Física 1 (Exactas) Practica 1.2.12 Cinemática – Coordenadas polares

 Una catapulta está ubicada a una distancia D de un castillo (ver Figura). La catapulta se utiliza para lanzar proyectiles y consiste en un dispositivo mediante el cual cada proyectil parte desde la posición (1) con velocidad nula, luego se mueve sobre la trayectoria circular de radio R con una aceleración angular dada por d²j/dt² = - [(n+1)K / pⁿ⁺¹ ] jⁿ (donde K es constante y n = 4), y finalmente es liberado en la posición (3).

 

a)     Exprese la velocidad tangencial v del proyectil (cuando está en la catapulta) en función de K, R y j. Calcule v para la posición (2).

 

v = ω R

 

Donde

v = velocidad tangencial

ω = velocidad angular

R = radio

 

Reemplazando en d²j/dt²  con n = 4

d²j/dt² = - [5 K / p⁵ ] j^4

 

con  ω = dj / dt

d (dj / dt) / dt = dω / dt  = dω / dj  dj / dt = dω / dj ω

ω  dω / dj = [5 K / p⁵ ]  j^4

Reordenando 

ω  dω = [5 K / p⁵ ]  j^4    dj

 

integrando

ω^2 / 2 = [5 K / p⁵ ]  j^5 / 5

 

reordenando

 ω^2 = 2 K / p⁵  j^5

 

ω = (2 K / p⁵ )^(1/2)  j^(5/2) + ω1

 

En 1 j1 = p  à  ω(p) = 0 (velocidad nula en 1)

  ω = (2 K / p⁵ )^(1/2)  j^(5/2) + ω1 = 0

 

Despejando ω1

ω1  = - (2 K / p⁵ )^(1/2)  p^(5/2) = - (2 K)^(1/2) 

 

reemplazando

. ω = (2 K / p⁵ )^(1/2)  j^(5/2) - (2 K)^(1/2) 

 

Reemplazando en v

v(j) = (2 K)^(1/2) R (1 -  (j / p)^(5/2))

 

En 2 à  j2 = p / 2

v(j2) = (2 K)^(1/2) R (1 -  (p / 2p)^(5/2))

 

v(p/2) = (2 K)^(1/2) R (1 -  (1 / 2)^(5/2))

 

 

b)    Calcule la distancia D a la que hay que ubicar la catapulta para que los proyectiles lanzados por ella peguen en el punto P del castillo (en función de K, R y g).

 

En 3  à j3 = 0

v(0) = (2 K)^(1/2) R

 

r(t) = (x(t);y(t))

 

Donde 

r(t) = vector posición en t

x(t) = posición en t

y(t) = altura en t

 

Ecuaciones horarias

x(t) = xo + vx t

y(t) = yo + vy t – 1/ 2 g t^2

 

donde

x(t) = posición en t = D

xo = posición inicial = 0

vx = velocidad según x = (2 K)^(1/2) R

y(t) = altura en t = 0

yo = altura inicial = 2 R

vy = velocidad según y = 0

g = aceleración de la gravedad

 

Reemplazando en la ecuación según y

y(t) = 2 R – 1/ 2 g t^2 = 0

 

Despejando t

t = (4 R / g)^(1/2)

 

Reemplazando en la ecuación según x

D = (2 K)^(1/2) R (4 R / g)^(1/2) = (8 K R^3 / g)^(1/2)  

 

Física 1 (Exactas) Practica 1.2.11 Cinemática – Coordenadas polares

Un faro que gira con velocidad angular constante w, proyecta su luz sobre una pantalla ubicada a una distancia d = OP, como lo muestra la Figura,

 

 

a)     Halle la velocidad lineal del punto luminoso sobre la pantalla en función de datos y de x.

  

tan φ = x / OP

 

Donde

φ = ángulo barrido = ω t

ω = velocidad angular

t = tiempo transcurrido

x = posición del punto de luz

OP = distancia a la pantalla = d

 

Reemplazando

tan φ = x / d

 

Despejando x

x = d tan (ω t)

 

Derivando

v = dx / d t = d ω / (cos (ω t))^2

 

.cos φ = d / (d^2 + x^2)^(1/2) (ver figura)

 

Reemplazando

v = d ω (d^2 + x^2) / d^2 = ω (d^2 + x^2) / d

 

 

b)    Calcule la velocidad angular del punto luminoso para un observador situado a una distancia D = AP de la pantalla en función de los datos y de x (sugerencia: haga este cálculo usando trigonometría).

 

 

 

tan θ = x / AP

 

Donde

θ = ángulo barrido

ωθ = velocidad angular

x = posición del punto de luz = d tan (ω  t)

r = tiempo transcurrido

x = posición del punto de luz

AP = distancia a la pantalla = D

 

Reemplazando

tan θ = d x / D

 

Despejando θ

θ = arc tan (d x / D)

 

derivando

ωθ = dθ / dt = d [arc tan (d x / D)] / dt = 

                     = 1 / (1 + (d x / D)^2) d / D dx/dt =

                     = 1 / (1 + (d x / D)^2) / D ω (d^2 + x^2)

                     = ω (d^2 + x^2) / (D (1 + (d x / D)^2))

 

 

c)     ¿Cómo debería ser la velocidad angular del faro para que el punto luminoso se mueva con velocidad constante?

