Energía mecánica 13

Una caja de 30 kg se desliza por una superficie horizontal con rozamiento, cuyo coeficiente dinámico es μd = 0,4, hasta chocar con un resorte horizontal de masa despreciable, cuya constante es 7200 N/m y que inicialmente no posee deformación, al que comprime hasta detenerse en 0,5 m. Determinar la velocidad de la caja al llegar al resorte, y la que tenía a 10 m de su extremo.

 

Estado A = Caja con el resorte comprimido

Estado B = Caja al llegar al resorte (resorte sin deformación)

Estado C = Caja 10 m antes de llegar al resorte

 

 

Según y: N – P =0

 

ΔEmAB  =  WFn

 

donde

ΔEmAB = variación de la energía mecánica entre A y B = EmA – EmB

 

EmA = Energía mecánica en A = EcA + EpA + EpeA

EcA = Energía cinética en A = 1 /2 m vA^2 = 0 (vA = 0)

EpA = Energía potencial en A = m g hA = 0 (hA = 0)

EpeA = Energía potencial elástica en A = 1/ 2 k LA^2

k = constante del resorte = 7200 N/m

LA = longitud del resorte comprimido = 0,5 m

 

EmB = Energía mecánica en B = EcB + EpB + EpeB

EcB = Energía cinética en B = 1 /2 m vB^2

m = masa de la caja =30 kg

vB = velocidad en B

EpB = Energía potencial en B = m g hB = 0 (hB = 0)

EpeB = Energía potencial elástica en B = 1/ 2 k LB^2 = 0 (LB =0)

 

WFn = trabajo de la fuerza de rozamiento = Froz d cos α

Froz = fuerza de rozamiento = μd N

μd = coeficiente de rozamiento dinámico = 0,4

N = normal o reacción del plano = P

P = peso de la caja = m g

g = aceleración de gravedad = 10 m/s²

d = distancia recorrida = LA = 0,5 m

α  = ángulo formado entre la dirección la fuerza de rozamiento y desplazamiento = 180°

 

Reemplazando

1/ 2 k LA^2 – 1/ 2 m vB^2 = μd m g LB (-1)

 

Despejando vB

vB = raíz ((1/ 2 k LA^2 + μd m g LB) / (1/ 2 m)) = raíz ((1/ 2 * 7200 N/m (0,5 m) ^2 + 0,4 * 30 kg 10 m/s² 0,5 m) / (1 /2 * 30 kg) = 8 m/s

 

 

ΔEmAC = WFn

 

donde

ΔEmAC = variación de la energía mecánica entre A y C = EmA – EmC

 

EmA = Energía mecánica en A = EcA + EpA + EpeA

EcA = Energía cinética en A = 1 /2 m vA^2 = 0 (vA = 0)

EpA = Energía potencial en A = m g hA = 0 (hA = 0)

EpeA = Energía potencial elástica en A = 1/ 2 k LA^2

 

EmC = Energía mecánica en C = EcC + EpC + EpeC

EcC = Energía cinética en C = 1 /2 m vC^2

vC = velocidad en C

EpC = Energía potencial en C = m g hC = 0 (hC = 0)

EpeC = Energía potencial elástica en C = 1/ 2 k LC^2 = 0 (LC =0)

 

WFn = trabajo de la fuerza de rozamiento = Froz d cos α

Froz = fuerza de rozamiento = μd N = μd m g

d = distancia recorrida = 10 m + 0,5 m = 10,5 m

α  = ángulo formado entre la dirección la fuerza de rozamiento y desplazamiento = 180°

 

Reemplazando

1/ 2 k LA^2 – 1/ 2 m vC^2 = μd m g LC (-1)

 

Despejando vC

vC = raíz ((1/ 2 k LA^2 + μd m g LC) / (1/ 2 m)) = raíz ((1/ 2 * 7200 N/m (0,5 m)^2 + 0,4 * 30 kg 10 m/s² 10,5 m) / (1 /2 * 30 kg) = 12 m/s