Energía mecánica 16

Una varilla rígida de masa despreciable y de 80 cm de longitud puede girar en un plano vertical, alrededor de un eje horizontal que pasa por uno de sus extremos, mientras que al otro extremo está fijo un contrapeso de 2 kg. El contrapeso es lanzado hacia abajo, desde la posición A indicada en la figura.

a.     Determinar el vector velocidad en el punto A, si al girar con rozamiento despreciable la varilla se detuvo en posición vertical D.

 

ΔEmAD = EmD - EmA

 

Donde

ΔEmAD = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)  

 

EmD = Energía mecánica en D = EcD + EpD

EcD = Energía cinética en D = 1/ 2 m vD^2 = 0 (vD = 0)

EpD = Energía potencial en D = m g hD

m = masa del contrapeso = 2 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

hD = altura de la posición D = 2 R

R = radio = longitud de la varilla =80 cm = 0,80 m

 

EmA = Energía mecánica en A  = EcA + EpA

EcA = Energía cinética en A  = 1/ 2 m vA^2

vA = velocidad en A

EpA = Energía potencial en A  = m g hA

hA = altura de la posición A = R

 

Reemplazando y despejando vA

vA = raíz ((m g 2 R – m g R) / (1/ 2 m)) = raíz (2 g R)

vA = raíz (2 * 10 m/s² 0,80 m) = 4 m/s

 

b.     Determinar qué fuerza ejerce la varilla sobre el contrapeso, cuando éste pasa por las posiciones B, C y D, en ese caso.

Posición B

ΔEmDB = EmB - EmD

 

Donde

ΔEmDB = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)  

 

EmB = Energía mecánica en B = EcB + EpB

EcB = Energía cinética en D = 1/ 2 m vB^2

vB = velocidad en el punto B

EpB = Energía potencial en B = m g hB = 0 ( hB = 0)

 

EmD = Energía mecánica en D = EcD + EpD

EcD = Energía cinética en D = 1/ 2 m vD^2 = 0 (vD = 0)

EpD = Energía potencial en D = m g hD

hD = altura de la posición D = 2 R

 

Reemplazando y despejando vB^2

vB^2 = m g 2 R / (1/ 2 m) = 4 g R = 4 * 10 m/s² 0,80 m = 32 m²/s²

 

 

FB – P = m ac

 

Donde

FB = fuerza en B

P = peso = m g

ac = aceleración centrípeta =  vB^2 / R

 

Reemplazando y despejando FB

FB = m vB^2 / R + m g = 2 kg (32 m²/s^{2 /} 0,8 m + 10 m/s²) = 100 N

 

Posición C

ΔEmAC = EmC - EmA

 

Donde

ΔEmAC = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas)  

 

EmC = Energía mecánica en C = EcC + EpC

EcC = Energía cinética en C = 1/ 2 m vC^2

vC = velocidad en el punto C

EpC = Energía potencial en C = m g hC

hC = altura en la posición C = R

 

EmA = Energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = Energía cinética en A = 1/ 2 m vA^2

EpA = Energía potencial en A = m g hA

hA = altura de la posición A = R

 

 

Reemplazando y despejando vC^2

vC^2 = (m g R + 1/ 2 m vA^2 -  m g R) / (1/ 2 m) = vA^2 = 16 m²/s²

 

 

 

FC = m ac

 

Donde

FC = fuerza en C

ac = aceleración centrípeta = vC^2 / R

 

Reemplazando y despejando FC

FC = m vC^2 / R = 2 kg 16 m²/s^{2 /} 0,8 m = 40 N

 

Posición D

 

 

FD + P = 0

 

Donde

FD = fuerza en D

P = peso = m g

 

Reemplazando

FD = - m g = - 2 kg 10 m/s² = - 20 N

 

c.      El contrapeso se lanza desde el punto A con la misma velocidad que antes, pero ahora el rozamiento en el eje hace que la varilla se detenga en posición horizontal. Determinar el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento en el recorrido AC

 

ΔEmAC = WACnc

 

Donde

ΔEmAC = variación de la energía mecánica = EmC - EmA  

 

EmC = Energía mecánica en C = EcC + EpC

EcC = Energía cinética en C = 1/ 2 m vC^2 = 0 (vC =0)

EpC = Energía potencial en C = m g hC

hC = altura en la posición C = R

 

EmA = Energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = Energía cinética en A = 1/ 2 m vA^2

EpA = Energía potencial en A = m g hA

hA = altura de la posición A = R

 

WACnc = trabajo de la fuerza de rozamiento

Reemplazando

WACnc = m g R – (m g R + 1/ 2 m vA^2) = - 1/ 2 * 2 kg (4 m/s)^2 = - 16 J