Dinámica – 56 Movimiento circular

Dinámica 56. El sistema de la figura está compuesto por dos cuerpos 1 y 2 de masas m₁ = m₂. Ambos se encuentran unidos por dos varillas a y b de igual longitud (L) y de masas despreciables que en todo instante se mantienen alineadas. El sistema gira en el plano vertical. No hay rozamientos. Considerar el instante en el cual el sistema pasa por la posición A (ver figura), en el cual el módulo de la velocidad de m₂ es de 2 m/s.

Datos: L = 0,5 m; |v₂|= 2 m/s; m₁ = m₂ = 0,5 kg.

Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:

a) El módulo de la velocidad del cuerpo 1 es 2 m/s.

|v1| = ω R1

donde

|v1| = módulo de la velocidad del cuerpo 1

ω = velocidad angular = igual para el cuerpo 1 y el 2 (unidos por una varilla rígida)

R1 = radio de giro = L = 0,5 m

|v2| = ω R2

donde

|v2| = módulo de la velocidad del cuerpo 2 = 2 m/s  < ------- modulo de la velocidad del cuerpo 2

R2 = radio de giro = 2L = 1 m

Despejando ω de la ecuación del cuerpo 2 y reemplazando en la ecuación del cuerpo 1

 |v1| = |v2| / R2 R1 = 2 m/s / 1 m * 0,5 m = 1 m/s < ------- modulo de la velocidad del cuerpo 1

Falso. |v1| < |v2|

b) Los módulos de las fuerzas ejercidas por cada varilla son iguales.

DCL

Cuerpo 1 ---- > ∑F = Tc1 – T21 – P1 = m1 ac1

Cuerpo 2 ---- > ∑F = T12 – P2 = m2 ac2

donde

m1, m2  = masa del cuerpo 1, 2 = m = 0,5 kg

P1, P2 = peso del cuerpo 1, 2 = m g = 0,5 kg 10 m/s² = 5 N

Tc1 = tensión entre el cuerpo 1 y el centro de la trayectoria = Ta

T12 = tensión que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2

T21 = tensión que ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1

| T12 | = | T21 | = Tb par de acción-reacción

ac1, ac2 = aceleración centrípeta de los cuerpos 1, 2 = ω² R

ω = velocidad angular = |v2| / R2 = 2 m/s / 1 m = 2 s^-1

R1 = radio del cuerpo 1 = L = 0,5 m

R2 = radio del cuerpo 2 = 2 L  = 1 m

sumando ambas ecuaciones y despejando Ta

Ta = m1 ac1 + m2 ac1 + P1 + P2

Ta = 0,5 kg ( (2 s^-1 )² (0,5 m + 1m) + 10 m/s² + 10 m/s²) = 13 N < ------------ tensión de la varilla a

reemplazando Tb de la ecuación del cuerpo 2

Tb = m2 ac2 + P2

Tb = 0,5 kg ((2 s^-1 )²  1m + 10 m/s² ) = 7 N < ------------ tensión de la varilla b

Falso.  Ta > Tb

c) El módulo de la fuerza ejercida por la varilla a es 2,6 veces mayor que el peso del cuerpo 1.

Ta = 13 N

P1 = 5 N

Ta / P1 = 13 N / 5 N = 2,6 < ----------- tensión de la varilla a / peso cuerpo 1

Verdadero.

d) La velocidad angular del cuerpo 1 es 2 rad/s.

ω =  velocidad angular = 2 s^-1  < ------------- velocidad angular del cuerpo 1

Verdadero.

e) La aceleración centrípeta del cuerpo 2 es el doble de la de 1.

ac1 = ω² R1 =  (2 s^-1 )² 0,5 m = 2 m/s²

ac2 = ω² R2 =  (2 s^-1 )² 1 m = 4 m/s²

ac2 = 2 ac1  < ------------ aceleración centrípeta del cuerpo 1 respecto del cuerpo 2

Verdadero.

f) El módulo de la fuerza ejercida por la varilla b es 2 veces mayor que el peso del cuerpo 2.

Tb = 7 N

P2 = 5 N

Tb / P2 = 7 N / 5 N = 1,4  < ----------- tensión de la varilla b / peso cuerpo 2

Falso.