Dinámica – 44 Fuerza de rozamiento

Dinámica 44. Para los diagramas mostrados, hallar la intensidad máxima que podrá tener la fuerza F antes que algún bloque se mueva, y la aceleración que adquieren una vez iniciado el movimiento, si se mantiene aplicada F con la intensidad calculada. Las masas son m₁= 30 kg y m₂= 20 kg, y los coeficientes de rozamiento entre bloques y con el piso son µ_e= 0,6 ; µ_d= 0,25.

Caso A

DCL

Ecuaciones de Newton

Bloque 1 según x ----- > ∑F = - F + Froz1e + Froz21e = 0

Bloque 1 según y ----- > ∑F = N1 – P1 – F21  = 0

Bloque 2 según x ----- > ∑F = - Froz12e + T = 0

Bloque 2 según y ----- > ∑F = F12 – P2  = 0

donde

F = Fuerza externa

Froz1e = fuerza de rozamiento estático máximo  entre el bloque 1 y el piso = μe N1

Froz21e = fuerza de rozamiento estático máximo  entre el bloque 1 y el bloque 2 = μe F12

μe = coeficiente de rozamiento estático entre el bloque 1 y el piso, y entre los bloques = 0,6

Froz12e = fuerza de rozamiento estático máximo  entre el bloque 2 y el bloque 1

| Froz21e | = | Froz12e |  par de acción - reacción

N1 = fuerza que ejerce el piso sobre el bloque 1

P1 = Peso del bloque 1 = m1 g

P2 = Peso del bloque 2 = m2 g

m1 = masa del bloque 1 = 30 kg

m2 = masa del bloque 2 = 20 kg

F21 = fuerza que ejerce el bloque 2 sobre el bloque 1

F12 = fuerza que ejerce el bloque 1 sobre el bloque 2

| F21 | = | F12 |  par de acción - reacción

T = tensión de la cuerda

despejando F12 de la ecuación según y del bloque 2

F12 = P2 = m2 g

despejando N1 de la ecuación según y del bloque 1

N1 = F21 + P1  = ( m1 + m2) g

calculando Froz1e y Froz21e

Froz1e = μe N1 = μe ( m1 + m2) g

Froz21e = μe F12 = μe  m2 g

reemplazando Froz1e y Froz21e en la ecuación según x del bloque 1 y despejando F

F = μe ( m1 + m2) g + μe m2 g = μe g (m1 +2 m2)

F = 0,6 * 10 m/s² ( 30 kg + 2 * 20 kg) = 420 N  < ---------- Fuerza máxima Caso A

Ecuaciones de Newton (con movimiento)

Bloque 1 según x ----- > ∑F = - F + Froz1d + Froz21d = m1 (-a1)

Bloque 1 según y ----- > ∑F = N1 – P1 – F21  = 0

Bloque 2 según x ----- > ∑F = - Froz12d + T = 0 (no puede desplazarse, la soga es ideal)

Bloque 2 según y ----- > ∑F = F12 – P2  = 0

donde

F = Fuerza externa = 420 N

Froz1d = fuerza de rozamiento dinámico entre el bloque 1 y el piso = μd N1

Froz21d = fuerza de rozamiento dinámico  entre el bloque 1 y el bloque 2 = μd F12

μd = coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque 1 y el piso, y entre los bloques = 0,25

Froz12d = fuerza de rozamiento dinámico  entre el bloque 2 y el bloque 1

| Froz21d | = | Froz12d |  par de acción - reacción

a1 = aceleración del bloque 1

despejando F12 de la ecuación según y del bloque 2

F12 = P2 = m2 g

despejando N1 de la ecuación según y del bloque 1

N1 = F21 + P1  = ( m1 + m2) g

calculando Froz1d y Froz21d

Froz1d = μd N1 = μd ( m1 + m2) g

Froz21d = μd F12 = μd  m2 g

reemplazando Froz1d y Froz21d en la ecuación según x del bloque 1 y despejando a1

a1 =  - ( F - μd g (m1 +2 m2) ) / m1

| a1 | = ( 420 N - 0,25 * 10 m/s² ( 30 kg + 2 * 20 kg)) / 30 kg  = 8,17 m/s²  < ---- aceleración Caso A

Caso B

DCL

Ecuaciones de Newton

Bloque 1 según x ----- > ∑F = T - Froz21e = 0

Bloque 1 según y ----- > ∑F = F21 - P1  = 0

Bloque 2 según x ----- > ∑F = - F + Froz12e + Froz2e = 0

Bloque 2 según y ----- > ∑F = N2 - F12 – P2  = 0

donde

F = Fuerza externa

Froz2e = fuerza de rozamiento estático máximo  entre el bloque 2 y el piso = μe N2

Froz21e = fuerza de rozamiento estático máximo  entre el bloque 1 y el bloque 2 = μe F12

μe = coeficiente de rozamiento estático entre el bloque 2 y el piso, y entre los bloques = 0,6

