Dinámica – 89 Fuerza elástica

Dinámica 89. Ídem problema anterior (88), pero ahora el resorte está sujeto a la parte superior del plano inclinado. Comparar los resultados.

Datos: lo = 60 cm, k = 500 N/m, m = 30 kg y α = 37º.

 a) Suponiendo que no hay rozamiento, calcular la posición de equilibrio del bloque con respecto al extremo fijo del resorte.

DCL

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Según x ----- > ∑ F = Fe - Px = 0

donde

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte =  500 N/m

Δl = estiramiento o deformación = (l - lo)  en tracción

l = longitud estirado

lo = longitud natural = 0,60 m  

P = peso del cuerpo = m g

Px = P sen 37º

m = masa del cuerpo = 30 kg

reemplazando Fe de la ecuación según x

k (l - lo) = Px = P sen 37º = m g sen 37º

igualando y despejando l

l = m g sen 37º / k + lo = 30 kg 10 m/s² sen 37º / 500 N/m + 0,6 m = 0,961 m < -----------  longitud del resorte estirado a)

b) Si ahora hay rozamiento, y los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el bloque y el plano fueran μe = 0,4; μd = 0,15, respectivamente, hallar la máxima longitud que podrá darse al resorte y que el cuerpo permanezca en equilibrio.

DCL

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Según x ----- > ∑ F = Fe - Froz - Px = 0

Según y ----- > ∑ F = N - Py = 0

donde

Froz = fuerza de rozamiento estático = μe N

μe = coeficiente de rozamiento estático = 0,4

N = normal = fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo

P = peso del cuerpo = m g

Px = P sen 37º

Py = P cos 37º

m = masa del cuerpo = 30 kg

despejando N de la ecuación según y, y reemplazando en Froz

Froz = μe m g cos 37º

reemplazando Fe y Froz de la ecuación según x

k (l - lo) = Px + Froz = m g sen 37º + μe m g cos 37º = m g ( sen 37º + μe cos 37º )

igualando y despejando l

l = (m g ( sen 37º + μe cos 37º )  / k + lo = 30 kg 10 m/s² ( sen 37º + 0,4 cos 37º) / 500 N/m + 0,60 m = 1,153 m < -----------  longitud del resorte estirado b)

c) Con los mismos coeficientes anteriores, hallar la mínima longitud del resorte que conserve el equilibrio.

DCL

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Según x ----- > ∑ F = Fe + Froz - Px = 0

Según y ----- > ∑ F = N - Py = 0

despejando N de la ecuación según y, y reemplazando en Froz

Froz = μe m g cos 37º

reemplazando Fe y Froz de la ecuación según x

k (l - lo) = Px - Froz = m g sen 37º - μe m g cos 37º = m g ( sen 37º - μe cos 37º )

Igualando y despejando l

l = (m g ( sen 37º -  μe cos 37º )  / k + lo = 30 kg 10 m/s² ( sen 37º - 0,4 cos 37º) / 500 N/m + 0,60 m = 0,769 m < -----------  longitud del resorte estirado c)

Long.normal	problema 88		problema 89
lo= 0,600 m	Δl(m)	l(m)	Δl(m)	l(m)
ítem a	-0,361	0,239	0,361	0,961
ítem b	-0,169	0,431	0,553	1,153
ítem c	-0,553	0,047	0,169	0,769
		comprimido		estirado