Dinámica – 55 Movimiento circular

Dinámica 55. El sistema de la figura está compuesto por tres cuerpos de igual masa unidos por tres varillas a, b y c de igual longitud y de masa despreciable. En todo instante los tres cuerpos se mantienen alineados girando en un plano horizontal. Se desprecian los rozamientos. Considerar el instante en el que el módulo de la velocidad del cuerpo 3 es v_o.

Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:

a) Los tres cuerpos tienen la misma velocidad.

v1 = ω a

v2 = ω (a + b) = ω 2 a

v3 = ω (a + b + c) = ω 3 a = vo

Falso. v1  <  v2  <  v3

b) Los tres cuerpos tienen la misma velocidad angular.

v3 = ω (a + b + c) = ω 3 a = vo

despejando ω

ω = vo / 3a

Verdadero. Están unidos por tres varillas rígidas y giran juntos

c) Las fuerzas ejercidas por las varillas a, b y c tienen igual módulo.

DCL

Cuerpo 1  ----- > ∑F = T1c – T21 = m1 ac1

Cuerpo 2  ----- > ∑F = T12 – T23 = m2 ac2

Cuerpo 3  ----- > ∑F = T32 = m3 ac3

donde

m1, m2 y m3  = masa del cuerpo 1,2 y 3  = m

T1c = tensión entre el cuerpo 1 y el centro de la trayectoria = Ta

T12 = tensión que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2

T21 = tensión que ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1

| T12 | = | T21 | = Tb par de acción-reacción

T23 = tensión que ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 3

T32 = tensión que ejerce el cuerpo 3 sobre el cuerpo 2

| T32 | = | T23 | = Tc par de acción-reacción

ac1, ac2 y ac3 = aceleración centrípeta de los cuerpos 1, 2 y 3 = ω² R

ω = velocidad angular = vo / 3a

R1 = radio del cuerpo 1 = a

R2 = radio del cuerpo 2 = a + b = 2a

R3 = radio del cuerpo 3 = a + b + c = 3a

sumado las tres ecuaciones

Ta = (m a + m 2 a + m 3 a) (vo/ (3 a))² = 6 m a ( vo² / (9 a²) = 6/9 m vo² /a

reemplazando en la ecuación del cuerpo 1

Tb = Ta –m (vo / 3 a)² a = 6/9 m vo² /a – 1/9 m vo² /a = 5/9 m vo² /a

reemplazando en la ecuación del Cuerpo 3

Tc = m (vo / 3 a)² 3 a = 3/9 m vo² /a

Falso. Ta > Tb > Tc

d) El módulo de la fuerza ejercida por la varilla a es mayor que el de la ejercida por la b.

Verdadero. Ta > Tb > Tc

e) La velocidad angular del cuerpo 1 es menor que la del cuerpo 2.

Falso. La velocidad angular es la misma para todos los cuerpos

f) El módulo de la aceleración centrípeta del cuerpo 1 es menor que el del cuerpo 2.

ac1 = ω² a

ac2 = ω² 2 a

ac3 = ω² 3 a

Verdadero. ac1 < ac2 < ac3

g) El módulo de la aceleración centrípeta del cuerpo 3 es menor que el del cuerpo 2.

Falso.  ac1 < ac2 < ac3