Froz12e = fuerza de rozamiento estático máximo  entre el bloque 2 y el bloque 1

| Froz21e | = | Froz12e |  par de acción - reacción

N2 = fuerza que ejerce el piso sobre el bloque 2

despejando F21 de la ecuación según y del bloque 1

F21 = P1 = m1 g

despejando N2 de la ecuación según y del bloque 2

N2 = F21 + P2  = ( m1 + m2) g

calculando Froz2e y Froz21e

Froz2e = μe N2 = μe ( m1 + m2) g

Froz21e = μe F21 = μe  m1 g

reemplazando Froz2e y Froz21e en la ecuación según x del bloque 2 y despejando F

F = μe ( m1 + m2) g + μe m1 g = μe g (2m1 + m2)

F = 0,6 * 10 m/s² ( 2 * 30 kg + 20 kg) = 480 N  < ---------- Fuerza máxima Caso B

Ecuaciones de Newton (con movimiento)

Bloque 1 según x ----- > ∑F = T - Froz21d = 0 (no puede desplazarse, la soga es ideal)

Bloque 1 según y ----- > ∑F = F21 - P1  = 0

Bloque 2 según x ----- > ∑F = - F + Froz12d + Froz2d = m2 (-a2)

Bloque 2 según y ----- > ∑F = N2 - F12 – P2  = 0

donde

F = Fuerza externa = 480 N

Froz2d = fuerza de rozamiento dinámico  entre el bloque 2 y el piso = μd N2

Froz21d = fuerza de rozamiento dinámico  entre el bloque 1 y el bloque 2 = μd F12

μd = coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque 2 y el piso, y entre los bloques = 0,25

Froz12d = fuerza de rozamiento dinámico  entre el bloque 2 y el bloque 1

| Froz21d | = | Froz12d |  par de acción - reacción

a2 = aceleración del bloque 2

despejando F21 de la ecuación según y del bloque 1

F21 = P1 = m1 g

despejando N2 de la ecuación según y del bloque 2

N2 = F21 + P2  = ( m1 + m2) g

calculando Froz2d y Froz21d

Froz2d = μd N2 = μd ( m1 + m2) g

Froz21d = μd F21 = μd  m1 g

reemplazando Froz2d y Froz21d en la ecuación según x del bloque 2 y despejando a2

a2 = - ( F - μd g (m1 + m2) - μd g m1 ) / m2 = - ( F - μd g (2m1 + m2) ) / m2

| a2 |  = ( 480 N - 0,25 * 10 m/s² ( 2 * 30 kg + 20 kg)) / 20 kg = 14 m/s²  < ------ aceleración Caso B

Caso C

DCL

Ecuaciones de Newton

Bloque 1 según x ----- > ∑F = - F + Froz1e + Froz21e + T = 0

Bloque 1 según y ----- > ∑F = N1 – P1 – F21  = 0

Bloque 2 según x ----- > ∑F = - Froz12e + T = 0

Bloque 2 según y ----- > ∑F = F12 – P2  = 0

donde

F = Fuerza externa

Froz1e = fuerza de rozamiento estático máximo  entre el bloque 1 y el piso = μe N1

Froz21e = fuerza de rozamiento estático máximo  entre el bloque 1 y el bloque 2 = μe F12

μe = coeficiente de rozamiento estático entre el bloque 1 y el piso, y entre los bloques = 0,6

Froz12e = fuerza de rozamiento estático máximo  entre el bloque 2 y el bloque 1

| Froz21e | = | Froz12e |  par de acción - reacción

N1 = fuerza que ejerce el piso sobre el bloque 1

F21 = fuerza que ejerce el bloque 2 sobre el bloque 1

F12 = fuerza que ejerce el bloque 1 sobre el bloque 2

| F21 | = | F12 |  par de acción - reacción

T = tensión de la cuerda

despejando F12 de la ecuación según y del bloque 2

F12 = P2 = m2 g

despejando N1 de la ecuación según y del bloque 1

N1 = F21 + P1  = ( m1 + m2) g

calculando Froz1e y Froz21e

Froz1e = μe N1 = μe ( m1 + m2) g

Froz21e = μe F12 = μe  m2 g

restando las ecuaciones según x del bloque 1 y 2

- F + Froz1e + Froz21e + Froz12e  = 0

reemplazando Froz1e y Froz21e y despejando F

F =  μe ( m1 + m2) g + μe 2 m2 g = μe g (m1 +3 m2)

F = 0,6 * 10 m/s² ( 30 kg + 3 * 20 kg) = 540 N  < ---------- Fuerza máxima Caso C

Ecuaciones de Newton (con movimiento)

Bloque 1 según x ----- > ∑F = - F + Froz1d + Froz21d + T = m1 (-a)

Bloque 1 según y ----- > ∑F = N1 – P1 – F21  = 0

Bloque 2 según x ----- > ∑F = - Froz12d + T = m2 a

Bloque 2 según y ----- > ∑F = F12 – P2  = 0

donde

F = Fuerza externa = 540 N

Froz1d = fuerza de rozamiento dinámico entre el bloque 1 y el piso = μd N1

Froz21d = fuerza de rozamiento dinámico  entre el bloque 1 y el bloque 2 = μd F12

