Dinámica 40. Las masas de los cuerpos
A y B en la figura son 10 kg y 4 kg, respectivamente. El
coeficiente de rozamiento estático entre A y la mesa es de 0,2. No hay
rozamiento entre el cuerpo A y el C.
a) Hallar
para cada caso la mínima masa de C que evitará que A se mueva.
Figura i
DCL
Ecuaciones de Newton
Cuerpo A según x ----- > ∑F = - FrozA + T = 0
Cuerpo A según y ----- > ∑F = NA – PA – FCA = 0
Cuerpo C según y ----- > ∑F = FAC – PC = 0
Cuerpo B según y ----- > ∑F = T - PB = 0
donde
FrozA = fuerza de rozamiento
estático máximo entre el cuerpo A y la mesa = μe NA
μe = coeficiente de
rozamiento estático entre el cuerpo A y la mesa
= 0,2
NA = fuerza que ejerce la
mesa sobre el cuerpo A
T = tensión de la soga
FCA = fuerza ejercida por el
cuerpo C sobre el cuerpo A
FAC = fuerza ejercida por el
cuerpo A sobre el cuerpo C
| FCA | = | FAC | par de
acción-reacción
PA, PB, PC = peso de los
cuerpos A, B y C respectivamente = masa * g
mA = masa del cuerpo A = 10
kg
mB = masa del cuerpo B = 4kg
mC = masa del cuerpo C
sumando las ecuaciones según
y de los cuerpos A y C y despejando NA
NA = PA + PC = mA g + mC g
calculando FrozA
FrozA = μe ( mA + mC) g
restando las ecuaciones
según x del cuerpo A y según y del cuerpo B
PB = FrozA = μe ( mA + mC) g
despejando mC
mC = mB/ μe - mA =
4 kg/0,2 - 10 kg = 10 kg < --------- masa mínima de C
Figura ii
DCL
Cualquiera sea la masa de C el cuerpo A no se mueve.
b) Si en (i)
se retira C y el coeficiente entre A y la mesa es μd = 0,1;
¿cuál es la aceleración del sistema?
DCL
Ecuaciones de Newton
Cuerpo A según x ----- > ∑F = - FrozA + T = mA a
Cuerpo A según y ----- > ∑F = NA – PA = 0
Cuerpo B según y ----- > ∑F = T - PB = mB (-a)
donde
FrozA = Fuerza de rozamiento
dinámico entre el cuerpo A y la mesa = μd NA
μd = coeficiente de
rozamiento dinámico entre el cuerpo A y la mesa
= 0,1
NA = fuerza que ejerce la
mesa sobre el cuerpo A
T = tensión de la soga
PA, PB = peso de los cuerpos
A y B respectivamente = masa * g
mA = masa del cuerpo A = 10
kg
mB = masa del cuerpo B = 4kg
a = aceleración del sistema
despejando NA de la ecuación
según y del cuerpo A
NA = PA = mA g
calculando FrozA
FrozA = μd mA g
restando las ecuaciones
según x del cuerpo A y según y del cuerpo B y despejando a
a = g (mB - μd mA) / (mA +
mB) = 10 m/s2 (4 kg – 0,1*10 kg) / (10 kg + 4 kg) = 2,14 m/s2
< --- aceleración
c) Hallar la
velocidad relativa de A respecto de B después de 0,5 s de retirado el
cuerpo C (caso i), tome un sistema de coordenadas cuyo eje horizontal (x)
apunte a la derecha y el vertical (y) hacia arriba.
|vA| = a t = 2,14 m/s2 * 0,5 s = 1,07 m/s
vA = 1,07 m/s î (dirección x, sentido positivo)
|vB| = 1,07 m/s ( la
soga es ideal)
vB = - 1,07 m/s ĵ
(dirección y, sentido negativo)
velocidad
relativa de A respecto a tierra = velocidad relativa de A respecto a B +
velocidad relativa de B respecto a tierra
vA = vAB + vB
(vectorial)
reemplazando y
despejando vAB
vAB = 1,07 m/s î
+ 1,07 m/s ĵ < ----------
velocidad relativa de A respecto a B
d) ¿Qué
coeficiente de rozamiento es necesario entre el cuerpo A y C para que los
cuerpos de la situación (ii) permanezcan en equilibrio.
