Cinemática - 1 Cinemática en una dimensión – MRUV 14

MRUV 14. Un automóvil pasa frente a un puesto caminero, moviéndose con velocidad constante de 90 km/h, en una ruta rectilínea. En ese instante sale en persecución un patrullero que parte del reposo y acelera uniformemente durante todo el recorrido. Sabiendo que el patrullero alcanza una velocidad de 90 km/h en 10 segundos, Hallar:

a) El tiempo que dura la persecución.

Automóvil

Ecuaciones horarias

x_a= x_o + v_o * (t - t_o)

v_a = v_o

donde

x_a = posición del auto en el instante t

x_o =  posición inicial = 0

t_o = tiempo inicial = 0

v_o =  velocidad  initial = 90 km/h = 90 km/h * ( 1.000 m/km) * (1 h/ 3.600 s) = 25 m/s

v_a = velocidad del auto (constante) = 25 m/s

reemplazando en las ecuaciones horarias

x_a= 25 m/s * t < ------- ecuación de posición del automóvil

v_a = 25 m/s < --------- ecuación de velocidad del automóvil

Patrullero

Ecuaciones horarias

x_p = x_o + v_o * t + ½ a * t²

v_p = v_o + a * t

donde

x_p = posición del patrullero en el instante t

x_o =  posición inicial = 0

t_o = tiempo inicial = 0

v_o =  velocidad inicial = 0 (parte del reposo)

a = variación de la velocidad/tiempo = ( 90 km/h -0 )/ 10s = 25 m/s / 10 s = 2,5 m/s²

v_p = velocidad del patrullero

reemplazando en las ecuaciones horarias

x_p= 1/2 * 2,5 m/s² * t² < ------- ecuación de posición del patrullero

v_p = 2,5 m/s²  * t < --------- ecuación de velocidad del patrullero

Encuentro x_a = x_p para t_e

Igualando

25 m/s * t_e = 1/2 * 2,5 m/s² * t_e ²

La cuadrática tiene dos soluciones

t_e = 0 ( el instante que pasa el automóvil y parte el patrullero)

t_e = ½  * 2,5 m/s² / 25 m/s = 20 s  < -------- tiempo del encuentro

b) La posición en que el patrullero alcanza el automóvil.

Reemplazando en la ecuación horaria del patrullero

x_p= 1/2 * 2,5 m/s² * ( 20 s)² = 500 m < --------- posición el patrullero

c) La velocidad del patrullero en dicho punto.

Reemplazando en la ecuación de velocidad del patrullero

v_p=  2,5 m/s² *  20 s = 50 m/s < --------- velocidad del patrullero

d) Graficar, para ambos móviles, la velocidad en función del tiempo y relacione dicho gráfico con las respuestas a las preguntas a), b) y c).

La superficie debajo de la curva del auto = 25 m/s * 20 s = 500 m

La superficie debajo de la curva del patrullero = 50 m/s * 20 s /2  = 500 m