Dinámica – 61 Movimiento circular

Dinámica 61. Una partícula de masa m, atada a una cuerda ideal de 4,5 m de longitud, gira de modo que la cuerda forma un ángulo de θ con la vertical (péndulo cónico), como muestra la figura. Despreciando todo clase de rozamiento.

a) ¿Qué tipo de movimiento realiza la partícula?

La partícula describe una circunferencia plana, con movimiento circular uniforme (|v| constante)

b) Si θ = 30º, ¿cuánto vale la velocidad angular de la partícula? ¿Depende este valor de su masa?

Ecuaciones de Newton

Según x ---- > ∑F = Tx = m ac

Según y ---- > ∑F = Ty – P = 0

donde

T = tensión de la soga

Tx = T sen θ

Ty = T cos θ

θ  = ángulo de la soga con la vertical = 30º

ac = aceleración centrípeta = ω²  R

ω = velocidad angular

R = radio de giro 

m = masa

P = peso = m g

Radio de giro

donde

L = longitud de la cuerda = 4,5 m

θ  = ángulo de la soga con la vertical = 30º

R = radio de giro = L sen θ = 2,25 m

Reemplazando Tx y Ty en ambas ecuaciones

T sen θ = m ω²  R

T cos θ  = m g

Dividiendo ambas ecuaciones y despejando ω

ω = (g tan θ / R)^1/2 = (10 m/s² tan 30º / 2,25 m)^1/2  = 1,60 s^-1 < ------------ velocidad angular

No depende de la masa

c) Si m = 5 kg, calcular la tensión que ejerce la cuerda.

Reemplazando en la ecuación según y y despejando T

T = m g / cos θ = 5 kg 10 m/s² /  cos 30º = 57,74 N < --------- tensión de la cuerda

d) ¿Cómo variarían el ángulo θ y la tensión de la cuerda si la partícula girara con una velocidad angular mayor que la calculada en b)?

despejando θ de la ecuación de ω

tan θ = ω²  R / g 

mayor ω ---- > mayor θ

En la fórmula de T  

T = m g / cos θ

mayor ω ---- > mayor θ ------- > menor cos θ ------ > mayor T

e) La partícula, ¿podría permanecer girando con la cuerda horizontal? Justifique.

No. La tensión siempre tiene una componente según y que compensa el peso.