Energía mecánica 9

Graficar en forma aproximada la energía cinética, potencial y mecánica en función del tiempo de un péndulo ideal oscilando (muestre al menos dos oscilaciones completas). Indique las condiciones iniciales que aparecen en su gráfico.

 

Ecuaciones horarias del péndulo simple (ver Dinámica 101)

 θ(t) = θo cos (ωo t + φ) desplazamiento angular

v(t) = dθ(t)/dt L = - vmax sen (ωo t + φ) velocidad tangencial

  

donde

θo = ángulo de apartamiento máximo

ωo = velocidad angular inicial = √(g/L)

g = aceleración de la gravedad

L = longitud del péndulo

vmax = velocidad máxima (posición vertical)

φ = fase inicial

 

En la posición inicial t = 0

θ  = θo y vo = 0

θ(0) = θo cos (ωo 0 + φ) = θo cos (φ) = θo à φ = 0 

 

 

 

Em = Ec + Ep

 

Donde

Em = energía mecánica

Ec = energía cinética = 1/ 2 m v^2

m = masa del cuerpo m

v(t) = velocidad = - vmax sen (ωo t)   

 

Ep = energía potencial = m g H

g = aceleración de la gravedad

H = altura = L – L cos θ

L = longitud del péndulo

θ(t)  = ángulo con la vertical = θo cos (ωo t)

 

Reemplazando

Ec (t) = 1/ 2 m v(t)^2

Ep (t) = m g (L - L cos θ(t))

Em(t) = 1/ 2 m (v(t))^2 + m g (L - L cos θ(t))

 

Posición A:  altura máxima a la derecha (VA = 0)

Posición B: vertical (sentido horario) (VB = v máxima)

Posición C:  altura máxima a la izquierda (VC = 0)

Posición D: vertical (sentido antihorario) (VD = v máxima)

 

Energía mecánica 27

Un camión asciende por una pendiente con velocidad constante.

¿Cuál opción es la verdadera?

 

a)     La energía mecánica del camión permanece constante.

Falso

 

ΔEm = ΔEc + ΔEp

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica

ΔEc = variación de la energía cinética = 1 /2 m (vf^2 – vi^2) = 0 (velocidad constante)

ΔEp = variación de la energía potencial = m g ( hf – hi) > 0 (asciende por la pendiente à la altura aumenta)

 

Reemplazando

ΔEm = Emf – Emi > 0 à Emf > Emi   à la energía mecánica aumenta

b) La variación de energía cinética del camión es negativa.

Falso

 

ΔEc = variación de la energía cinética = 1 /2 m (vf^2 – vi^2) = 0 (velocidad constante)

c) El peso del camión no realiza trabajo.

Falso

 

ΔEp = - Wp

 

Donde

ΔEp = variación de la energía potencial > 0

Wp = trabajo de la fuerza peso

 

Reemplazando

Wp = - ΔEp < 0 à el trabajo de la fuerza peso es negativo ( distinto de cero) 

d) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es nulo.

Falso

 

ΔEm = WFnc

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica > 0

WFnc = trabajo de la fuerza no conservativa (- fuerza de rozamiento)

 

WFroz = - W Fnc < 0

 

e) El trabajo realizado por la resultante de fuerzas sobre el cuerpo es nulo.

Verdadero

 

ΔEc = WF

 

Donde

ΔEc = variación de la energía cinética = 1 /2 m (vf^2 – vi^2) = 0 (velocidad constante)

WF = trabajo de la fuerza neta

 

Reemplazando

WF = 0

f) La energía potencial del cuerpo permanece constante.

Falso

 

ΔEp = variación de la energía potencial = m g ( hf – hi) > 0 (asciende por la pendiente à la altura aumenta)

 

 

Energía mecánica 26

Un péndulo cónico está formado por una cuerda de longitud L y un cuerpo de masa m, que describe una trayectoria circular horizontal de radio r, formando un ángulo α constante entre la cuerda y la vertical que pasa por el punto de suspensión. La resistencia del aire y otros rozamientos son despreciables y la energía potencial se mide con respecto al punto de suspensión. ¿Cuál opción es la verdadera?

Según y : Ty – P = 0

Según r: Tr = m ac

 

Donde

Ty = componente según y de la Tensión T = T cos α

Tr = componente según r de la Tensión T = T sen α

T = Tensión

α = ángulo con la vertical

P = peso = m g

m = masa = m

g = aceleración de la gravedad

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R

R = radio de giro

L = longitud del péndulo

 

R = L sen α

H = L - L cos α = L (1 -  cos α)

 

Reemplazando y despejando T

T = m g / cos α

T = m v^2 / (R sen α)

 

Igualando T y despejando v

v^2 = g R sen α / cos α = g L sen α  tan α

  

a)     La energía cinética es directamente proporcional al ángulo α.
Falso

 Ec = 1 /2 m v^2 = 1 /2 m g L sen α tan α = 1 / 2 m g L (sen α)^2 / cos α

Depende de α como el seno al cuadrado

 

b)    La energía potencial del cuerpo no depende del ángulo α.