μd = coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque 1 y el piso, y entre los bloques = 0,25

Froz12d = fuerza de rozamiento dinámico  entre el bloque 2 y el bloque 1

| Froz21d | = | Froz12d |  par de acción - reacción

a =aceleración (ambos bloques tienen la misma aceleración, la soga es ideal)

despejando F12 de la ecuación según y del bloque 2

F12 = P2 = m2 g

despejando N1 de la ecuación según y del bloque 1

N1 = F21 + P1  = ( m1 + m2) g

calculando Froz1d y Froz21d

Froz1d = μd N1 = μd ( m1 + m2) g

Froz21d = μd F12 = μd  m2 g

restando las ecuaciones según x del bloque 1 y 2

F - Froz1d - Froz21d - Froz12d  = m1 a + m2 a

reemplazando Froz1d y Froz21d

a =  - ( F - μd g (m1 + m2) - 2μd g m2) / (m1 + m2) =  ( F - μd g (m1 +3 m2) ) / (m1 + m2)

| a | = (540 N - 0,25 * 10 m/s² ( 30 kg + 3 * 20 kg)) / (30 kg + 20 kg) = 6,3 m/s²  < ---------- aceleración Caso C

Caso D

DCL

Ecuaciones de Newton

Bloque 1 según x ----- > ∑F = - F + Froz1e + Froz21e = 0

Bloque 1 según y ----- > ∑F = N1 – P1 – F21  = 0

Bloque 2 según x ----- > ∑F = - Froz12e = 0

Bloque 2 según y ----- > ∑F = F12 – P2  = 0

donde

F = Fuerza externa

Froz1e = fuerza de rozamiento estático máximo  entre el bloque 1 y el piso = μe N1

Froz21e = fuerza de rozamiento estático máximo  entre el bloque 1 y el bloque 2 = μe F12

μe = coeficiente de rozamiento estático entre el bloque 1 y el piso, y entre los bloques = 0,6

Froz12e = fuerza de rozamiento estático máximo  entre el bloque 2 y el bloque 1

| Froz21e | = | Froz12e |  par de acción - reacción

N1 = fuerza que ejerce el piso sobre el bloque 1

F21 = fuerza que ejerce el bloque 2 sobre el bloque 1

F12 = fuerza que ejerce el bloque 1 sobre el bloque 2

| F21 | = | F12 |  par de acción - reacción

despejando N1 de la ecuación según y del bloque 1

N1 = F21 + P1  = ( m1 + m2) g

calculando Froz1e y Froz21e

Froz1e = μe N1 = μe ( m1 + m2) g

Froz21e = 0 (ecuación según x del bloque 2)

reemplazando Froz1e y Froz21e en la ecuación según x del bloque 1 y despejando F

F = μe ( m1 + m2) g

F = 0,6 * 10 m/s² ( 30 kg + 20 kg) = 300 N  < ---------- Fuerza máxima Caso D

Ecuaciones de Newton (con movimiento)

Bloque 1 según x ----- > ∑F = - F + Froz1d + Froz21 = m1 (-a)

Bloque 1 según y ----- > ∑F = N1 – P1 – F21  = 0

Bloque 2 según x ----- > ∑F = - Froz12 = m2 (-a)

Bloque 2 según y ----- > ∑F = F12 – P2  = 0

donde

F = Fuerza externa = 300 N

Froz1d = fuerza de rozamiento dinámico entre el bloque 1 y el piso = μd N1

μd = coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque 1 y el piso = 0,25

Froz21 = fuerza de rozamiento estático  entre el bloque 1 y el bloque 2 

Froz12 = fuerza de rozamiento estático  entre el bloque 2 y el bloque 1

| Froz21 | = | Froz12 |  par de acción - reacción

a = aceleración del sistema (ambos bloques se mueven juntos)

despejando F12 de la ecuación según y del bloque 2

F12 = P2 = m2 g

despejando N1 de la ecuación según y del bloque 1

N1 = F21 + P1  = ( m1 + m2) g

calculando Froz1d 
Froz1d = μd N1 = μd ( m1 + m2) g

reemplazando Froz1d y sumando ambas ecuaciones según x 
F - μd ( m1 + m2) g = (m1 + m2) a

despejando a

a = (F - μd g (m1 + m2) ) / (m1 + m2)  

| a | = ( 300 N - 0,25 * 10 m/s² ( 30 kg + 20 kg)) / ( 30 kg + 20 kg)  = 3,5 m/s²  < ---------- aceleración del sistema Caso D

Para determinar si la hipótesis de que ambos bloques se mueven juntos es correcta Froz12 ≤ Froz12e

Froz12e = fuerza de rozamiento estático máximo  entre el bloque 1 y el bloque 2 = μe F12

μe = coeficiente de rozamiento estático entre los bloques = 0,6

Reemplazando

Froz12e = μe F12 = μe P2 = μe m2 g = 0,6 * 20 kg * 10 m/s²  = 120 N  

Froz12 = m2 a (ecuación según x del bloque 2) = 20 kg * 3,5 m/s² = 70 N

-------------- > ambos bloque se mueven juntos