la ecuación de v

v^2 = 2 g R (1 – cos π/2)

 

Despejando v

v = raíz cuadrada (2 g R)

 

c)     Si la bolita está engarzada en el riel, estime numéricamente el tiempo que tarda en llegar al suelo si R = 1 cm, 10 cm, 50 cm, 100 cm. Confeccione un gráfico del tiempo de llegada en función de g/R (si lo necesita, calcule el tiempo para otros valores de R).

 

v = Raíz (2 g R ( 1 – cos q))

v = ω R = dq/dt  R  = Raíz cuadrada (2 g R ( 1 – cos q)) 

dq/dt = Raíz (2 g / R) Raíz ( 1 – cos q)

 

Reordenando

dq / Raíz ( 1 – cos q) = Raíz  (2 g / R)  dt

 

Integrando

raíz(2) [1/ 2 ln |(sec (q/2) + 1| - 1/ 2 ln |(sec (q/2) -1| ] = raíz ( 2 g / R) t

 

Reordenando y despejando t

t = raíz (R / 2 g) [1/ 2 ln | (sec (π/4) + 1| - 1/ 2 ln | (sec (π/4) -1|] = raíz (R/ 2 g) * 0,88

 

R	t
1 cm	0,02 seg
10 cm	0,06 seg
50 cm	0,14 seg
100 cm	0,20 seg

 

 

 

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 2.5 – Dinámica

Una varilla de longitud d y masa m se deja caer sobre un plano inclinado sin rozamiento como se ve en la figura. Un segundo después se dispara un proyectil de masa M sobre el plano con una velocidad inicial vo formando un ángulo de 45º con respecto a la base del plano.

Datos adicionales: H, L y a.

 

 

a)     Escriba las ecuaciones de Newton para el proyectil y la varilla utilizando un sistema de referencia fijo a la superficie del plano.

 

Sistema de referencia fijo a la superficie de plano, con el origen en la esquina desde donde se dispara el proyectil

 

 

 

Varilla según z: Nv – Pvz = 0

Varilla según y: – Pvy = m avy

Proyectil según z: Np – Ppz = 0

Proyectil según y: – Ppy = M apy

 

Donde

Nv = reacción del plano de la varilla

Pvz = componente según z (perpendicular al plano) del peso de la varilla = Pv cos α

Pvy = componente según y (paralela al plano) del peso de la varilla = Pv sen α

Pv = peso de la varilla = m g

avy = aceleración según y de la varilla

Np = reacción del plano del proyectil

Ppz = componente según z (perpendicular al plano) del peso del proyectil = Pp cos α

Ppy = componente según y (paralela al plano) del peso del proyectil = Pp sen α

Pp = peso del proyectil = M g

apy = aceleración según y del proyectil

 

 

b)    Calcule las aceleraciones de ambos cuerpos. ¿Para qué valores de vo el proyectil alcanza la varilla?

 

Reemplazando en la ecuación de la varilla según y, despejando avy

avy = - g sen α 

 

Reemplazando en la ecuación de la varilla según y, despejando avy

apy = - g sen α 

 

 

Ecuaciones horarias

Varilla

xv = L

yv = h -  1/ 2 g sen α t^2

 

Donde

L = posición de la varilla

h = altura de la varilla

Con H – d (extremo inferior) < h < H (extremo superior)

 

Proyectil

xp = vo cos 45° (t – to)

yp = vo sen 45° (t – to) – 1/ 2 g sen α (t – to)^2

 

Donde

to = tiempo de retraso entre la caída de la varilla y el disparo del proyectil = 1 seg

 

Encuentro  xv = xp; yv = yp

 

Igualando las ecuaciones

L = vo cos 45° (t – to)

h -  1/ 2 g sen α t^2 = vo sen 45° (t – to) – 1/ 2 g sen α (t – to)^2

 

Despejando (t – to) de la ecuación según x

t = (to + L / (vo cos 45°))

 

Reemplazando en la ecuación según y

h -  1/ 2 g sen α (to + L / (vo cos 45°))^2 = L tan 45°   – 1/ 2 g sen α (L / (vo cos 45°))^2

 

Despejando vo

vo  = g sen α to L / ((h -  1/ 2 g sen α to^2 -  L tan 45°) cos 45°)

 

g sen α to L / ((H -  1/ 2 g sen α to^2 -  L tan 45°) cos 45°  < vo < g sen α to L / ((H – d -  1/ 2 g sen α to^2 -  L tan 45°) cos 45°)