Dinámica – 90 Fuerza elástica

Dinámica 90. Dos bloques, A y B, de masas m_A y m_B están unidos por una cuerda ideal que pasa por una polea ideal. El bloque A está unido a la pared mediante un resorte ideal de constante elástica k y largo natural l₀ .

 a) Suponiendo rozamiento nulo entre el bloque A y el piso. Calcular la longitud del resorte cuando el sistema está en equilibrio. ¿Cuál es la fuerza que ejerce el resorte sobre la pared en este caso?

DCL

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Cuerpo A Según x ----- > ∑ F = T - Fe = 0

Cuerpo A Según y ----- > ∑ F = N - PA = 0

Cuerpo B Según y ----- > ∑ F = T - PB = 0

donde

T = tensión en la soga

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte

Δl = estiramiento o deformación = (la - lo) en tracción

la = longitud estirado

lo = longitud natural

N = normal = fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo

PA, PB = peso del cuerpo A, B = m g

mA, mB = masa del cuerpo A, B

despejando T de la ecuación del cuerpo B según y

T = PB = mB g

reemplazando T en la ecuación del cuerpo A según x

Fe = T = mB g   < --------------- fuerza elastica a)

reemplazando Fe y despejando x

la  = mB g / k + lo    < --------------- longitud del resorte estirado a)

b) Considerar ahora que el sistema no está en equilibrio. Si la longitud del resorte es l₀ y se deja el sistema en libertad, calcular la aceleración inicial de cada bloque.

Si la longitud del resorte es lo --------- > Fe = k (lo – lo) = 0

Ecuaciones de Newton (sistema no está en equilibrio)

Cuerpo A Según x ----- > ∑ F = T  = mA a

Cuerpo B Según y ----- > ∑ F = T - PB = mB (-a)

donde

a = aceleración del sistema (soga ideal)

restando las ecuaciones y despejando a

a = mB g / (mA + mB) < --------------- aceleración inicial del Sistema

c) Considerar ahora que el rozamiento entre bloque A y el piso no es despreciable. Se desplaza al cuerpo que cuelga hacia abajo hasta que el resorte tenga una longitud l, mayor que l₀ y menor que la longitud calculada en a), y se lo suelta. Encontrar el valor mínimo que debe tener el coeficiente de rozamiento estático μ_e para que el sistema, al soltarlo, quede en equilibrio. ¿Depende este valor de la constante elástica del resorte?

DCL

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Cuerpo A Según x ----- > ∑ F = T + Froz - Fe = 0

Cuerpo A Según y ----- > ∑ F = N - PA = 0

Cuerpo B Según y ----- > ∑ F = T - PB = 0

donde

Froz = fuerza máxima de rozamiento estático = μe  N

μe = coeficiente de rozamiento estático

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte

Δl = estiramiento o deformación = (lc - lo) en tracción

lc = longitud estirado con lo < lc < la

lo = longitud natural

despejando N de la ecuación del cuerpo A según y

N = PA = mA g

calculando el Froz máximo

Froz = μe mA g

despejando T de la ecuación del cuerpo B según y

T = PB = mB g

reemplazando Fe, Froz y T en la ecuación del cuerpo A según x

mB g + μe mA g – k (lc – lo) = 0

despejando μe

μe = (k (lc – lo) – mB g)/ (mA g)  < -------------- coeficiente de rozamiento estático