Física 1 (Ing.) Práctica 2.17 - Trabajo y Energía

 Analizar el movimiento de un péndulo ideal desde el punto de vista energético. Para el péndulo oscilando exprese, como función de la altura de la masa: 

 

 

 

a.     su velocidad;

 

ΔEm = Em – Emo

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica = 0

Emo = energía mecánica en el punto más alto = Eco + Epo

Eco = energía cinética = 0 

Epo = energía potencial = m g H

H = altura máxima

Em = energía mecánica = Ec + Ep

Ec = energía cinética = 1 /2 m v^2

v = velocidad

Ep = energía potencial = m g h

h = altura

 

Reemplazando

m g H = m g h + 1 /2 m v^2

 

Despejando v

v = [2 g (H – h)]^(1/2)

 

  

b.     su desplazamiento angular;

 

h = L – L cos α

 

Despejando cos α

cos α = (L – h) / L = 1 – h / L

 

 

c.      la fuerza tangencial a su trayectoria;

 

 

Ft = - Pt = - m g sen α

 

sen α = [1 – (cos θ)^2]^(1/2) = [1 – (1 – h / L)^2]^(1/2) 

          = [2 h/L – (h/L)^2]^(1/2)

 

Reemplazando

Ft = - m g [2 h/L – (h/L)^2]^(1/2)

 

 

d.     su aceleración tangencial; 

 

Ecuación de Newton

 - m g sen α = m at

 

Con

at = aceleración tangencial = v^2 / L

 

Despejando at

at = - g [2 h/L – (h/L)^2]^(1/2)

  

 

e.      su aceleración normal.

 

ac = v^2 / L

 

Con

ac = aceleración normal = v^2 / L

 

Reemplazando

ac = 2 g (H – h) / L

 

 

f.      Cuánto vale la tensión en el hilo al pasar la lenteja por: 

 

Ecuación de Newton

T – m g cos α = m ac

 

Donde

T = tensión

ac = aceleración normal = v^2 / L

v = velocidad = [2 g (H – h)]^(1/2)

H = altura máxima = L – L cos αmax

h = altura = L – L cos α

H – h = L – L cos αmax – (L – L cos α) = L (cos α - cos αmax)

 

Reemplazando

T = m 2 g (cos α - cos αmax) + m g cos α = m g (3 cos α – 2 cos αmax)

 

i-                la posición de equilibrio;

 

posición de equilibrio à α  = 0

 

Reemplazando en T

T = m g (3 – 2 cos αmax)

 

 

ii-              la máxima elongación;

 

máxima elongación à α  = αmax

 

reemplazando en T

T = m g cos αmax

 

 

iii-             α = αmáximo / 2

 

Reemplazando

T = m g (3 cos (αmax / 2) – 2 cos αmax)

 

 

f.     Si al pasar por la vertical el hilo hace tope en un clavo “A” (ver figura), la altura a la que subirá la lenteja ¿será mayor, igual o menor, que en el caso en que el hilo no hace tope en A? Justificar.

  

Emo = Emf

 

Donde

Emo = energía mecánica inicial = Eco + Epo

Eco = energía cinética inicial = 0

Epo = energía potencial inicial = m g H

H = altura inicial

Emf = energía mecánica final = Ecf + Epf

Ecf = energía cinética final = 0

Epf = energía potencial final = m g hf

hf = altura final

 

Reemplazando

m g H = m g hf à  H = hf

 

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.16 - Trabajo y Energía

 

,

a.     ¿Desde qué altura mínima H se debe dejar deslizar el bloque de hielo para que pueda recorrer sin problemas el rulo BCDE? Si h = 2/3 H, describir el movimiento posterior del bloque.

 

Ecuación de Newton

Según r: ND – P = - m ac

 

Donde

ND = reacción del rulo = 0

P = peso del bloque = m g

ac = aceleración centrípeta = vD^2 / R

vD = velocidad mínima

R = radio del rulo

 

Reemplazando

m g = m vD^2 / R

 

Despejando

vD^2 = R g

 

Energía mecánica

ΔEmDA = EmD – EmA

 

Donde

ΔEmDA = variación de la energía mecánica entre A y D = 0

EmD = energía mecánica en D = EcD + EpD

EcD = energía cinética en D = 1/2 m vD^2

EpD = energía potencial en D = m g 2 R

EmA = energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 0 (se deja caer)

EpA = energía potencial en A = m g H

 

Reemplazando

1/2 m R g + m g 2 R – m g H = 0

Despejando H

H = 5/2 g R

 

 

a.2. Si h = 2/3 H, describir el movimiento posterior del bloque.

