Energía mecánica 19

Un resorte de masa despreciable está apoyado contra el piso, con su eje vertical. Al colocarle encima una caja, el equilibrio se consigue con el resorte comprimido 10 cm por debajo de su posición original.

 

 

Posición A = caja sobre el resorte – resorte comprimido 10 cm

Fe – P = 0

 

Donde

Fe = fuerza elástica = k L1

k = constante del resorte

LA = compresión caja apoyada en el resorte = 10 cm = 0,10 m

P = peso = m g

m = masa de la caja

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

 

Reemplazando y despejando k

k = m g / LA = m g / 0,10 m

 

 

¿Desde qué altura por encima de su posición inicial deberá dejarse caer la caja sobre él, para que llegue a comprimirse hasta 30 cm por debajo de la misma?

 

Posición B = caja en el aire sobre el resorte

Posición C = caja sobre el resorte – resorte comprimido 30 cm

 

ΔEmBC = EmC - EmB

 

Donde

ΔEmBC = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)  

 

EmC = Energía mecánica en C = EcC + EpC + EpeC

EcC = Energía cinética C = 1/ 2 m vC^2 = 0 (vC = 0 en equilibrio)

EpC = Energía potencial C = m g hC

hC = altura final de la caja = - 30 cm = - 0,30 m  

EpeC = Energía potencial elástica C = 1 /2 k LC^2

LC = compresión del resorte = 30 cm = 0,30 m

 

EmB = Energía mecánica B = EcB + EpB + EpeB

EcB = Energía cinética B = 1/ 2 m vB^2 = 0 (vB = 0 se deja caer)

EpB = Energía potencial B = m g hB

hB = altura inicial de la caja

EpeB = Energía potencial elástica B = 1/ 2 k LB^2 = 0 (LB = 0 resorte sin compresión)

 

Reemplazando

m g hC + 1/ 2 ( m g / LA) LC^2 - m g hB = 0

 

Despejando hC

hB = hC + 1 /2 LC^2 / LA = - 0,30 m + 1/ 2 (0,30 m)^2 / 0,1 m = 0,15 m

 

Hallar también la velocidad con que pasará por la posición de equilibrio, y

 

ΔEmAC = EmC - EmA

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)  

 

EmC = Energía mecánica en C = EcC + EpC + EpeC

EcC = Energía cinética C = 1/ 2 m vC^2 = 0 (vC = 0 en equilibrio)

EpC = Energía potencial C = m g hC

hC = altura final de la caja = - 30 cm = - 0,30 m 

EpeC = Energía potencial elástica C = 1 /2 k LC^2

LC = compresión del resorte = 30 cm = 0,30 m

 

EmA = Energía mecánica A = EcA + EpA + EpeA

EcA = Energía cinética A = 1/ 2 m vA^2

vA = velocidad A

EpA = Energía potencial A = m g hA

hA = altura A = - 10 cm = - 0,10 m

EpeA = Energía potencial elástica A = 1/ 2 k LA^2

 

Reemplazando

m g hC + 1/ 2 ( m g / LA) LC^2 - ( m g hA + 1/ 2 m vA^2 + 1/ 2 ( m g / LA) LA^2= 0

 

Despejando vA

vA = raiz ( 2 g ( hC + 1 /2 LC^2 / L1 – hA – 1/ 2 LA) ) =

vA = raíz (2 10 m/s² [- 0,3 m + 1/ 2 (0,3 m)^2 / 0,1 m – (- 0,1 m ) – 1/ 2 0,1 m )) = 2 m/s

 

 

hasta qué altura ascenderá luego del rebote, si se desprecian los rozamientos.

 

Posición D = caja rebota

 

ΔEmBD = EmD - EmB

 

Donde

ΔEmBD = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)  

 

EmD = Energía mecánica en D = EcD + EpD + EpeD

EcD = Energía cinética D = 1/ 2 m vD^2 = 0 ( vD = 0 altura máxima)

EpD = Energía potencial D = m g hD

hD = altura máxima  

EpeD = Energía potencial elástica D = 1 /2 k LD^2 = 0 (resorte sin compresión)

 

EmB = Energía mecánica B = EcB + EpB + EpeB

EcB = Energía cinética B = 1/ 2 m vB^2 = 0 (vB = 0 se deja caer)

EpB = Energía potencial B = m g hB

hB = altura inicial de la caja

EpeB = Energía potencial elástica B = 1/ 2 k LB^2 = 0 (LB = 0 resorte sin compresión)

 

Reemplazando

.m g hD - m g hB = 0

 

Despejando hD

hD = hB =  0,15 m