Dinámica – 48 Fuerza de rozamiento

Dinámica 48. (Opcional) Una roca de masa 3 kg cae desde el reposo en un medio viscoso. Sobre ella actúan la fuerza neta constante de 20 N (combinación de la fuerza gravitatoria y de la fuerza de flotación ejercida por el medio) y también la fuerza de resistencia del fluido, F = − k . v, donde v es la velocidad en m/s y k = 2 N s/m. Calcular:

a) La aceleración inicial.

DCL

Ecuación de Newton

según y ----- > ∑F = R -  FN = m a

donde

R = fuerza de resistencia del fluido = - k v

k = 2 N s/m

v = velocidad de la piedra

FN = fuerza neta = 20 N

m = masa = 3 kg

a = aceleración

La aceleración inicial corresponde al momento que se inicia el movimiento v = 0

reemplazando y despejando a

a = FN / m = 20 N / 3 kg = 6,67 m/s² < ------------ aceleración inicial a

b) La aceleración cuando |v|= 3 m/s.

reemplazando y despejando a

a = (FN – kv)/ m = (20 N – 2 Ns/m 3 m/s) / 3 kg = 4,67 m/s² < ------------ aceleración inicial b

c) La velocidad terminal.

Velocidad terminal ------ > aceleración = 0

reemplazando

FN – k v = 0

despejando v

v = FN / k = 20 N / 2 Ns/m = 10 m/s < ------------ velocidad terminal

d) La posición, velocidad y aceleración luego de 2 s después de iniciado el movimiento.

a(t) = (FN – k v(t) ) / m = FN/m - k/m v(t)

a(t) = v(t)´  (derivada de la velocidad respecto del tiempo)

reemplazando

v(t)´ = FN/m - k/m v(t)

v(t)´ + k/m v(t) = FN/m

Solución general de una ecuación diferencial de primer grado

v(t) = A e^Bt + C

donde A, B y C son constantes que surgen de las condiciones para t = 0 --- >  v=0 y a=FN/m

A = - FN/k

B = -k/m

C = FN/k

reemplazando

v(t) = - FN/k e^{-k/m t} + FN/k = FN/k (1 - e^{-k/m t} ) < ----------- velocidad

derivando

a(t) = - FN/k e^{-k/m t} (-k/m) = FN/m e^{-k/m t} < ----- aceleración

integrando y para t=0 ---- > x = 0

x(t) = FN m /k² e^{-k/m t} + FN/k t - FN m /k²  = FN/k (m/k e^{-k/m t} + t - m/k )< -----------  posición

Reemplazando t = 2s

x(2s) = 20 N / 2 Ns/m (3 kg/2 Ns/m e^{-2Ns/m/3kg 2s} + 2s - 3 kg/2 Ns/m ) = 8,95 m < -------- posición a los 2s

v(2s) = 20 N / 2 Ns/m (1 - e^{-2Ns/m/3kg 2s} ) =  7,36 m/s < ----------- velocidad a los 2s

a(2s) = 20 N / 3 kg e^{--2Ns/m/3kg 2s}  = 1,76 m/s² < ----- aceleración a los 2s