Cinemática - 2 Cinemática en dos dimensión – 9 Tiro oblicuo

Tiro oblicuo 9. Una botella que se encuentra en la posición x = 20 m e y = 30 m se deja caer desde el reposo. Al mismo tiempo, se lanza desde el origen de coordenadas una piedra con una velocidad de módulo 15 m/s.

Botella

Ecuaciones horarias

x = x_o + v_ox ( t – t_o )

y = y_o + v_oy ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

v_x = v_ox

v_y = v_oy - g ( t – t_o )

donde

t_o = 0 s

x_o = 20 m

y_o = 30 m

v_ox = 0 (parte del reposo)

v_{oy =} 0 (parte del reposo)

|g | = 10 m/s²

Reemplazando

x_b = 20 m  < -----  ecuación de la posición

y_b = 30 m -  ½ * 10 m/s² * t² < ------- ecuación de la altura

v_xb = 0 < ----------- velocidad según x

v_yb = - 10 m/s² * t < ------- velocidad según y

Piedra

Ecuaciones horarias del tiro oblicuo

x = x_o + v_ox ( t – t_o )

y = y_o + v_oy ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

v_x = v_ox

v_y = v_oy - g ( t – t_o )

a_y = - g

donde

t_o = 0 s

x_o = 0 m

y_o = 0 m

v_ox = v_o * cos α = 15 m/s * cos α

v_{oy =}  v_o * sen α = 15 m/s * sen α

|g | = 10 m/s²

Reemplazando

x_p = 15 m/s * cos α * t    < -----  ecuación de la posición

y_p =  15 m/s * sen α *t  – ½ * 10 m/s² * t² < ------- ecuación de la altura

v_xp = 15 m/s * cos α < ----------- velocidad según x

v_yp = 15 m/s * sen α – 10 m/s² * t < ------- velocidad según y

a) Determinar el ángulo con el que debe lanzarse la piedra para que rompa la botella.

Para que se encuentren (x;y)_b = (x;y)_p para t = te

Igualando las ecuaciones

20 m = 15 m/s * cos α * te

30 m -  ½ * 10 m/s² * te² =  15 m/s * sen α *te  – ½ * 10 m/s² * te²

Despejando te de la ecuación de la posición

te = 20 m / (15 m/s * cos α )

Reemplazando en la ecuación de la altura

30 m  =  15 m/s * sen α *(20 m / (15 m/s * cos α )) 

Reordenando

30 m  =  20 m  tan α

α = arco tan (30m/20m) = 56,3º < ---------- ángulo de lanzamiento de la piedra

b) Si el ángulo es el hallado en a), calcular la altura a la que se produce el impacto.

Reemplazando en te

te = 20 m / (15 m/s * cos 56,3º ) = 2,4 s

altura en el instante te = 2,4 s

y_b = 30 m -  ½ * 10 m/s² * (2,4 s)² = 1,11 m < -------- altura del encuentro

y_p =  15 m/s * sen 56,3º * (2,4 s)  – ½ * 10 m/s² * (2,4 s)² = 1,11 m < -------- altura del encuentro

c) Dibujar en un mismo gráfico la trayectoria de la piedra y la de la botella.

Gráfico de trayectoria