 

Punto F (h = 2/3 H)

 

Energía mecánica

ΔEmFA = EmF – EmA

 

Donde

ΔEmFA = variación de la energía mecánica entre F y A = 0

EmF = energía mecánica en F = EcF + EpF

EcF = energía cinética en F = 1/2 m vF^2

EpF = energía potencial en F = m g h

EmA = energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 0 (se deja caer)

EpA = energía potencial en A = m g H

 

Reemplazando

1/2 m vF^2 + m g 2/3 H – m g H = 0

 

Despejando vF

vF = [2/3 g H]^(1/2) > 0   

 

Movimiento posterior (vF > 0) à tiro oblicuo

 

 

 

b.     Si H = 3 R ¿cuánto vale la reacción en el vínculo, sobre el bloque, en los puntos B, C, D y E (α = 20°); ¿qué fuerza soporta el riel?

 

Energía mecánica

Em = EmA

 

Donde

EmA = energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 0

EpA = energía potencial en A = m g H

H = altura inicial = 3 R

Em = energía mecánica = Ec + Ep

Ec = energía cinética = 1/2 m v^2

v = velocidad

Ep = energía potencial = m g d

d = altura

 

Reemplazando

m g 3 R = 1/2 m v^2 + m g d

 

Despejando v

v^2 = 2 g (3 R – d)

 

 

En B

dB = 0

 

Reemplazando en v

vB^2 = 2 g (3 R – dB) = 2 g (3 R – 0) = 6 g R

 

Ecuación de Newton (B)

NB – P = m ac

 

Donde

NB = reacción

P = peso = m g

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R

 

Reemplazando

NB – m g = m v^2 / R

 

Despejando

NB = m v^2 / R + m g

 

Reemplazando en NB

NB = m g + m 6 g R / R

NB = 7 m g

 

 

En C

dC = R

 

Reemplazando en v

vC^2 = 2 g (3 R – dC) = 2 g (3 R – R) = 4 g R

 

Ecuación de Newton (C)

NC = m ac

 

Reemplazando

NC = m v^2 / R

 

NC = m 4 g R / R

NC = 4 m g

 

En D

dD = 2 R

 

Reemplazando en v

vD^2 =2 g (3 R – dD) = 2 g (3 R – 2 R) = 2 g R

 

Ecuación de Newton (D)

ND + m g = m ac

 

Reemplazando

ND = m v^2 / R – m g

 

ND = m 2 g R / R – m g

ND = m g

 

 

En E

dE = R + R cos 20° = R (1 + cos 20°)

 

Reemplazando en v

vE^2 = 2 g (3 R – dE) = 2 g (3 R – R - R cos 20°)) = 2 g R (2 – cos 20°)

 

Ecuación de Newton (D)

NE + P cos 20° = m ac

 

Reemplazando

NE = m v^2 / R - m g cos 20°

 

NE = m 2 g R (2 – cos 20°) / R – m g cos 20°

NE = m g (4 – 3 cos 20°)

 

 

 

c.     ¿En qué punto se desprende de la pista si H = 2 R? 

 

Energía mecánica

EmA = Em

 

Donde

EmA = energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 0 (vA =0)

EpA = energía potencial en A = m g H

H = altura en A = 2 R

Em = energía mecánica = Ec + Ep

Ec = energía cinética = 1/2 m v^2

v = velocidad

Ep = energía potencial = m g h

h = R + R cos θ

 

Reemplazando

m g 2 R = 1/2 m v^2 + m g R + m g R cos θ

 

Despejando

v^2 = 2 (g R – g R cos θ)

 

Ecuación de Newton

N + m g cos θ = m v^2 / R

 

Despejando N

N = m 2 (g R – g R cos θ) / R - m g cos θ

    = 2 m g –  3 m g cos θ = 0

 

Despejando

cos θ = 2/3 

 

d = R + R cos θ = 5 /3 R

 

 

d.    ¿Con qué velocidad mínima debe pasar por A, si H = 2R para que realice la vuelta completa?

 

Ecuación de Newton

Según r: ND – P = - m ac

 

Donde

ND = reacción del rulo = 0

P = peso del bloque = m g

ac = aceleración centrípeta = vD^2 / R

vD = velocidad mínima

R = radio del rulo

 

Reemplazando

m g = m vD^2 / R

 

Despejando

vD^2 = R g

 

 

Energía mecánica

EmA = EmD

 

Donde

EmA = energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 1/2 m vA^2

EpA = energía potencial en A = m g H

H = altura en A = 2 R

EmD = energía mecánica en D = EcD + EpD

EcD = energía cinética en D = 1/2 m vD^2

vD = velocidad = R g

EpD = energía potencial = m g hD

hD = 2 R

 

Reemplazando

m g 2 R + 1/2 m vA^2 = 1/2 m R g + m g 2 R

 

Despejando

vA^2 = g R

 

 

Física 1 (Ing.) Práctica 2.15 - Trabajo y Energía

Un paquete de 2 kg se suelta sobre un plano inclinado de pendiente de 53,1º a 4 m de un resorte largo de masa despreciable con k = 140 N/m sujeto a la base de la pendiente. Los coeficientes de rozamiento entre el paquete y el plano son µe = 0,40 y µd = 0,20.

