Física 1 (Exactas) Práctica 10.3 - Gravitación

Considere dos partículas de masas M₁ y M₂, fijas y separadas entre sí por una distancia D. Una tercera partícula de masa m es libre de moverse por un tubo carente de rozamiento, que se halla sobre la mediatriz del segmento determinado por ambas masas. 

 

a)      Calcule la energía potencial gravitatoria en función de la coordenada z que determina la posición. Grafique cualitativamente el potencial. 

 

V(z) = - G M1 m / [(D/2)^2 + z^2]^(1/2) -  G M1 m / [(D/2)^2 + z^2]^(1/2)

 

Donde

V(z) = energía potencial gravitatoria

G = constante de gravitación universal

M1, M2 = masas fijas equidistantes

D = distancia entre las masas

z = posición de la masa m

 

Reordenando

V(z) = - G (M1 + M2) m / [(D/2)^(2) + z^2]^(1/2)

 

Gráfico Google IA

 

b)     Determine la posición de equilibrio indicando si m corresponde a un equilibrio estable o inestable. 

 

Posicion de equilibrio

Punto critico à d V(z) / dz = 0

 

d V(z) / dz  =  1 /2  G (M1 + M2) m  2 z / ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)  = 0 à z = 0

 

Estabilidad

 

d² V(z) / dz² =  G (M1 + M2) m / ((D/2)^2 + z^2)^(3/2) – 3 G (M1 + M2) m  z^2  / ((D/2)^2 + z^2)^(5/2) 

 

En z = 0

d² V(z) / dz² =  8 G (M1 + M2) m / D^3  > 0 à mínimo  à estable 

 

 

 

c)      Encuentre la frecuencia angular de oscilación para pequeños apartamientos de la masa m de su posición de equilibrio.

 

Con  z << D

 

La ecuación diferencial

d² V(ε) / dz² =  8 G (M1 + M2) m  / D^3

 

Esta ecuación diferencial tiene una solución oscilatoria con

ω^2  =  8 G (M1 + M2) m  / D^3 / m =  8 G (M1 + M2) / D^3

 

ω = [8 G (M1 + M2) / D^3]^(1/2)

 

 

 

d)     Calcule la fuerza que ejerce el tubo sobre la masa en función de la posición. 

 

F tubo + F = 0

 

Donde

F tubo = fuerza que ejerce el tubo sobre la masa

F = fuerza gravitatoria generada por las M1 y M2 = F1 + F2

F1 = fuerza gravitatoria generada por M1 = - G M1 m / r^2 (D/2 / r)

F2 = fuerza gravitatoria generada por M2 = G M2 m / r^2 (D/2 / r)   

r = distancia entre m y las masas = [(D/2)^2 + z^2]^(1/2)

 

Reemplazando

Ftubo =  G M1 m  D / [ 2 ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)] - G M2 m  D / [ 2 ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)]

Ftubo  = G (M1 – M2) m D / [ 2 ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)]

 

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 10.2 - Gravitación

Aplique el problema anterior considerando que M₁ = M_T (masa de la Tierra), M₁ = M_L (masa de la Luna), D es la distancia Tierra-Luna, y la partícula de masa m es un cohete que se dispara desde la superficie de la Tierra hacia la Luna con una velocidad v₀. Tenga en cuenta que en este problema M₁ y M₂ no son partículas puntuales, sino que tienen radios R_T (radio de la Tierra) y R_L (radio de la Luna), respectivamente.

 

a)      Calcule y grafique el potencial gravitatorio del cohete en función de su distancia a la Tierra, medida desde la superficie terrestre.

 

 V(x) = VT(x) + VL(x)

 

Donde

V(x) = potencial gravitatorio total

VT(x) = potencial gravitatorio de la Tierra = G MT m / (RT + x)

G = constante de gravitación universal

MT = masa de la Tierra

m = masa del cohete

RT = radio de la Tierra

x = distancia del cohete con respecto a la superficie de la Tierra

VL(x) = potencial gravitatorio de la Luna = G ML m / (D – (RT + x))

ML = masa de la Luna

D = distancia Tierra Luna

RL = radio de la Luna

 

Reemplazando

V(x) = - G MT m / (RT + x) -  G ML m / (D – (RT + x)

 

 

Gráfico: Google IA

 

b)     ¿En qué punto de su trayectoria hacia la Luna el cohete tiene aceleración nula?