Considerar
que el valor de la masa de C es el calculado en a) i).
DCL
Ecuaciones de Newton
Cuerpo A según x ----- > ∑F = - FrozA + FrozBA = 0 (está
en equilibrio)
Cuerpo A según y ----- > ∑F = NA – PA - FCA = 0
Cuerpo B según y ----- > ∑F = T - PB = 0 (está en
equilibrio)
Cuerpo C según x ----- > ∑F = - FrozAB + T = 0 (está en
equilibrio)
Cuerpo C según y ----- > ∑F = FAC – PC = 0
donde
FrozA = Fuerza de rozamiento
estático máximo entre el cuerpo A y la mesa = μe NA
μe = coeficiente de
rozamiento estático entre el cuerpo A y la mesa
= 0,2
NA = fuerza que ejerce la
mesa sobre el cuerpo A
FCA = fuerza ejercida por el
cuerpo C sobre el cuerpo A
FAC = fuerza ejercida por el
cuerpo A sobre el cuerpo C
| FCA | = | FAC | par de
acción-reacción
FrozCA = fuerza de
rozamiento entre los cuerpos A y C,
sobre el cuerpo A = μeCA FAC
μeCA = coeficiente de
rozamiento estático entre los cuerpos A y C
FrozAC = fuerza de
rozamiento entre los cuerpos A y C,
sobre el cuerpo C
| FrozCA | = | FrozAC | par
de acción-reacción
T = tensión de la soga
PA, PB, PC = peso de los
cuerpos A, B y C respectivamente = masa
* g
mA = masa del cuerpo A = 10
kg
mB = masa del cuerpo B = 4kg
mC = masa del cuerpo C = 10
kg
despejando FAC de la ecuación según y del cuerpo C
FAC = PC = mC g
FrozAB = μeCA FAC = μeCA mC
g
restando las ecuaciones
según y del cuerpo B y según x del cuerpo C y despejando FrozAB
FrozAB = PB = mB g
reemplazando FAC e igualando
μeCA mC g = mB g
despejando
μeCA = mB / mC =
4 kg / 10 kg = 0,4 o mayor < -------- coeficiente de rozamiento entre A y
C
e)¿Qué pasaría,
en el caso (ii), si el coeficiente de rozamiento estático entre A y C y entre A
y la mesa valiera 0,2? Tomar μd = 0,1 para ambas
superficies.
Considerar que el
valor de la masa de C es el calculado en a) i). ¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento
entre A y el piso, y entre A y C.?
Ecuaciones de Newton
Cuerpo A según x ----- > ∑F = - FrozA + FrozBA = mA aA
Cuerpo A según y ----- > ∑F = NA – PA - FCA = 0
Cuerpo B según y ----- > ∑F = T - PB = mB (-aB)
Cuerpo C según x ----- > ∑F = - FrozAB + T = mC aC
Cuerpo C según y ----- > ∑F = FAC – PC = 0
donde
FrozA = Fuerza de rozamiento
dinámico entre el cuerpo A y la mesa = μd NA
μe = coeficiente de
rozamiento dinámico entre el cuerpo A y la mesa
= 0,1
NA = fuerza que ejerce la
mesa sobre el cuerpo A
FCA = fuerza ejercida por el
cuerpo C sobre el cuerpo A
FAC = fuerza ejercida por el
cuerpo A sobre el cuerpo C
| FCA | = | FAC | par de
acción-reacción
FrozCA = fuerza de
rozamiento entre los cuerpos A y C,
sobre el cuerpo A = μdCA FAC
μeCA = coeficiente de
rozamiento dinámico entre los cuerpos A y C = 0,1
FrozAC = fuerza de
rozamiento entre los cuerpos A y C,
sobre el cuerpo C
| FrozCA | = | FrozAC | par
de acción-reacción
T = tensión de la soga
PA, PB, PC = peso de los
cuerpos A, B y C respectivamente = masa
* g
mA = masa del cuerpo A = 10
kg
mB = masa del cuerpo B = 4kg
mC = masa del cuerpo C = 10
kg
aA = aceleración del cuerpo A =
0 < --------- aceleración del cuerpo
A
(μeCA = 0,2 < 0,4 (condición de d) el cuerpo B se desliza sobre el
cuerpo A)
aB = aceleración del cuerpo B
aC = aceleración del cuerpo C = aB ( la soga es ideal) = a
Fuerza de
rozamiento entre A y C
