Considere dos partículas de masas m1 y m2 y dos poleas de masa despreciable dispuestas como en la Figura. La partícula m1 está sobre un plano (fijo al piso) inclinado un ángulo a siendo respectivamente µe y µd los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre la partícula m1 y el plano. Los hilos (1) y (2) son inextensibles y de masa despreciable y el hilo (2) está atado al piso en el punto P.
a.
Dibuje m1, m2 y las poleas por separado e indique las fuerzas que actúan sobre cada
uno. Plantee las ecuaciones de Newton y de vínculo.
Ecuaciones de Newton
Cuerpo 1.
Según x: T1 - Froz1 – P1x = m1 a1
Cuerpo 1.
Según y: N1 - P1y = 0
Polea 1: - T1 + T1 = 0
Polea 2: T2 + T2 – T1 = 0
Cuerpo 2. Según x = - T2 +
P2 = m2 a2
Donde
T1 = tensión
de la soga 1
Froz1 =
fuerza de rozamiento dinámico = μd N1
μd =
coeficiente de rozamiento dinámico
N1 =
reacción del plano al cuerpo 1
P1x =
componente según x de P1 = P1 sen α
P1y =
componente según y de P1 = P1 cos α
P1 = peso
de la partícula 1 = m1 g
m1 = masa
de la partícula 1
a1 =
aceleración de la partícula 1
T2 = tensión
de la soga 2
P2 = peso
de la partícula 2 = m2 g
m2 = masa
de la partícula 2
a2 =
aceleración de la partícula 2
AB + BO =
longitud de la soga 1
A´B + BO´ =
longitud de la soga 1
Restando
ambas ecuaciones
AB – A´B +
BO – BO´ = 0
(A – A´) +
(O – O´) = D – D = 0
Con D
distancia recorrida entre A y A´
PO + OC =
longitud de la soga 2
PO´ + O´C´
= longitud de la soga 2
Restando
ambas ecuaciones
PO – PO´ +
OC – O´C´ = 0
(O – O´) +
(OC - O´C´) = D - 2 d = 0
d = OC –
OC´
D = 2 d
b.
Halle la aceleración de m1 en función de la aceleración de m2.
D = 2 d à a1 = 2 a2
c.
Si el sistema se halla en reposo encuentre dentro de
qué rango de valores debe estar m2.
Cuerpo 1.
Según x: T1 - Froz1 – P1x = 0 (sistema en reposo)
Cuerpo 1.
Según y: N1 - P1y = 0
Polea 1: - T1 + T1 = 0
Polea 2: T2 + T2 – T1 = 0
Cuerpo 2. Según
x = - T2 + P2 = 0 (sistema en reposo)
Donde
T1 = tensión
de la soga 1
Froz1 max =
fuerza de rozamiento estático máximo = μe N1
μe =
coeficiente de rozamiento estático
N1 =
reacción del plano al cuerpo 1
Froz1 min =
0
P1x =
componente según x de P1 = P1 sen α
P1y =
componente según y de P1 = P1 cos α
T2 = tensión
de la soga 2
P2 = peso
de la partícula 2 = m2 g
Despejando
T2 de la polea 2
2 T2 = T1
Despejando
T1 y T2
T1 = m1 g sen α +
Froze
T2 = m2 g
Igualando 2 T2 = T1
2 m2 g = m1 g sen α +
Froze
Despejando
m2 = (m1 sen α +
Froze) / 2
m2 minima: Froze = 0 à m2 = m1 sen α
/ 2
m2 máxima:
Froz = μe m1 cos α à m2 = (m1 sen α + μe m1 cos α) / 2
m1 sen α / 2 < m2 < m1 (sen α + μe cos α) / 2
d.
Si m2 desciende con
aceleración constante a:
i)
Calcule m2. Diga justificando su respuesta si la aceleración a puede ser tal que a > g.
Cuerpo 1. Según x: T1 - m1 g sen α - μd m1 g cos α = m1 a1
Cuerpo 2. Según x = - T2 + m2 g = m2 a2
Despejando T2 de la polea 2
2 T2 = T1
Despejando
T1 y T2
T1 = m1 g sen α + μd m1 g cos α + m1 a1
T2 = m2 g –
m2 a2
a2 = a à a1 = 2 a
Igualando
2 (m2 g – m2 a) = m1 g sen α +
μd
m1 g cos α +
m1 2 a
Despejando
m2
m2 = m1 (g sen α + μd g cos α + 2 a) / ((2 g – 2 a)
.m2 > 0 à 2 g – 2 a > 0 à g > a
ii)
Exprese la posición de la polea O en función del tiempo y de datos si en el instante inicial estaba a
distancia h del piso con velocidad nula. ¿La polea se acerca o se aleja del
piso?
xO = xoO + voO t – 1 /2 aO t^2
Donde
xO =
altura de la polea en el instante t
xoO =
altura inicial de la polea = h
voO = velocidad inicial de la polea = 0
aO =
aceleración de la polea = aceleración de la masa m1 = 2 a
Reemplazando
xO = h – 1 /2 (2 a) t^2 = h – a t^2
La polea baja