            Falso

 Ep = m g H = m g L (1 -  cos α)

 Depende del ángulo α 

c)     La energía cinética depende del valor de la aceleración de la gravedad.
Verdadero

 Ec = 1 /2 m g L sen α tan α

 Depende de g

 

d)    La energía cinética no depende del valor de la longitud L.

Falso

Ec = 1 /2 m g L sen α tan α

Depende de L

 

e)     La energía cinética no depende del valor de la masa m.

Falso

Ec = 1 /2 m g L sen α tan α

Depende de m

f)      El trabajo de la tensión sobre la cuerda es distinto de 0

Falso

 La Tensión es SIEMPRE perpendicular al desplazamiento à W = 0

 

 

 

Energía mecánica 25

 El sistema esquematizado en la figura parte del reposo; se puede despreciar la masa de la cuerda y la polea, y todos los rozamientos. La masa del bloque 1 es 22 kg, y la del bloque 2 es 28 kg.

Por consideraciones energéticas, hallar con qué velocidad llegará al piso el bloque 2.

Posición A:  bloque 1 en el piso

Posición B = bloque 2 en el piso

 

ΔEmAB = 0 (no hay fuerzas no conservativas)

 

Donde

ΔEmAB = variación de energía mecánica desde A a B = EmB – EmA

 

EmB = Energía mecánica B = EcB + EpB

EcB = Energía cinética B = 1/ 2 m1 vB1^2 + 1/ 2 m2 vB2^2

m1 = masa del bloque 1 = 22 kg

vB1= velocidad del bloque 1

m2 = masa del bloque 2 = 28 kg

vB2= velocidad del bloque 2 = vB1 (la soga es ideal) = vB

EpB = Energía potencial B = m1 g hB1 + m2 g hB2

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

hB1 = altura del bloque 1 en B = altura del bloque 2 en A = h = 15 cm = 0,15 m

hB2 = altura del bloque 2 en B = 0

 

EmA = Energía mecánica A = EcA + EpA

EcA = Energía cinética A = 1/ 2 m1 vA1^2 + 1 / 2 m2 vA2^2 = 0 (vA1 = vA2 = 0)

vA1 = velocidad bloque 1 en A = 0

vA2 = velocidad bloque 2 en A = 0

EpA = Energía potencial A = m1 g hA1 + m2 g hA2

hA1 = altura del bloque 1 en A = 0

hA2 = altura del bloque 2 en A = h = 0,15 m

 

Reemplazando

1 /2 m1 vB^2 + 1 /2 m2 vB^2 + m1 g h - (m2 g h) = 0

 

Despejando Vb

vB = raíz (2 (m2 – m1) g h / (m1 + m2)) = raíz (2 (28 kg - 22 kg) 10 m/s² 0,15 m / (22 kg + 28 kg)) = 0,6 m/s

 

Energía mecánica 24

El sistema esquematizado en la figura parte del reposo; se puede despreciar la masa de la cuerda y de la polea, y el rozamiento en la misma, pero entre el bloque 1 y el plano el coeficiente dinámico es µd = 0,16. La masa del bloque 1 es 80 kg, y la del bloque 2 es 20 kg. Por consideraciones energéticas, hallar con qué velocidad llegará al piso el bloque 2.

 

 

 

Posición A = estado inicial

Posición B = bloque 2 en el piso

 

ΔEmAB = WFnc

 

Donde

ΔEmAB = variación de energía mecánica desde A a B = EmB – EmA

 

EmB = Energía mecánica B = EcB + EpB

EcB = Energía cinética B = 1/ 2 m1 vB1^2 + 1/ 2 m2 vB2^2

m1 = masa del bloque 1 = 80 kg

vB1= velocidad del bloque 1

m2 = masa del bloque 2 = 20 kg

vB2= velocidad del bloque 2 = vB1 (la soga es ideal) = vB

EpB = Energía potencial B = m1 g hB1 + m2 g hB2

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

hB1 = altura del bloque 1 en B

hB2 = altura del bloque 2 en B = 0

 

