Dinámica – 37 Fuerza de rozamiento

Dinámica 37. En los tres esquemas a continuación, las masas de los cuerpos y la fuerza externa F son datos del problema. Hay rozamiento entre los bloques A y B (figuras i e ii) y entre el bloque B y la pared (iii).

a) Dibujar el diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo.

DCL - Caso i

DCL – Caso ii

DCL – Caso iii

b) Explicitar los pares acción-reacción para cada una de las fuerzas actuantes.

Caso i y ii

PA = peso del cuerpo A = fuerza de atracción de la Tierra sobre el cuerpo A

Par de acción- reacción = fuerza de atracción del cuerpo A sobre la Tierra

PB = peso del cuerpo B = fuerza de atracción de la Tierra sobre el cuerpo B

Par de acción- reacción = fuerza de atracción del cuerpo B sobre la Tierra

FrozAB = fuerza de rozamiento ejercida por el cuerpo A sobre el cuerpo B

FrozBA = fuerza de rozamiento ejercida por el cuerpo B sobre el cuerpo A

| FrozAB | = | FrozBA | Par de acción-reacción

NB = fuerza ejercida por la superficie sobre el cuerpo B

Par de acción-reacción fuerza ejercida sobre la superficie por el cuerpo B

FAB = fuerza ejercida por el cuerpo  A sobre el cuerpo B

FBA = fuerza ejercida por el cuerpo  B sobre el cuerpo A

| FAB | = | FBA | Par de acción-reacción

Caso iii

PB = peso del cuerpo B = fuerza de atracción de la Tierra sobre el cuerpo B

Par de acción- reacción = fuerza de atracción del cuerpo B sobre la Tierra

Froz = fuerza de rozamiento ejercida por la pared sobre el cuerpo B

Par de acción- reacción = fuerza de rozamiento ejercida por el cuerpo B sobre la pared

NB = fuerza ejercida por la superficie sobre el cuerpo B

F = fuerza ejercida por el cuerpo B sobre la superficie

| NB | = | F | Par de acción-reacción

c) Calcular la fuerza normal que ejerce sobre cada cuerpo la superficie sobre la cual está apoyado.

Caso i y ii

Ecuaciones de Newton

Cuerpo A según y ----- > ∑F = FBA – PA = 0

Cuerpo B según y ----- > ∑F = NB – PB – FAB = 0

Despejando FBA de la ecuación según y del cuerpo A

FBA = PA < ---------- Fuerza ejercida por el cuerpo  B sobre el cuerpo A

| FAB | = | FBA | = PA  < ---------- Fuerza ejercida por el cuerpo  A sobre el cuerpo B

Despejando NB de la ecuación y del cuerpo B

NB = PB + FAB = PA + PB  < -------- Fuerza ejercida por la superficie sobre el cuerpo B

Caso iii

Ecuaciones de Newton

Cuerpo B según x ----- > ∑F = F - NB = 0

Despejando NB de la ecuación x del cuerpo B

NB = F< -------------- Fuerza ejercida por la superficie sobre el cuerpo B

d) El coeficiente de rozamiento estático entre los bloques A y B (i e ii), y entre el bloque y la pared (iii) es 0,2 y en ambos casos el rozamiento dinámico es 0,1. Si m_A = 2 kg y m_B = 5 kg y el módulo de F es tal que no produce deslizamiento entre bloques (o entre el bloque y la pared), calcular la fuerza de rozamiento en cada caso.

Caso i

FrozBAe = μe FBA = μe PA = μe mA g = 0,2 * 2 kg * 10 m/s² = 4 N < ------- Fuerza de rozamiento estático (máximo)

Ecuaciones de Newton

Cuerpo A según x ----- > ∑F = FrozBA = mA a

Cuerpo B según x ----- > ∑F = - FrozAB + F = mB a

Despejando a de la ecuación según x del cuerpo A

a = FrozBA / mA

Sumando ambas ecuaciones y reemplazando a

F = (mA + mB) FrozBA / mA = ( 2 kg + 5 kg)/ 2 kg FrozBA = 7/2 FrozAB

FrozBAe = 2/7 F  < ---------- Fuerza de rozamiento estático

Caso ii

FrozBAe = μe FBA = μe PA = μe mA g = 0,2 * 2 kg * 10 m/s² = 4 N < ------- Fuerza de rozamiento estático (máxima)

