Energía mecánica 20

Un péndulo simple de 64 cm de longitud, cuya lenteja tiene una masa de 0,2 kg, pasa por una posición (O) tal que el hilo forma un ángulo de 37° con la vertical.

 

 

a.     Si su velocidad en ese punto es 1,2 m/s, hallar qué velocidad tendrá al pasar por el punto más bajo (P).

ΔEmOP = EmO - EmP

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas) 

 

EmO = Energía mecánica en O = EcO + EpO

EcO = Energía cinética O = 1/ 2 m vO^2

m = masa de la lenteja = 0,2 kg

vO = velocidad en O = 1,2 m/s

EpO = Energía potencial O = m g hO

g = aceleración de la gravedad  = 10 m/s²

hO = altura de la lenteja = L – L cos 37°  = L ( 1 – cos 37°) = L (1 – 0,8) = 0,2 L

L= longitud del péndulo = 64 cm = 0,64 m

 

EmP = Energía mecánica P = EcP + EpP

EcP = Energía cinética P = 1/ 2 m vP^2

vP = velocidad en P

EpP = Energía potencial P = m g hP = 0 (hP = 0)

 

Reemplazando

m g 0,2 L + 1/ 2 m vO^2 -  1/ 2 m vP^2 = 0

 

Despejando vP

vP = raíz (2 g  0,2 L + vO^2) = raíz (2 * 10 m/s²  0,2 * 0,64 m + (1,2 m/s)^2) = 2 m/s

 

b.     Cuál deberá ser su mínima velocidad en O, para que en algún instante el hilo se halle horizontal (posición Q).

 

ΔEmOQ = EmO - EmQ

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas no conservativas) 

 

EmO = Energía mecánica en O = EcO + EpO

EcO = Energía cinética O = 1/ 2 m vO^2

EpO = Energía potencial O = m g hO

 

EmQ = Energía mecánica Q = EcQ + EpQ

EcQ = Energía cinética Q = 1/ 2 m vQ^2  = 0 (vQ = 0)

vQ = velocidad en Q

EpQ = Energía potencial Q = m g hQ

hQ = altura en la horizontal = L

 

Reemplazando

m g 0,2 L + 1/ 2 m vO^2 -  m g L = 0

 

Despejando vP

vO = raíz ( 2 g L - 2 g  0,2 L) = raíz (2 * 10 m/s²  0,64 m ( 1 – 0,2 ))  = 3,2 m/s

  

c.      Para el caso a: calcule la tensión del hilo en O y en P. Para el caso b: calcule la tensión en Q.

 

Según r: T – Pr = m ac

 

Donde

T = TO = tensión en O

Pr = componente r del peso P = P cos 37°

P = peso = m g

m = masa de la lenteja = 0,2 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

ac = aceleración centrípeta = vO^2/ L

vo = velocidad en O = 1,20 m/s

L = longitud del péndulo = 64 cm = 0,64 m

 

Reemplazando y despejando TO

TO = m g cos 37° + m vO^2/L = 0,2 kg 10 m/s² 0,8 + 0,2 kg (1,2 m/s)^2/ 0,64 m  = 2,05 N

 

 

 

T – P = m ac

 

Donde

T= TP = Tensión en P

P = peso = m g

ac = aceleración centrípeta = vP^2 / L

vP = velocidad en P = 2 m/s

 

Reemplazando

TP = m g + m vP^2 / L = 0,2 kg (10 m/s² + (2 m/s)^2 / 0,64 m) =  3,25 N

 

 

T = m ac

 

Donde

T = TQ = Tensión en Q

ac = aceleración centrípeta = vQ^2 / L

vQ = velocidad en Q = 0

 

TQ = 0 N