EmA = Energía mecánica A = EcA + EpA

EcA = Energía cinética A = 1/ 2 m1 vA1^2 + 1 / 2 m2 vA2^2 = 0 (vA1 = vA2 = 0)

vA1 = velocidad bloque 1 en A = 0

vA2 = velocidad bloque 2 en A = 0

EpA = Energía potencial A = m1 g hA1 + m2 g hA2

hA1 = altura del bloque 1 en A = hB1

hA2 = altura del bloque 2 en A = h = 1 m

 

WFnc = trabajo de las fuerzas no conservativa (fuerza de rozamiento) = Froz d cos α

Froz = fuerza de rozamiento del bloque 1 = μd N

μd = coeficiente de rozamiento dinámico = 0,16

N = reacción del plano = P

P = peso del bloque 1 = m1 g

d = distancia recorrida por el bloque 1 = distancia recorrida por el bloque 2 = h

α = ángulo entre la fuerza y el desplazamiento = 180°

 

Reemplazando

1 /2 m1 vB^2 + 1 /2 m2 vB^2 - (m2 g h) = μd m1 g h (-1)

 

Despejando vB

vB = raíz ((m2 g h -   μd m1 g h) / (1 /2 m1 + 1/ 2 m2)) = raíz (2* 10 m/s² 1m (20 kg – 0,16 * 80 kg) / (80 kg + 20 kg)) =1,2 m/s

 

Energía mecánica 23

Un cuerpo es impulsado por un resorte como muestra el esquema de la figura. Considerando que el rozamiento es despreciable en el primer tramo, hasta llegar a B.

Datos:

R = 1 m; m = 2 kg; k = 200 N/m

 

  

Hallar:

 a.     La compresión del resorte para la cual se deja libre la masa si pasa por el punto A con la mínima velocidad posible.

N + P = m ac

 

Donde

N = reacción del riel = 0 (para v mínima)

P = peso del cuerpo = m g

m = masa del cuerpo = 2 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

ac = aceleración centrípeta = vA^2 / R

vA = velocidad en A

R = radio del riel = 1 m

 

Reemplazando y despejando vA

vA^2 = g R = 10 m/s² 1 m = 10 m²/s²

 

Posición Cero (O) = resorte comprimido

 

ΔEmOA = 0 (no ha fuerzas no conservativas)

 

Donde

ΔEmOA = variación de energía mecánica desde O a A = EmA - EmO = 0

 

EmO = Energía mecánica O = EcO + EpO + EpeO

EcO = Energía cinética O = 1/ 2 m vO^2 = 0 (vO = 0)

EpO = Energía potencial O = m g hO = 0 (hO = 0)

EpeO = Energía potencial elástica O = 1 / 2 k L^2

k = constante del resorte = 200 N/m

L = longitud de compresión del resorte

 

EmA = Energía mecánica A = EcA + EpA + EpeA

EcA = Energía cinética A = 1/ 2 m vA^2

vA = velocidad mínima en A 

EpA = Energía potencial A = m g hA

hA = altura A = 2 R

EpeA = energía potencial elástica en A = 1 /2 k LA^2 = 0 (LA = 0)

 

 Reemplazando

1/ 2 k L^2 = 1/ 2 m vA^2 + m g 2 R

 

Despejando L

L = raíz ((1 /2 m vA^2 + 2 m g R)/ (1/ 2 k)) = raíz (2 kg 10 m²/s² + 4 * 2 kg 10 m/s² 1 m) / (200 N/m)) = 0,71 m

  

b.     El trabajo de la fuerza de rozamiento si es apreciable desde B en adelante, y el cuerpo llega justo hasta el punto C

 

ΔEmAB = 0 (no hay fuerzas no conservativas)

 

Donde

ΔEmAB = variación de energía mecánica desde A a B = EmB – EmA = 0

 

EmA = Energía mecánica A = EcA + EpA

EcA = Energía cinética A = 1/ 2 m vA^2

vA = velocidad mínima en A

EpA = Energía potencial A = m g hA

hA = altura A = 2 R

 

EmB = Energía mecánica B

 

Reemplazando

EmB = 1 /2 m vA^2 +   m g 2 R = 1 / 2 * 2 kg 10 m²/s² + 2 kg 10 m/s² 2 * 1 m = 50 J

 

ΔEmBC = WFnc

 

Donde

ΔEmBC = variación de energía mecánica desde B a C = EmC – EmB

 

EmC = Energía mecánica C = EcC + EpC

EcC = Energía cinética C = 1/ 2 m vC^2 = 0 (vC = 0)

vC = velocidad en C = 0

EpC = Energía potencial C = m g hC

hC = altura C = 2 R

 

EmB = Energía mecánica B

 

WFnc = trabajo de las fuerzas no conservativa (fuerza de rozamiento)

Reemplazando

WFnc = m g 2 R - EmB =   2 kg 10 m/s² 2 * 1 m -  50 J = -10 J