 

A = posición inicial del cuerpo (0 de la energía potencial)

B = posición del cuerpo cuando llega al resorte

C = posición del resorte comprimido

D = posición final del cuerpo

 

a.     ¿Qué velocidad tiene el paquete justo antes de llegar al resorte?

 

 

ΔEmAB = Wnc

 

Donde

ΔEmAB  = variación de la energía mecánica entre A y B = EmB – EmA

EmA = energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 0 (se suelta)

EpA = energía potencial en A = 0

EmB = energía mecánica en B = EcB + EpB

EcB = energía cinética en B = 1 /2 m vB^2

m = masa = 2 kg

vB = velocidad en B

EpB = energía potencial en B = m g hB

hB = altura en B = – d sen 53,1°

d = distancia recorrida = 4 m

Wnc = trabajo de la fuerza de rozamiento = Froz d cos 180°

Froz = fuerza de rozamiento = µd N

µd = coeficiente de rozamiento dinámico = 0,20

N = normal = reacción del plano = P cos 53,1°

P = peso del cuerpo = m g

 

Reemplazando

1 /2 m vB^2 + m g (– d sen 53,1°) = - µd m g cos 53,1° d

 

Despejando

vB = [2 g d (sen 53,1° - µd cos 53,1° )]^(1/2)

       = [2 * 10 m/s² 4 m (sen 53,1° - 0,2 cos 53,1°)]^(1/2) = 7,38 m/s

 

 

 

b.     ¿Cuál es la compresión máxima del resorte?

 

ΔEmBC = Wnc

 

Donde

ΔEmBC = variación de la energía mecánica entre B y C= EmC – EmB

EmB = energía mecánica en B = EcB + EpB

EcB = energía cinética en B = 1 /2 m vB^2

vB = velocidad en B = 7,38 m/s

EpB = energía potencial en B = m g hB

EmC = energía mecánica en C = EcC + EpC + EpeC

EcC = energía cinética en C = 0 (el cuerpo se detiene)

EpC = energía potencial en C = m g hC

hC = altura en C = hB – ΔL sen 53,1°

ΔL = compresión del resorte

EpeC = energía potencial elástica en C = 1 /2 k ΔL^2

k = contante del resorte = 140 N/m

Wnc = trabajo de la fuerza de rozamiento = Froz ΔL cos 180°

 

reemplazando

m g (hB - ΔL sen 53,1°) + 1 /2 k ΔL^2 – (1 /2 m vB^2 + m g hB) = - µd m g cos 53,1° ΔL

 

reordenando

1 /2 k ΔL^2 + m g (µd cos 53,1° - sen 53,1°) ΔL – 1 /2 m vB^2 = 0

1 /2 * 140 N/m ΔL^2 + 2 kg 10 m/s² (0,2 cos 53,1° - sen 53,1°) ΔL – 1 /2 * 2 kg (7,38 m/s)^2 = 0

70 N/m ΔL^2 – 13,6 N ΔL – 54,4 N m = 0

 

A cuadrática en ΔL tiene dos soluciones

ΔL1 = 0,98 m (resorte estirado à descartada)   

ΔL2 = - 0,79 m (resorte comprimido)

 

 

c.      Al regresar el paquete, ¿cuánto se acerca a su posición inicial?

 

ΔEmCD = Wnc

 

Donde

ΔEmCD = variación de la energía mecánica entre C y D = EmD – EmC

EmC = energía mecánica en C = EcC + EpC + EpeC

EcC = energía cinética en C = 0 (el cuerpo se detiene)

EpC = energía potencial en C = m g hC

hC = altura en C

EpeC = energía potencial elástica en C = 1 /2 k ΔL^2

ΔL = compresión del resorte

EmD = energía mecánica en D = EcD + EpD

EcD = energía cinética en D = 0 (el cuerpo se detiene)

EpD = energía potencial en D = m g hD

hD = posición en D = hC + X sen 53,1°

Wnc = trabajo de la fuerza de rozamiento = Froz X cos 180°

 

Reemplazando

m g (hC + X sen 53,1°) – (m g hC + 1 /2 k ΔL^2) = - µd m g cos 53,1° X

m g X sen 53,1° – 1 /2 k ΔL^2 = - µd m g cos 53,1° X

 

Despejando X

X = 1 /2 k ΔL^2 / (m g sen 53,1° - µd m g cos 53,1°) =

    = 1 /2 * 140 N/m (- 0,79 m)^2 / (2 kg 10 m/s² (sen 53,1° – 0,2 cos 53,1°)) = 3,21 m

 

Distancia = d + | ΔL | -  X = 4 m + 0,79 m – 3,21 m = 1,58 m