Dinámica 62. Un cuerpo de 5 kg, apoyado sobre la superficie cónica ABC,
pende de una soga ideal de 4,5 m de longitud (ver figura). El cuerpo gira
alrededor del eje EE' a 10 rpm. No hay rozamiento entre la superficie y
el cuerpo. Calcular:
a) La fuerza que ejerce la superficie
cónica sobre el cuerpo.
DCL
Ecuaciones de Newton
Según x ---- > ∑F = Tx -
Nx = m ac
Según y ---- > ∑F = Ty +
Ny – P = 0
donde
T = tensión de la soga
Tx = T sen θ
Ty = T cos θ
N = fuerza ejercida por cono
sobre el cuerpo
Nx = N cos θ
Ny = N sen θ
θ = ángulo de la soga con la vertical = 30º
ac = aceleración centrípeta
= ω2 R
ω = velocidad angular = 10
rpm * 2 π / 60 s = 1,047 s-1
R = radio de giro
m = masa = 5 kg
Radio de giro
R = L sen θ
donde
L = longitud de la cuerda = 4,5 m
θ = Angulo de la soga con la vertical = 30º
R = radio de giro = L sen θ = 2,25 m
Reemplazando Tx, Ty, Nx y Ny en las ecuaciones
T sen θ - N cos θ = m ω2 R
T cos θ + N sen θ = m g
Resolviendo el Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( N y T) por
determinantes
N = (sen θ m g - cos θ m ω2 R)
/ (sen2 θ + cos2
θ) =
N = 5 kg ( 10 m/s2 sen 30º – (1,047 s-1)2
2,25 m cos 30º ) = 14,32 N <
--------- fuerza ejercida por el cono
b) La tensión en la soga.
T = (cos θ m g
+ sen θ m ω2 R)
/ (sen2 θ + cos2
θ) =
T = 5 kg (10 m/s2 cos
30º + (1,047 s-1)2
2,25 m sen 30º) = 49,47 N < -------- tensión de la soga
c) La velocidad angular a la que ha de
girar el cuerpo para anular la fuerza de contacto con la superficie cónica.
¿Cuánto vale la tensión de la soga en este caso? Comparar éstos resultados con
los del ejercicio 61
Reemplazando N = 0
N = (sen θ m g - cos θ m ω2 R) =
0
Despejando ω
ω = (tan θ g / R )1/2 = (tan 30º 10 m/s2 / 2,25 m )1/2
= 1,60 s-1 <
---------- velocidad angular
Reemplazando en T
T = (cos θ m g + sen θ m ω2
R) = 5 kg (10 m/s2 cos 30º +
(1,60 s-1)2 2,25 m sen 30º) = 57,73 N < ------- tensión de la soga
El ω y T tienen el mismo valor que el ejercicio 61
d) Describir qué sucedería si el cuerpo
girase con una velocidad angular mayor que la calculada en c) ¿Y si lo hiciera
con una velocidad angular menor?
Si la velocidad angular es mayor que c)
----- > el cuerpo está “volando” sobre el cono
Si la velocidad angular es menor que c)
----- > el cuerpo se desliza sobre el cono
excelente¡¡¡ Muy buena la explicación de cada uno de los ejercicios la felicito siga así
ResponderEliminargracias !!!
ResponderEliminarde que autor saca los ejercicios
EliminarEstos son de la guía de Física del CBC (ingreso a la UBA)
EliminarBuen Día!
ResponderEliminaruna pregunta, si la frecuencia es el número de vueltas que da la partícula por unidad de tiempo (Dato: 10 rpm=1,047 s^-1), la velocidad angular no sería la frecuencia x (2)(pi)??
lo siento ya me di cuenta de mi error, si está bien!
EliminarProfe, como te quedo N = (sen θ m g - cos θ m ω2 R) / (sen2 θ + cos2 θ) ?
ResponderEliminarA partir de
ResponderEliminarT sen θ - N cos θ = m ω^2 R
T cos θ + N sen θ = m g
Es un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas ( N y T)
Elegí el método que quieras para resolverlo.
Puede ser determinantes. (así lo hice)
Podes despejar T de las dos ecuaciones e igualar
T = ( m ω^2 R + N cos θ) / sen θ
T = ( m g - N sen θ ) / cos θ
( m ω^2 R + N cos θ) / sen θ = ( m g - N sen θ ) / cos θ
( m ω^2 R + N cos θ) cos θ = ( m g - N sen θ ) sen θ
m ω^2 R cos θ + N (cos θ)^2 = m g sen θ - N (sen θ)^2
N (cos θ)^2 + N (sen θ)^2 = m g sen θ - m ω^2 R cos θ
N = (m g sen θ - m ω^2 R cos θ) / ((cos θ)^2 + (sen θ)^2)
Gracias!!!
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