 

v =  ω (d^2 + x^2) / d

Si v = cte; d = cte  y  x = variable (recorre la pantalla) à ω = variable

 

derivando

dv/dt = dω /dt  (d^2 + x^2) / d + ω/ d 2 x dx/dt = 0 (v = cte)

 

Simplificando

dω /dt  (d^2 + x^2)  + ω 2 x v  = 0

dω /dt  =  - ω 2 x v  / (d^2 + x^2)  ≠ 0 à ω = variable

 

Física 1 (Exactas) Practica 1.2.10 Cinemática – Coordenadas polares

Un auto azul parte del reposo desde el punto O en el instante t = 0, y describe una trayectoria circular de radio R = 90 m con una aceleración angular Γa = k t (k = π/6 s^-3). Pasado 3 s desde la partida del auto azul, parte desde O (desde el reposo) un auto rojo que se mueve en línea recta hacia el punto P con una aceleración constante ar = -ao,

 

a)     ¿Cuánto tiempo tarda el auto azul en llegar al punto P?

Auto azul

Γa = d ωa / dt = k t

 

Donde

Γa = aceleración angular del auto azul

 ωa = velocidad angular

k = contante = -  π/6 s^-3  (sentido horario)

θa = ángulo barrido

t = tiempo transcurrido

 

Integrando

ωa = k t^2 /2 + ωo

  

Reemplazando  ωo = 0 (parte del reposo)

ωa = d θa / dt = k t^2 /2

 

Integrando

θa = k t^3 / 6 + θo

  

Reemplazando  θo =   π (parte de O)

θa = π + k t^3 / 6 = π -  π/6 s^-3 t^3 / 6

 

Para  θa = 0  (Final en P)

 

Despejando t

t = raíz cubica (36 s³) = 3,30 s

 

 

b)    ¿Cuál debe ser el valor de ao para que el auto rojo pueda alcanzar al auto azul en el punto P?

 

Auto rojo

xr = xor + vo (t – to) + 1/ 2 a (t – to)^2

 

Donde

xr = posición en t =  R

R = radio = 90 m

xor = posición inicial = - R

vo = velocidad inicial = 0 (parte del reposo)

a = aceleración = ao

to = tiempo de partida del auto rojo = 3 s

t = tiempo del auto azul = 3,3 s

 

reemplazando

R = - R + 1/ 2 a (t - to)^2

 

Despejando a

a = 2 (R – (- R)) / (t - to)^2 = 4 * 90 m / (3,3 s – 3 s)^2 = 3449 m/s²

 

 

Física 1 (Exactas) Practica 1.2.9 Cinemática – Coordenadas polares

Cierto mecanismo de relojería consiste de dos agujas A y B que se mueven ambas en sentido horario. La aguja A se mueve con velocidad angular constante ωo partiendo de ϕA (t = 0) = 0, la aguja B se mueve con una aceleración angular constante Γ partiendo con velocidad angular ωB (t = 0) = 2ωo desde ϕB (t = 0) = 0.

 

a)     Calcule en qué instantes ambas agujas coinciden.

 

Aguja A

ϕA(t) = ϕAo + ωA t

 

donde

ϕA(t) = ángulo barrido en el instante t

ϕAo = ángulo inicial (t = 0) = 0 = 2 π

ωA = velocidad angular constante = - ωo  ( sentido horario à ωA < 0  )

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

 ϕA(t) = 2 π - ωo t

 

 

Aguja B

ϕB(t) = ϕBo + ωBo t + 1 /2 γ t^2

 

donde

ϕB(t) = ángulo barrido en el instante t

ϕBo = ángulo inicial (t = 0) = 0 = 2 π

ωBo = velocidad angular = - 2 ωo ( sentido horario à ωBo < 0)

γ = aceleración angular = - Γ ( sentido horario, aceleración à γ < 0)

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

ϕB(t) = 2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2

 

 

agujas coinciden ϕA(t) - ϕB(t) = 0

2 π - ωo t – (2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2) = 0

 

reordenando

ωo t + 1 /2 Γ t^2 = 0

 

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = 0 (cuando se inicia)

t2 = - 2 ωo / Γ (descartada < 0)

 

No hay cruce en la primera vuelta

 

Segunda vuelta

ωo t + 1 /2 Γ t^2 = 2 π

 

Reordenando

1 /2 Γ t^2 + ωo t  - 2 π = 0

 

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = (-  ωo – raíz cuadrada (ωo^2 + Γ π)) / Γ (descartada < 0)

t2 = (-  ωo + raíz cuadrada (ωo^2 + Γ π)) / Γ

 

 Nota:

 raíz cuadrada (ωo^2 + Γ π) > raíz cuadrada (ωo^2) =  ωo  à  t2 > 0

 

b)    Calcule en qué instantes ambas agujas coinciden en el caso en que la aguja A se mueva en sentido antihorario.

 

Aguja A

ϕA(t) = ϕAo + ωA t

 

donde

ϕA(t) = ángulo barrido en el instante t

ϕAo = ángulo inicial (t = 0) = 0

ωA = velocidad angular constante = ωo  ( sentido antihorario à ωA >  0  )

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

ϕA(t) = ωo t

 

Aguja B

ϕB(t) = 2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2

 

agujas coinciden ϕA(t) - ϕB(t) = 0

ωo t – (2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2) = 0

 

Reordenando

1 /2 Γ t^2 + 3 ωo t - 2 π = 0

 

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = (-  3 ωo – raíz cuadrada (9 ωo^2 + Γ π)) / Γ (descartada < 0)

t2 = (-  3 ωo + raíz cuadrada (9 ωo^2 + Γ π)) / Γ

 

Nota:

 raíz cuadrada (9 ωo^2 + Γ π) > raíz cuadrada (9 ωo^2) = 3 ωo  à t2 > 0