Energía mecánica 23

Un cuerpo es impulsado por un resorte como muestra el esquema de la figura. Considerando que el rozamiento es despreciable en el primer tramo, hasta llegar a B.

Datos:

R = 1 m; m = 2 kg; k = 200 N/m

 

  

Hallar:

 a.     La compresión del resorte para la cual se deja libre la masa si pasa por el punto A con la mínima velocidad posible.

N + P = m ac

 

Donde

N = reacción del riel = 0 (para v mínima)

P = peso del cuerpo = m g

m = masa del cuerpo = 2 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

ac = aceleración centrípeta = vA^2 / R

vA = velocidad en A

R = radio del riel = 1 m

 

Reemplazando y despejando vA

vA^2 = g R = 10 m/s² 1 m = 10 m²/s²

 

Posición Cero (O) = resorte comprimido

 

ΔEmOA = 0 (no ha fuerzas no conservativas)

 

Donde

ΔEmOA = variación de energía mecánica desde O a A = EmA - EmO = 0

 

EmO = Energía mecánica O = EcO + EpO + EpeO

EcO = Energía cinética O = 1/ 2 m vO^2 = 0 (vO = 0)

EpO = Energía potencial O = m g hO = 0 (hO = 0)

EpeO = Energía potencial elástica O = 1 / 2 k L^2

k = constante del resorte = 200 N/m

L = longitud de compresión del resorte

 

EmA = Energía mecánica A = EcA + EpA + EpeA

EcA = Energía cinética A = 1/ 2 m vA^2

vA = velocidad mínima en A 

EpA = Energía potencial A = m g hA

hA = altura A = 2 R

EpeA = energía potencial elástica en A = 1 /2 k LA^2 = 0 (LA = 0)

 

 Reemplazando

1/ 2 k L^2 = 1/ 2 m vA^2 + m g 2 R

 

Despejando L

L = raíz ((1 /2 m vA^2 + 2 m g R)/ (1/ 2 k)) = raíz (2 kg 10 m²/s² + 4 * 2 kg 10 m/s² 1 m) / (200 N/m)) = 0,71 m

  

b.     El trabajo de la fuerza de rozamiento si es apreciable desde B en adelante, y el cuerpo llega justo hasta el punto C

 

ΔEmAB = 0 (no hay fuerzas no conservativas)

 

Donde

ΔEmAB = variación de energía mecánica desde A a B = EmB – EmA = 0

 

EmA = Energía mecánica A = EcA + EpA

EcA = Energía cinética A = 1/ 2 m vA^2

vA = velocidad mínima en A

EpA = Energía potencial A = m g hA

hA = altura A = 2 R

 

EmB = Energía mecánica B

 

Reemplazando

EmB = 1 /2 m vA^2 +   m g 2 R = 1 / 2 * 2 kg 10 m²/s² + 2 kg 10 m/s² 2 * 1 m = 50 J

 

ΔEmBC = WFnc

 

Donde

ΔEmBC = variación de energía mecánica desde B a C = EmC – EmB

 

EmC = Energía mecánica C = EcC + EpC

EcC = Energía cinética C = 1/ 2 m vC^2 = 0 (vC = 0)

vC = velocidad en C = 0

EpC = Energía potencial C = m g hC

hC = altura C = 2 R

 

EmB = Energía mecánica B

 

WFnc = trabajo de las fuerzas no conservativa (fuerza de rozamiento)

Reemplazando

WFnc = m g 2 R - EmB =   2 kg 10 m/s² 2 * 1 m -  50 J = -10 J