despejando FAC de la ecuación según y del cuerpo C
FAC = PC = mC g
FrozAB = μdCA FAC = μdCA mC
g = 0,1 * 10 kg * 10 m/s2 = 10 N < -------- fuerza de rozamiento
entre A y C
restando las ecuaciones
según y del cuerpo B y según x del cuerpo C
PB - FrozAB = mB a + mC a
despejando a
a = g (mB - μdCA mC) / (mB + mC) = 10 m/s2 ( 4 kg – 0,1 * 10 kg) / (
4 kg + 10 kg) = 2,14 m/s2
aB = aC = 2,14 m/s2 < ----------- aceleración
de los cuerpos B y C
Fuerza de rozamiento entre A y el piso
reemplazando aA = 0 en la ecuación según x del cuerpo A y
despejando FrozA
FrozA = FrozAB = 10 N
< ---------- fuerza de rozamiento entre A y la mesa
En el punto e) porque la aceleracion de A es igual a cero ?
ResponderEliminarEl punto e) corresponde a la figura ii
ResponderEliminarμeCA = 0,2 < 0,4 (condición de d)
----------- cuerpo B se desliza sobre el cuerpo A y el cuerpo A se queda quieto
----------- aA = 0
Porque no se desliza A no debería ser arrastrado por C porque existe el rozamiento dinámico entre ambos
EliminarEn el caso e) Estoy confundido: Porque al multiplicar el coeficiente de rozamiento estático con la normal de A, no me da 10N. Sería 0,2 x 200N y me da 40N.
ResponderEliminar¿Qué hago mal?
A no se mueve.
ResponderEliminarC se desliza sobre A, el coeficiente es el dinámico (0,1)
Pero por qué al calcular el rozamiento con la mesa, usando el coeficiente estático de A con su Normal, no me da lo mismo?
EliminarSi hay un rozamiento dinámico entre ellos, uno de ellos se desliza respecto del otro.
EliminarSi el rozamiento fuera estático, ambos se deslizarían juntos
No necesariamente.
ResponderEliminarEl coeficiente estático por la normal da la fuerza de rozamiento máxima.
Mientras la fuerza de rozamiento entre A y C sea menor o igual a la fuerza de rozamiento máxima, A no se mueve.
En este caso es menor, por eso no se mueve.
Según Newton (suma de fuerzas = 0) la fuerza de rozamiento entre A y la mesa = fuerza de rozamiento entre A y C.
Para el caso D, por qué el ue debería ser mayor o igual a ese número?
ResponderEliminarLa condición para que no se desplace
ResponderEliminarFroz AC - Peso B = 0
Froz AC es la fuerza de rozamiento estático entre A y C.
La fuerza de rozamiento estático crece hasta llegar a su máximo = ue N
Si ue > 0,4 no se va a mover, no alcanzo el máximo
Si ue = 0,4 alcanza su máximo y no se mueve
Si ue < 0,4 se mueve y la froz se convierte en dinámica
Hola noemi, si es mayor no debería moverse? al romper con el Ue MAX?
Eliminarue > 0,4 la fuerza de rozamiento ( equivale a un u = 0,4) es menor al máximo por eso no se mueve
EliminarClaro, y si es mayor se movería
EliminarHola Noemi ¿Por qué en la "Figura ii cuerpo A" hay rozamiento entre el cuerpo A y el piso, si A no se mueve ni actúa ninguna fuerza horizontal sobre el?
ResponderEliminarA priori no sabemos si se mueve.
ResponderEliminarOk, gracias!
ResponderEliminarhola noemi, quería saber porque el cuerpo y de b es ∑F = T - PB = mB (-a)"
ResponderEliminarPorque la aceleración es negativa? es porque está frenando?
El cuerpo B esta bajando.
ResponderEliminarhola noemi, no entiendo por qué en el punto E el cuerpo A no se mueve. vi que lo explicaste arriba pero sigo sin entender.
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