Ecuaciones de Newton

Cuerpo A según x ----- > ∑F = - FrozBA + F = mA a

Cuerpo B según x ----- > ∑F = + FrozAB = mB a

Despejando a de la ecuación según x del cuerpo B

a = FrozAB / mB

Sumando ambas ecuaciones y reemplazando a

F = (mA + mB ) FrozAB / mB = ( 2 kg + 5 kg)/ 5 kg FrozAB = 7/5 FrozAB

FrozABe = 5/7 F  < ----------- Fuerza de rozamiento estático

Caso iii

Despejando NB de la ecuación según x Cuerpo B

NB = F

Reemplazando en Froz

Froz = μe NB = μe F = 0,2 * F = 0,2 F < ------- Fuerza de rozamiento estático (máxima)

Ecuaciones de Newton

Cuerpo B según y ----- > Y  ∑F  = Froz – PB = 0

Despejando Froz de la ecuación según y Cuerpo B

Froz = PB = mB g = 5 kg 10 m/s² = 50 N < -------- fuerza de rozamiento estático

e) Para el caso i) ¿cuál es valor de la fuerza F máxima que puede aplicarse al bloque B para arrastrar a los dos cuerpos sin que deslice un bloque sobre el otro y cuál es la aceleración del sistema cuando se aplica dicha fuerza?

FrozBAe max = 4 N < ------- Fuerza de rozamiento estático (máximo)

FrozBAe = 2/7 F  < ---------- Fuerza de rozamiento estático

Para FrozBAe = FrozBAe max

2/7 Fmax = 4 N

Despejando Fmax

Fmax = 4N 7/2 = 14 N < --------- Fuerza máxima

Reemplazando en la ecuación x del cuerpo B y despejando a

a  = (- FrozAB + F) / mB = ( - 4 N + 14 N) / 5 kg = 2 m/s²  < -------- aceleración del sistema

f) Ídem e) para el caso ii), si ahora es el bloque A el que arrastra al sistema.

FrozBAe max = 4 N < ------- Fuerza de rozamiento estático (máximo)

FrozBAe = 5/7 F  < ---------- Fuerza de rozamiento estático

Para FrozBAe = FrozBAe max

5/7 Fmax = 4 N

Despejando Fmax

Fmax = 4N 7/5 = 5,6 N < --------- Fuerza máxima

Reemplazando en la ecuación x del cuerpo A y despejando a

a  = (-  FrozBA + F) / mA = ( - 4 N + 5,6 N) / 2 kg = 0,8 m/s²  < -------- aceleración del sistema

g) Para el último caso, iii), ¿cuál es la fuerza mínima que hay que aplicar al bloque que se halla contra la pared para evitar que deslice?

Froz = μe NB = μe F = 0,2 * F = 0,2 F < ------- Fuerza de rozamiento estático (máxima)

Froz = PB = mB g = 5 kg 10 m/s² = 50 N < -------- fuerza de rozamiento estático

Para Froz = Froz max

0,2  Fmax = 50 N

Despejando Fmax

Fmax = 50 N / 0,2 = 250 N < --------- Fuerza máxima

a = 0 < ------ aceleración (no se desliza)

h) Suponer que los cuerpos (A y B) deslizan entre sí (o que el cuerpo B desliza sobre la pared), ¿cuál es la aceleración de cada uno de los cuerpos en cada caso? Expresar el resultado en función de |F|.

Caso i

Ecuaciones de Newton

Cuerpo A según x ----- > ∑F = FrozBA = mA aA

Cuerpo B según x ----- > ∑F = - FrozAB + F = mB aB

FrozBAd = μd FBA = μd PA = μd mA g = 0,1 * 2 kg * 10 m/s² = 2 N < ------- Fuerza de rozamiento dinámico

Reemplazando en las ecuaciones y despejando las aceleraciones

aA = 2 N / 2 kg = 1 m/s2 < --------- aceleración del cuerpo A

aB = (F – 2 N)/ 5 kg < -------- aceleración del cuerpo B

Caso ii

Ecuaciones de Newton

Cuerpo A según x ----- > ∑F = - FrozBA + F = mA aA

Cuerpo B según x ----- > ∑F = + FrozAB = mB aB

FrozBAd = μd FBA = μd PA = μd mA g = 0,1 * 2 kg * 10 m/s² = 2 N < ------- Fuerza de rozamiento dinámico

Reemplazando en las ecuaciones y despejando las aceleraciones

aA = (F + 2 N) / 2 kg  < --------- aceleración del cuerpo A

aB = - 2 N / 5 kg = - 0,4  m/s2 < -------- aceleración del cuerpo B

Caso iii

Ecuación de Newton

Cuerpo B según y ----- > Y  ∑F  = Froz – PB = mB a

Frozd = μd NB = μd F = 0,1 F < ------- Fuerza de rozamiento dinámico

Reemplazando en la ecuación y despejando la aceleración

a = ( 0,1 F - 5 kg 10 m/s²) / 5 kg = 0,1 F / 5 kg - 10 m/s² < --------- aceleración