Física 1 (Exactas) Práctica 10.5 - Gravitación

Una nave espacial de masa m es lanzada desde la superficie terrestre con una velocidad que forma un ángulo con dicha superficie (ver Figura). Suponga que la Tierra, de masa M_T y radio R_T, permanece en reposo, y que toda su masa se halla concentrada en su centro. 

  

a)      Diga, justificando su respuesta, si se conserva o no los momentos lineal y angular, respectivamente, y la energía mecánica.

 

Momento lineal (p)

Fuerza gravitatoria es una fuerza externa a la nave à Momento lineal NO se conserva

 

Momento angular (L)

Fuerza gravitatoria es una fuerza central (es colineal con el radio) à Torque = 0 à Momento lineal se conserva

 

Energía mecánica (Em)

La única fuerza actuante es la fuerza gravitatoria es conservativa à Energía mecánica se conserva

 

 

 

b)     Halle la expresión de la energía mecánica total en función de la distancia r al centro de la Tierra y de los datos del problema. Escriba el potencial efectivo que gobierna el movimiento radial de la nave y grafíquelo en función de r.

 

Energía mecánica

 Em = Ec + Ep

 

Donde

Em = energía mecánica

Ec = energía cinética = 1 /2 m v^2

m = masa del cohete

v = velocidad = vr ǔr + vθ ǔθ

vr = velocidad radial

ǔr = versor radial

vθ = velocidad tangencial    

ǔθ = versor tangencial

Ep = energía potencial = - G MT m / r

G = constante de gravitación universal

MT = masa de la Tierra

r = distancia al centro de la Tierra

 

Reemplazando

Em = 1 /2 m vr^2 + 1 /2 m vθ^2 – G MT m / r

 

 

Momento angular

L = r x p

 

Donde

L = momento angular

r = distancia al centro = r ǔr

p = momento lineal = m (vr ǔr + vθ ǔθ)

 

Reemplazando

L = r ǔr m (vr ǔr + vθ ǔθ) = m r vθ ǔz

 

En t = 0 à r = RT y  vθ = vo cos α

L(t=0) = m RT vo cos α

 

El momento angular se conserva

m r vθ = m RT vo cos α à vθ = RT vo cos α / r

 

Reemplazando en E

Em = 1 /2 m vr^2 + 1 /2 m (RT vo cos α / r)^2 – G MT m / r

 

Reordenando

Em = 1 /2 m vr^2 + (1 /2 m (RT vo cos α / r)^2 – G MT m / r)

 

 

Potencial efectivo (Vef)

Definiendo Vef (agrupa todo lo que depende de la distancia r)

Vef = (1 /2 m (RT vo cos α / r)^2 – G MT m / r)

 

Em = 1 /2 m vr^2 + Vef(r )

 

 Gráfico Google AI

c)      Diga para qué valores de la energía mecánica total el movimiento de la nave es ligado. Calcule la velocidad de escape, es decir el mínimo valor de v₀ necesario para que la nave pueda escapar de la atracción gravitatoria terrestre.

 

Movimiento ligado à partícula NO tiene la energía suficiente para escapar de la Tierra à Em < 0

Movimiento NO ligado à partícula tiene la energía suficiente logra escapar de la Tierra à Em ≥ 0

 

Em = 0 à ve = velocidad mínima (velocidad de escape)

 

En la superficie (r = RT)

EmRT = EcRT + EpRT

 

Donde

EmRT = energía mecánica en la superficie

EcRT = energía cinética = 1 /2 m ve^2

ve = velocidad de escape

EpRT = energía potencial = – G MT m / RT

   

Reemplazando

EmRT = 1 /2 m ve^2 – G MT m / RT = 0

 

Despejando ve

ve = [2 G MT / RT]^(1/2)

 

Física 1 (Exactas) Práctica 10.4 - Gravitación

Una partícula de masa m es dejada en el punto A de un túnel sin fricción imprimiéndole una velocidad v₀ (ver Figura). La partícula se halla bajo la acción de la atracción gravitatoria de la Tierra. 

 

a)      Grafique la energía potencial de la partícula en función de la coordenada y. Diga cuál es la máxima velocidad v₀ que puede tener la partícula en A para que su movimiento sea ligado.

 

V(y) = - G MT m / [RT^2 + y^2]^(1/2)

 

Donde

V(y) = energía potencial

G = constante de gravitación universal

MT = masa de la Tierra

m = masa de la partícula

RT = radio terrestre

y = posición de la partícula en el tubo

 

 

Gráfico Google AI

Movimiento ligado à partícula no tiene la energía suficiente para escapar hacia el infinito.

  

En el infinito  (y à ∞)

Em∞ = Ec∞ + V∞

 

Donde

Em∞  = energía mecánica y à ∞

Ec∞ = energía cinética y à ∞ = 1 /2 m v∞^2

v∞ = velocidad en el infinito = 0

V∞ = energía potencial en el infinito = lim      - G MT m / [RT^2 + y^2]^(1/2) = 0

                                                              y à ∞

 

Reemplazando

Em∞ à 0

 

En el punto A ( y = 0)

EmA = EcA + VA

 

Donde

EmA = energía mecánica en A

EcA = energía cinética en A = 1 /2 m vo^2

vo = velocidad en A

VA = energía potencial en A = - G MT m / RT

 

Reemplazando

EmA = 1 /2 m vo^2 – G MT m / RT

 

Movimiento ligado  à EmA < Em∞

 

Reemplazando

1 /2 m vo^2 – G MT m / RT < 0

 

Despejando vo

vo <  [2 G MT / RT]^(1/2)

 

vo max = [2 G MT / RT]^(1/2)

 

 

 

b)     Encuentre la ecuación de movimiento para la partícula. Diga bajo qué condiciones el movimiento será armónico simple y escriba la ecuación de movimiento en ese caso. 