 

FT + FL = 0

 

Donde

FT = fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra = - G MT m / ro^2

ro = distancia del cohete desde el centro de la Tierra

FL = fuerza gravitatoria de atracción de la Luna = G ML m / (D – ro)^2

xo = distancia del cohete desde la superficie de la Tierra = ro - RT

 

Reemplazando

 - G MT m / ro^2 + G ML m / (D – ro)^2 = 0

 

Despejando ro

ro = MT^(1/2) D / (ML^(1/2) + MT^(1/2))

 

Despejando xo

xo = MT^(1/2) D / (ML^(1/2) + MT^(1/2)) – RT

 

 

c)      Calcule la velocidad inicial mínima del cohete necesaria para llegar a este punto y caer en la Luna por la acción de la atracción gravitatoria lunar.

 

Para superar el punto de equilibrio el cohete debe llegar con velocidad nula.

 

Emo = Emf

 

Donde

Emo = energía mecánica inicial (en la superficie de la Tierra) = Eco + V(RT) 

Eco = energía cinética inicial = 1 /2 m vo^2

vo = velocidad inicial

V(RT) = energía gravitatoria inicial =   - G MT m / RT -  G ML m / (D – RT)

Emf = energía mecánica final (en el punto de aceleración nula) = Ecf + V(ro)

Ecf = energía cinética final mínima = 0

V(ro) = energía gravitatoria final =   - G MT m / ro -  G ML m / (D – ro)

ro = distancia del cohete desde el centro de la Tierra = MT^(1/2) D / (ML^(1/2) + MT^(1/2))

 

Reemplazando

1 /2 m vo^2 – V(RT) = V(xo)

 

Despejando vo

vo = [ 2 V(xo) – V(RT)]^(1/2)

 

Reemplazando

vo = [ 2 G [ MT / RT – ML / (D – RT) – ((MT^(1/2) + ML^(1/2))^2 / D ] ^(1/2)

 

 

Datos

G = Constante de Gravitación Universal	6,67 x 10^-11 N m2/ kg2
MT = Masa de la Tierra	5,97 x 10^24 kg
RT = Radio de la Tierra (promedio)	6,37 x 10^6 m
D = Distancia Tierra – Luna (promedio)	3,57 x 10^8 m
ML = Masa de La Luna	7,35 × 10^22 kg
RL = Radio de la Luna (promedio)	3,47 x 10^6 m

 

vo ≈ 1.11 x 10^4 m/s

 

 

Física 1 Practica 10 Indice

 Física 1 - Exactas

Práctica 10 -  Gravitación

1. https://noemifisica.blogspot.com/2026/06/fisica-1-exactas-practica-101.html

2. https://noemifisica.blogspot.com/2026/07/fisica-1-exactas-practica-102.html

3. https://noemifisica.blogspot.com/2026/07/fisica-1-exactas-practica-103.html

4. 

5. 

Indice

https://noemifisica.blogspot.com/2026/03/fisica-1-exactas-indice.html

Física 1 (Exactas) Práctica 10.1 - Gravitación

Considere dos partículas de masas M₁ y M₂ fijas y separadas por una distancia D. Una tercera partícula de masa m se mueve bajo la atracción gravitatoria de las otras dos. Suponga que m se mueve sobre la recta que une a M₁ y M₂, considerando que puede hallarse entre ambas o bien a la izquierda o a la derecha de ellas. 

a)      Escriba la fuerza neta sobre m, en función de la posición. 

 

F = G M m / r^2

 

Donde

F = fuerza gravitatoria entre M y m

G = constante universal de gravitación

M, m = masas

r = distancia entre M y m

 

Posición de las masas

M1: (0; 0)

M2: (D; 0)

 

 

i.                 m entre M1 y M2

 

F = F1 + F2

 

Donde

F = fuerza neta sobre m

F1 = fuerza gravitatoria ejercida sobre m por M1 = - G M1 m / x^2 (ǐ)

M1, M2 = masas fijas

x = distancia entre M1 y m

F2 = fuerza gravitatoria ejercida sobre m por M2 = G M2 m / (D – x)^2 (ǐ)

D  = distancia entre M1 y M2

 

