Dinámica 60. El bloque de 4 kg de la figura está unido a una varilla
vertical con dos sogas ideales iguales de 1,25 m de longitud. Cuando el sistema gira sobre
el eje de la varilla, las sogas se extienden (ver figura)
a) Si la tensión que ejerce la soga
superior es de 70 N. ¿Qué tensión ejerce la otra soga? ¿Con qué
frecuencia, en RPM, debería girar el bloque en esas condiciones?
DCL
Ecuaciones de Newton
Según x ---- > ∑F = Tsx +
Tix = m ac
Según y ---- > ∑F = Tsy –
Tiy – P = 0
donde
Ts = tensión de la soga
superior = 70 N
Tsx = Ts cos α
Tsy = Ts sen α
Ti = tensión de la soga
inferior
Tix = Ti cos α
Tiy = Ti sen α
sen α = 1 m /
1,25 m
α = arco sen (1 m / 1,25 m ) = 53º
ac = aceleración centrípeta
= ω2 R
ω = velocidad angular
R = radio de giro = ((1,25m)2 – (1m)2)1/2
= 0,75 m
m = masa = 4 kg
P = peso = m g = 4 kg
10 m/s2 = 40 N
Tension
inferior
reemplazando Tsy y P en la
ecuación según y
Ti sen α = Ts sen α – m g
despejando Ti
Ti = ( 70 N sen 53º - 4 kg 10 m/s2 ) /
sen 53º = 20 N < --------- tensión inferior
Frecuencia
reemplazando Tsx, Tsi y ac en la ecuación según x
Ts cos α + Ti cos α = m ω2 R
despejando ω
ω = ((70 N cos 53º + 20 N cos 53º ) / (4 kg 0,75 m)) ½ = 4,24 s -1
además
ω = (2 π ) f
despejando f
f = ω / (2 π ) = 4,24 s -1 / (2 π ) (60 s / 1 m) = 40,5 rpm
b) Si el bloque girase manteniendo el
mismo ángulo con la vertical que en el ítem anterior, que frecuencia sería necesaria
para que la tensión de la soga inferior sea nula.
Ecuaciones de Newton
Según x ---- > ∑F = Tsx +
Tix = m ac
Según y ---- > ∑F = Tsy –
Tiy – P = 0
donde
Ts = tensión de la soga
superior
Tsx = Ts cos α
Tsy = Ts sen α
Ti = tensión de la soga
inferior = 0
reemplazando Tsy y P en la
ecuación según y
Ts sen α – m g = 0
despejando Ts
Ts = m g / sen α
reemplazando Tsx y ac en la ecuación según x
(m g / sen α) cos α = m ω2 R
despejando ω
ω = ((m g / sen α) cos α / (m R)) ½ = (( 4O N cos 53º / sen 53º ) / (4 kg 0,75 m)) ½ = 3,16 s -1
además
ω = (2 π ) f
despejando f
f = ω / (2 π ) = 3,16 s -1 / (2 π ) (60 s / 1 m) = 30 rpm
c) Explicar cómo se movería el bloque si
la frecuencia fuera menor que la calculada en el ítem anterior.
Si la
frecuencia disminuye (disminuye la velocidad angular) la masa se mueve en una circunferencia más
cerca de la varilla.
Cuando la velocidad angular = 0, la masa “cuelga” junto a la varilla.
Excelente!!!
ResponderEliminarMe ayudó mucho. Gracias.
en el punto a el valor de la otra tension como es que te da 20 en la calculadora?
ResponderEliminarsen 53º = 0,798...... (según la calculadora) = 0,80 aproximadamente y ese es el valor que se toma.
ResponderEliminarAdemas si te fijas como se determino el angulo de 53º
sen α = 1 m / 1,25 m = 0,80
si sacas la inversa del seno te da 53° pero si se toma el 0.8
Eliminarno entiendo el comentario
Eliminarsen 53 = 0,8 (aproxi)
ar sen (0,8) = 53º ( aproxi)
En el punto b) Al hacer la misma cuenta y con los mismos resultados que le dieron a usted, a mí me termina dando 95 rpm. Lo hice varias veces. ¿Puede ser que algo falte poner en el cálculo que hizo?
ResponderEliminarTe falto dividir por Pi
ResponderEliminarClaro, ahora me da. Pero eso en qué parte de la cuenta va y por qué se agrega?
Eliminarω = (2 π ) f ------ f = ω / (2 π )
EliminarAh, eso lo hice. Yo además de eso lo había dividido otra vez por pi y ahí me dio 30. Pero bueno, no importa. Algo debo estar haciendo mal. Muchas gracias!
EliminarHola! Me sirvió mucho tu solución para comparar cln los resultados que yo había obtenido, sólo en el inciso c) no me queda tan claro por qué el radio de la circunferencia disminuye. En el punto b) la frecuencia disminuyó, pero creo que el radio se mantuvo constante porque el ángulo fue el mismo, ¿esto es correcto?
ResponderEliminarEn el punto b) el enunciado dice que el ángulo es el mismo.
ResponderEliminarEn el punto c) a partir de la frecuencia de 30 rpm (frecuencia del punto b) el ángulo comienza a disminuir.
Estimada en el punto B cuando calculamos ω a mi me da 3.16 dado que aplico la raíz ya que ω^2 es igual a 10; pero falta aplicar la raíz a ese resultado, esta plasmado en la ecuación pero no en el resultado; si no aplico la raíz sí me da 10. Aguardo comentarios desde ya muchas gracias por su aporte!!.-
ResponderEliminarTenes razon falta la raiz(10), ahora lo corrijo
ResponderEliminar¿por qué cuando establecimos la ecuación de fuerzas en Y y despejamos Ti sen(alfa) pasamos a restar el peso del otro lado del la ecuación en vez de sumarlo?
ResponderEliminarecuación según y: Tsy – Tiy – P = 0
ResponderEliminarTsy - P = Tiy
El que "paso" fue el Tiy
hola noemi, ne el punto B no entiendo como despegaste W
ResponderEliminarcuando te queda: "(( 4O N cos 53º / sen 53º ) / (4 kg 0,75 m)) ½"
no entiendo como mxR te queda dividiendo
F = m ac (según Newton)
ResponderEliminarreemplazando
(m g / sen α) cos α = m ω^2 R
espejando ω^2
ω^2 = (m g / sen α) cos α / ( m R)
Hola, me podrias explicar como sacas el angulo? porque haces eso quiero saber
ResponderEliminarsen α = 1 m / 1,25 m
α = arco sen (1 m / 1,25 m ) = 53º
ResponderEliminarsen α = Cateto opuesto / hipotenusa
hipotenusa = longitud de la cuerda = 1,25 m
cateto opuesto = mitad de la barra = 2 m /2 = 1 m
sen α = 1 m/ 1.25 m = 0,8
α = arco sen (0,80) = 53° (en la calculadora shift sen (0,80)