Cinemática - 1 Cinemática en una dimensión – Aceleración variable 25 versión 2018

Aceleración variable 25 versión 2018.  La velocidad de una partícula que realiza un movimiento rectilíneo , para t ≥ 0 s, viene dado por la ecuación : v(t) =  3 t² – 20 t – 20, donde v se expresa en metros por segundo y t en segundos. Sabiendo que para t = 0 s el móvil se encuentra en x(t=0) = -16 m.

a) Calcular la velocidad media y aceleración media de la partícula en el intervalo comprendido entre t = 0s y t = 12s.

v(t) = x'(t) = 3 t² – 20 t  - 20

integrando

x(t) = ∫ (3 t² – 20 t  - 20) dt = 3 t³ / 3 – 20 t²/2  - 20 t + C

reemplazando x(t=0) = -16 m

x(t=0) =  C = -16 m

reemplazando en x(t)

x(t) =  t³ – 10 t² - 20 t – 16  < ------------ posición

velocidad media

vm = distancia recorrida / tiempo empleado = (x(12) – x(0)) / ( 12 – 0)

reemplazando las t en x(t)

x(0) = 0³ – 10 * 0² – 20 * 0 – 16 = -16

x(12) = 12³ – 10 * 12² – 20 * 12 – 16 = 32

reemplazando la vm

vm = ( 32 – (-16)) / ( 12 – 0 ) =  4 m/s  < ---------- velocidad media

aceleración media

am = variación de la velocidad / tiempo empleado

reemplazando las t en v(t)

v(0) = 3 0² – 20 0  - 20 = -20

v(12) = 3 12² – 20 12  - 20 = 172

reemplazando la vm

am = ( 172 – (-20)) / ( 12 – 0 ) =  16 m/s²  < ---------- velocidad media

b) Trazar las gráficas de x(t), v(t) y a(t)

x(t) = t³ – 10 t² – 20 t – 16  < ------- posición

v(t) = 3 t² – 20 t  - 20 < -------- velocidad

a(t) = v´(t) = 6 t – 20 < -------- aceleración

Gráfico x vs t

Gráfico v vs t

Gráfico a vs t

Establecer cuales son los intervalos en los que le movimiento es acelerado y cuales en los que es desacelerado. Determina, si corresponde, cual/les es/son los instantes en el/los cual/cuales la rapidez es máxima

Analizando las ecuaciones de v(t) y a(t) (Teorema de Bolzano)

v(t) es una cuadrática con coeficiente principal es positiva ( 3 > 0) y la ordenada al origen es negativa (-20>0), se anula en t1 = -0,88 (descartada) y t2 = 7,55.

a(t) es lineal y tiene un cero en t = 3,33

T	[0 - 3,33)	3,33	(3,33 - 7,55 )	7,55	(7,55 – oo)
a(t)	a(t)<0	0	a(t)>0		a(t)>0
v(t)	v(t)<0	Mínima	v(t)<0	0	v(t)>0
(*)	acelerado		desacelerado		acelerado

 (*)

Signo de v(t) = signo de a(t) ---- > movimiento acelerado

Signo de v(t) ≠ signo de a(t) ---- > movimiento desacelerado