Reemplazando

F = - G M1 m / x^2 (ǐ) + G M2 m / (D – x)^2 (ǐ)

 

 

       ii.  m a la izquierda de M1

 

 

F = F1 + F2

 

Donde

F = fuerza neta sobre m

F1 = fuerza gravitatoria ejercida sobre m por M1 = G M1 m / x^2 (ǐ)

F2 = fuerza gravitatoria ejercida sobre m por M2 = G M2 m / (D - x)^2 (ǐ)

 

Reemplazando

F = G M1 m / x^2 (ǐ) + G M2 m / (D - x)^2 (ǐ)

 

 

       iii.  m a la derecha de M2

 

F = F1 + F2

 

Donde

F = fuerza neta sobre m

F1 = fuerza gravitatoria ejercida sobre m por M1 = - G M1 m / x^2 (ǐ)

F2 = fuerza gravitatoria ejercida sobre m por M2 = - G M2 m / (x - D)^2 (ǐ)

 

Reemplazando

F = - G M1 m / x^2 (ǐ) - G M2 m / (x – D)^2 (ǐ)

 

 

b)     Calcule y grafique el potencial.

 

V(r) = - G M m / r

 

Donde

V(r) = potencial gravitatorio

r = distancia

 

 

i.                 Potencial entre M1 y M2 (0 < x < D)

 

V(x) = V1(x) + V2(x)

 

Donde

V(x) = potencial gravitatorio neto

V1(x) = potencial gravitatorio generado por M1 = -  G M1 m / | x |

V2(x) = potencial gravitatorio generado por M2 = -  G M2 m / | D – x |

 

Reemplazando

V(x) = - G M1 m / | x | – G M2 m / | D – x |

 

ii.               Potencial a la izquierda de M1 (x < 0)

 

V(x) = V1(x) + V2(x)

 

Donde

V(x) = potencial gravitatorio neto

V1(x) = potencial gravitatorio generado por M1 = G M1 m / | x |

V2(x) = potencial gravitatorio generado por M2 = -  G M2 m / | D – x |

 

Reemplazando

V(x) = G M1 m / | x | – G M2 m / | D – x |

 

 

iii.             Potencial a la derecha de M2 (D < x)

 

V(x) = V1(x) + V2(x)

 

Donde

V(x) = potencial gravitatorio neto

V1(x) = potencial gravitatorio generado por M1 = - G M1 m / | x |

V2(x) = potencial gravitatorio generado por M2 = G M2 m / | x – D |

 

Reemplazando

V(x) = - G M1 m / | x | + G M2 m / | x – D |  

 

 

 Gráfico: Google AI

c)      Describa cualitativamente el movimiento de m, para distintos valores de su energía mecánica.

 

Em = Ec + V(x)

 

Donde

Em = energía mecánica

Ec = energía cinética

V(x) = energía potencial

 

Em se conserva y Ec > 0 à  la partícula solo puede moverse en las regiones Em ≥ V(x) 

 

Potencial máximo à F1 = F2

 

Reemplazando

G M1 m / x^2 = G M2 m / (D – x)^2

 

Despejando x

.xmax = M1^(1/2) / (M1^(1/2) + M2^(1/2)) D

 

Reemplazando en V(x)

Vmax = - G m / D [M1^(1/2) + M2^(1/2)]^2

 

 

Caso 1. Em ≥ 0   y 0 < x < D

La partícula tiene suficiente energía para superar la barrera Vmax y se moverá libremente hasta chocar con alguna de las masas (M1 ó M2)

 

Caso 2. Em ≥ 0   y    x < 0  ó  D < x

El movimiento no está acotado hacia el infinito.

 

Caso 3.  Vmax < Em < 0 y 0 < x < D

La partícula tiene suficiente energía para superar la barrera Vmax y se moverá libremente hasta chocar con alguna de las masas (M1 ó M2)

 

Caso 4.  Vmax < Em < 0 y x < 0 ó D < x

La partícula tiene un punto de retorno donde su velocidad se hace cero, por lo que no puede escapar al infinito. Será atraída de vuelta y colisionará con la masa exterior.

 

Caso 5.  Em < Vmax   y   0 < x < D

La partícula queda atrapada en uno de los dos pozos (a la derecha e izquierda de xmax)