E.3.
En el instante t = 0 s, un chico en la posición A, comienza a girar sobre una
calesita, que parte del reposo en sentido antihorario, describiendo una
trayectoria circular de 3 m de radio con aceleración angular constante. En la
figura adjunta se esquematiza su trayectoria vista desde arriba. Sabiendo que
tarda 12 segundos en completar su primera vuelta, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones
es la única verdadera?
Ecuación horaria del desplazamiento
y velocidad angular
α = αo + ωo t + ½ γ t2
ω = ωo + γ t
donde
α = desplazamiento angular
αo = desplazamiento angular inicial
(A) = 0
ωo = velocidad angular inicial =
0 (parte del reposo)
γ = aceleración angular
t = tiempo transcurrido
reemplazando para t = 12 s tiempo
que tarda en dar la primera vuelta (α = 2π) y despejando γ
γ = 2 α / t2 = 2 * 2π / (12 s)2 = π /36 1/s2
Ecuaciones horarias desplazamiento
y velocidad angular
α = ½ π /36 1/s2 t2 = π /72 1/s2 t2
ω = π /36 1/s2 t
Ecuación horaria de la velocidad
v = ω R
donde
v = velocidad tangencial
R = radio = 3 m
Reemplazando en la ecuación
horaria de la velocidad
v = ω R = π /36 1/s2
t 3 m = π /12 m/s2 t
aceleración
a = at + ac (ecuación vectorial)
donde
a = aceleración del chico
at = aceleración tangencial (tangencial a la trayectoria) = R γ = 3m π /36 1/s2 = π /12 m/s2
ac = aceleración centrípeta (perpendicular a la trayectoria y apunta hacia el centro) = ω v = π /36 1/s2
t * π /12 m/s2 t = π2 / 432 m/s4 t2
En t = 0s, el vector aceleración a del
chico apunta hacia el centro de la trayectoria
Falso
a = at + ac (ecuación vectorial)
para t = 0
at = R γ = 3 m π
/36 1/s2 = π /12 m/s2 ---------- dirección tangencial a la trayectoria
ac = ω v = 0
a(t = 0s) = at ---------- dirección
tangencial a la trayectoria
En t = 3s, el vector aceleración a del
chico es perpendicular al vector velocidad v
Falso
Para t = 3 s
a = at + ac
at = R γ = π /12 m/s2 ----------
dirección tangencial a la trayectoria (paralelo a la velocidad)
ac = π2
/ 432 m/s2 t2 = π2 /432 m/s4 (3s)2 = π2 /48 m/s2 ---------- dirección perpendicular a la trayectoria ( perpendicular a la
velocidad)
El vector aceleración tiene una componente en la dirección paralela a la velocidad
En cualquier t ≠ 0
En t = 6s, el chico pasa por primera vez
por B
Falso
Para t = 6 s
α(6s) = π /72 1/s2 ( 6s)2 = 1/2 π
αB = π
----------- α(6s) ≠ αB
█ En t = 12s, el vector aceleración del
chico es a = ( - π2 /3 ȋ + π
/12 ĵ) m/s2
Verdadero
Para t = 12 s ----------- posición
A
a = at + ac
at = R γ = π /12 m/s2 ----------
dirección tangencial a la trayectoria (paralelo a la velocidad) = ĵ
ac = π2
/ 432 m/s2 t2 = π2 /432 m/s4 (12s)2 = π2 /3 ----------
dirección perpendicular a la trayectoria
( perpendicular a la velocidad) = - ȋ
a = ( - π2
/3 ȋ + π /12 ĵ ) m/s2
En t = 24s, el chico completa la segunda
vuelta
Falso
Para t = 24 s
α(24s) = π /72 1/s2 ( 24s)2 = 8 π
αA = 4 π (segunda vuelta 2 * 2 π)
----------- α(24s) ≠ αA
Al pasar por primera vez por B, el
vector aceleración del chico es a = ( - π2
/3 ȋ - π /12 ĵ ) m/s2
Falso
En B
αB = π /72 1/s2 t2 = π
despejando t
t = (π /( π /72 1/s2 )
)1/2 = (72 s2 )1/2
reemplazando en la aceleración
a = at + ac
at = R γ = π /12 m/s2 ----------
dirección tangencial a la trayectoria (paralelo a la velocidad) = -ĵ
ac = π2
/ 432 m/s2 t2 = π2 /432 m/s4 ((72 s2 )1/2)2 = π2 /6 ----------
dirección perpendicular a la trayectoria
( perpendicular a la velocidad) = ȋ
a = (π2
/6 ȋ - π /12 ĵ ) m/s2 ----------- aceleración en B
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