Cinemática - 1 Cinemática en una dimensión – Aceleración variable 25

Aceleración variable 25.  El movimiento rectilíneo de una partícula está definido por la ecuación:

x(t) = t³ – 10 t² – 20 t – 16,

donde x se expresa en metros y t en segundos.

a) Calcular la velocidad media de la partícula en el intervalo comprendido entre t = 0 s y t = 12 s.

vm = distancia recorrida / tiempo empleado = (x(12) – x(0)) / ( 12 – 0)

reemplazando las t en x(t)

x(0) = 0³ – 10 * 0² – 20 * 0 – 16 = -16

x(12) = 12³ – 10 * 12² – 20 * 12 – 16 = 32

reemplazando la vm

vm = ( 32 – (-16)) / ( 12 – 0 ) =  4 m/s  < ---------- velocidad media

b) Trazar las gráficas v(t) y a(t).

Para determinar 
v(t) = derivada de x(t) = dx(t)/dt 
a(t) = derivada de v(t) = dv(t)/dt = derivada segunda de x(t) = d²x(t)/dt²

x(t) = t³ – 10 t² – 20 t – 16  < ------- posición

v(t) = x'(t) = 3 t² – 20 t  - 20 < -------- velocidad

a(t) = x"(t) = 6 t – 20 < -------- aceleración

Gráfico x vs t

Gráfico v vs t

Gráfico a vs t

Establecer cuales son los intervalos en los que le movimiento es acelerado y cuales en los que es desacelerado. Determina, si corresponde, cual/les es/son los instantes en el/los cual/cuales la rapidez es máxima

Analizando las ecuaciones de v(t) y a(t) (Teorema de Bolzano)

v(t) es una cuadrática con coeficiente principal es positiva ( 3 > 0) y la ordenada al origen es negativa (-20>0), se anula en t1 = -0,88 (descartada) y t2 = 7,55.

a(t) es lineal y tiene un cero en t = 3,33

t	[0 - 3,33)	3,33	(3,33 - 7,55 )	7,55	(7,55 – oo)
a(t)	a(t)<0	0	a(t)>0		a(t)>0
v(t)	v(t)<0	Mínima	v(t)<0	0	v(t)>0
(*)	acelerado		desacelerado		acelerado

 (*)

Signo de v(t) = signo de a(t) ---- > movimiento acelerado

Signo de v(t) ≠ signo de a(t) ---- > movimiento desacelerado