Cinemática - 2 Cinemática en dos dimensión – 7 Tiro oblicuo

Tiro oblicuo 7. Una pelota es lanzada desde el piso con una velocidad cuyo módulo es |v₀|, formando un ángulo α con la horizontal. Despreciando el rozamiento con el aire:

a) Elegir un sistema de referencia y obtener las expresiones de los vectores posición, velocidad y aceleración en función del tiempo si |v₀| = 5 m/s y para los casos donde α = n . π/6 (n = 1, 2, 3).

Ecuaciones horarias del tiro oblicuo: 

x = x_o + v_ox ( t – t_o )

y = y_o + v_oy ( t – t_o ) - ½ g ( t – t_o )²

v_x = v_ox

v_y = v_oy - g ( t – t_o )

a_x = 0

a_y = - g

donde

t_o = instante inicial = 0 s

x_o = posición inicial = 0

y_o = altura inicial = 0 ( piso)

v_ox = velocidad inicial según el eje x = v_o * cos α 

v_oy  = velocidad inicial según el eje y = _- v_o * sen α 

v_o  = velocidad inicial = 5 m/s 

α = ángulo con la horizontal = n *  π/6 (n = 1, 2, 3)

Reemplazando

x = 5 m/s * cos α * t   < -----  ecuación de la posición

y = 5 m/s * sen α *t  – ½ * 10 m/s² * t² < ------- ecuación de la altura

v_x = 5 m/s * cos α  < ----------- velocidad según x

v_y = 5 m/s * sen α – 10 m/s² * t < ------- velocidad según y

a_x = 0 < ----------- aceleración según x

a_y = - 10 m/s² < ----------- aceleración según y

reemplazando los ángulos

α	x =	y =	vx =	vy =	ax =	ay =
1π/6	4,33 m/s * t	2,5 m/s * t  – 5 m/s² * t²	4,33 m/s	2,5 m/s  – 10 m/s² * t	0	- 10 m/s2
2π/6	2,5 m/s * t	4,33 m/s * t  – 5 m/s² * t²	2,5 m/s	4,33 m/s  – 10 m/s² * t	0	- 10 m/s2
3π/6	0	5 m/s * t  – 5 m/s² * t²	0	5 m/s  – 10 m/s² * t	0	- 10 m/s2

b) Hacer los gráficos de posición y velocidad en función del tiempo para los 3 valores de n.

Gráfico de la trayectoria (y vs x)

 

Gráfico posición x vs t

Gráfico y vs t

Gráfico vx vs t

Gráfico vy vs t

c) Calcular la altura máxima y el alcance para cada valor de n y gráficar altura máxima vs n y A vs n. Interpretar.

Altura máxima --- > vy = 0

0 = 5 m/s * sen α - 10 m/s² * t

Despejando t

t_M = 5 m/s * sen α / 10 m/s²

reemplazando en la ecuación de la altura y reordenado los términos

y_M =  ½ * (5 m/s * sen α)² / 10 m/s²  < ------- altura máxima

Alcance ------- > y = 0

0 = 5 m/s * sen α *t  – ½ * 10 m/s² * t² 

Tiene dos soluciones

t1 = 0 (descartado, el momento de partida)

t_A = 5 m/s * sen α / ( ½ * 10 m/s² )

reemplazando en la ecuación de la posición y reordenando los términos

x_A = (5 m/s)² *2 * sen α cos α / (10 m/s² )   < ----- alcance

reemplazando los ángulos

n	α	tM (s)	yM (m)	tA (s)	xA (m)
1	1π/6	0,25	0,31	0,50	2,17
2	2π/6	0,43	0,94	0,87	2,17
3	3π/6	0,50	1,25	1,00	0,00

Gráfico altura máxima vs n

Gráfico alcance vs n

d) Calcule el vector velocidad y aceleración en los puntos de altura máxima (y_max) y alcance (A)

d.1. vector velocidad y aceleración en los puntos de la altura máxima (y_max)

Αlfa	velocidad	aceleración
1π/6	4,33 m/s î  +  0 m/s ĵ	- 10 m/s2 ĵ
2π/6	2,5 m/s î  +  0 m/s ĵ	- 10 m/s2 ĵ
3π/6	0 m/s î  +  0 m/s ĵ	- 10 m/s2 ĵ

d.2. vector velocidad y aceleración en los puntos del alcance (A)

Αlfa	velocidad	aceleración
1π/6	4,33 m/s î  -2,5 m/s ĵ	- 10 m/s2 ĵ
2π/6	2,5 m/s î  -4,33 m/s ĵ	- 10 m/s2 ĵ
3π/6	0 m/s î   -5 m/s ĵ	- 10 m/s2 ĵ

e) A partir de las expresiones generales de y_max y A, encuentre la relación de ambas para cada valor de α

y_M =  ½ * (v_o * sen α)² / 10 m/s²  < ------- altura máxima

x_A = v_o² *2 * sen α cos α / (10 m/s² )   < ----- alcance

despejando vo de la altura máxima y reemplazando en el alcance

x_A =  4 * y_M / tan α < ------- alcance en función de la altura