 

Ecuación de movimiento

Fy = m ay

 

Donde

F = fuerza de atracción gravitatoria = - G MT m / [RT^2 + y^2]

Fy = componente según y de F gravitatoria = F ǔy

ǔy = versor según y = y / [RT^2 + y^2]^(1/2)

ay = aceleración según y = d²y / dt²

 

Reemplazando

 - G MT m y / [RT^2 + y^2]^(3/2) = m d²y / dt²

 

Reordenando

d²y / dt² + G MT y / [RT^2 + y^2]^(3/2) = 0

 

 

Movimiento Armónica Simple (MAS)

 

MAS = pequeñas oscilaciones à y << RT

 à RT^2 + y^2 << RT^2

 à G MT / RT^2 = g

 

Reemplazando de la ecuación de movimiento

d²y / dt² + g / RT y = 0

 

Ecuación de movimiento equivale a la ecuación de un péndulo (pequeñas oscilaciones) o resorte

  

 

c)      Para el caso armónico simple, halle la frecuencia de oscilación y determine la posición de la partícula en función del tiempo.

 

Solución de la ecuación de movimiento

y = A cos (ω t) + B sen (ω t)

v = dy / dt = - A ω sen (ω t) + B ω cos (ω t)

 

Donde

y = solución de la ecuación diferencial = posición

v = velocidad = dv / dt

ω = velocidad angular = (g / RT)^(1/2)

 

En  t = 0  à y(0) = 0  y  v(0) = vo

y(0) = A cos (ω 0) + B sen (ω 0) = A à A = 0

v(0) = - A ω  sen (ω 0) + B ω cos (ω 0) = B ω = vo ­­à B =  vo / ω

 

Reemplazando

y = vo / ω sen (ω t)

 

 

Física 1 (Exactas) Práctica 10.3 - Gravitación

Considere dos partículas de masas M₁ y M₂, fijas y separadas entre sí por una distancia D. Una tercera partícula de masa m es libre de moverse por un tubo carente de rozamiento, que se halla sobre la mediatriz del segmento determinado por ambas masas. 

 

a)      Calcule la energía potencial gravitatoria en función de la coordenada z que determina la posición. Grafique cualitativamente el potencial. 

 

V(z) = - G M1 m / [(D/2)^2 + z^2]^(1/2) -  G M1 m / [(D/2)^2 + z^2]^(1/2)

 

Donde

V(z) = energía potencial gravitatoria

G = constante de gravitación universal

M1, M2 = masas fijas equidistantes

D = distancia entre las masas

z = posición de la masa m

 

Reordenando

V(z) = - G (M1 + M2) m / [(D/2)^(2) + z^2]^(1/2)

 

Gráfico Google IA

 

b)     Determine la posición de equilibrio indicando si m corresponde a un equilibrio estable o inestable. 

 

Posicion de equilibrio

Punto critico à d V(z) / dz = 0

 

d V(z) / dz  =  1 /2  G (M1 + M2) m  2 z / ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)  = 0 à z = 0

 

Estabilidad

 

d² V(z) / dz² =  G (M1 + M2) m / ((D/2)^2 + z^2)^(3/2) – 3 G (M1 + M2) m  z^2  / ((D/2)^2 + z^2)^(5/2) 

 

En z = 0

d² V(z) / dz² =  8 G (M1 + M2) m / D^3  > 0 à mínimo  à estable 

 

 

 

c)      Encuentre la frecuencia angular de oscilación para pequeños apartamientos de la masa m de su posición de equilibrio.

 

Con  z << D

 

La ecuación diferencial

d² V(ε) / dz² =  8 G (M1 + M2) m  / D^3

 

Esta ecuación diferencial tiene una solución oscilatoria con

ω^2  =  8 G (M1 + M2) m  / D^3 / m =  8 G (M1 + M2) / D^3

 

ω = [8 G (M1 + M2) / D^3]^(1/2)

 

 

 

d)     Calcule la fuerza que ejerce el tubo sobre la masa en función de la posición. 

 

F tubo + F = 0

 

Donde

F tubo = fuerza que ejerce el tubo sobre la masa

F = fuerza gravitatoria generada por las M1 y M2 = F1 + F2

F1 = fuerza gravitatoria generada por M1 = - G M1 m / r^2 (D/2 / r)

F2 = fuerza gravitatoria generada por M2 = G M2 m / r^2 (D/2 / r)   

r = distancia entre m y las masas = [(D/2)^2 + z^2]^(1/2)

 

Reemplazando

Ftubo =  G M1 m  D / [ 2 ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)] - G M2 m  D / [ 2 ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)]

Ftubo  = G (M1 – M2) m D / [ 2 ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)]