Energía mecánica 21

 Un cuerpo de 4 kg es impulsado por un resorte de constante elástica k1 = 6400 N/m por una pista horizontal en la que el rozamiento es despreciable, salvo en la zona BC donde el coeficiente respectivo es µd = 0,3; rebota contra otro resorte de constante k2, e ingresa nuevamente a la zona con rozamiento, deteniéndose exactamente en el punto B. Hallar:

 

El sistema es horizontal à No hay variación de la energía potencial

 

a.     La compresión inicial máxima del resorte de constante k1.

 

Posición A : resorte 1 comprimido

ΔEAB2 = WFn

 

Donde

ΔEAB2 = variación de energía mecánica desde A  a B2 = EmB2 - EmA

 

EmB2 = energía mecánica segunda pasada por B = EcB2 + EpeB2

EcB2 = energía cinética B2 = 1/ 2 m vB2^2 = 0 (vB2 = 0)

EpeB2 = energía potencial elástica B2 = 1/ 2 k1 LB2 = 0 (LB2 = 0)

 

EmA = energía mecánica A = EcA + EpeA

EcA = energía cinética A = 1/ 2 m vA2^2 = 0 (vA = 0)

EpeA = energía potencial elástica A = 1/ 2 k1 LA^2

k1 = constante del resorte = 6400 N/m

LA = compresión del resorte

 

WFn = trabajo de la fuerza no conservativa = Froz 2 d cos α

Froz = fuerza de rozamiento = μd N

μd = coeficiente de rozamiento dinámico = 0,3

N = reacción del plano = P

P = peso del cuerpo = m g

m = masa del cuerpo = 4 kg

g = aceleración de la gravedad = 10 m/s²

d = distancia recorrida = 3 m

α = ángulo comprendido entre el sentido de la fuerza y la dirección del desplazamiento = 180°

 

Reemplazando

0 – 1 /2 k1 LA^2   = μd m g 2 d cos 180°

 

Despejando LA

LA = raíz (μd m g 2 d / (1/ 2 k1) = raíz (4 *0,3* 4 kg 10 m/s² 3 m / 6400 N/m) = 0,15 m

b.     La constante elástica del otro resorte, sabiendo que ambos sufrieron idéntica compresión máxima.

ΔEmAC = WFn

 

Donde

ΔEmAC = variación de energía mecánica desde A a C = EmC - EmA

 

EmC = energía mecánica C

 

EmA = energía mecánica A = EcA + EpeA

EcA = energía cinética A = 1/ 2 m vA2^2 = 0 (vA = 0)

EpeA = energía potencial elástica A = 1/ 2 k1 LA^2

k1 = constante del resorte = 6400 N/m

LA = compresión del resorte = 0,15 m

 

WFn = trabajo de la fuerza no conservativa = Froz d cos α

Froz = fuerza de rozamiento = μd N

N = reacción del plano = P

P = peso del cuerpo = m g

α = ángulo comprendido entre el sentido de la fuerza y la dirección del desplazamiento = 180°

 

Reemplazando

EmC -  1/ 2 k1 LA^2 =    μd m g d (-1)

 

Despejando EmC

EmC = - μd m g d + 1 / 2 k1 LA2 = -  0,3* 4 kg 10 m/s² 3 m + 1 /2 6400 N/m (0,15 m)^2 = 36 J

 

Posición D = resorte 2 comprimido

ΔECD = 0 (no ha fuerzas no conservativas)

 

Donde

ΔECD = variación de energía mecánica desde C a D = EmD - EmC = 0

 

EmD = energía mecánica D = EcD + EpeD

EcD = energía cinética D = 1/ 2 m vD^2 = 0 (vD = 0)

EpeD = energía potencial elástica D = 1/ 2 k2 LD^2

.k2 = constante del otro resorte

LD = compresión del resorte máxima = compresión del resorte 1 = 0,15 m

 

EmC = energía mecánica C = 36 J

 

Reemplazando

EmC -  1/ 2 k2 LA^2 =  0

 

Despejando k2

k2 = 2 EmC / LA^2 = 2 * 36 J / (0,15 m)^2 = 12 J = 3200 N/ m

 

c.      En qué punto se detendrá al repetir la experiencia con las mismas condiciones iniciales, sustituyendo el resorte 2 por otro con una constante 13 veces mayor

 

Si se reemplaza el resorte 2 por uno de constante mayor  à la compresión será menor, porque la energía almacenada es constante ( = EmD) à Se detendrá en el mismo lugar