Dinámica – 94 Fuerza elástica

Dinámica 94. Un cuerpo de 5 kg se mueve apoyado en una mesa horizontal con rozamiento despreciable, sujeto al extremo de un resorte de constante elástica 1000 N/m, cuya longitud sin carga es 20 cm.

a) ¿Cuál es la longitud del resorte, cuando el cuerpo gira dando dos vueltas por segundo? Considerar que la trayectoria es una circunferencia y despreciar la masa del resorte.

DCL

Ecuación de Newton

Según r  ----- > ∑ F = Fe = m ac

donde

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte = 1.000 N/m

Δl = estiramiento = (l – lo)

l = longitud del resorte estirado

lo = longitud natural = 20 cm = 0,20 m

m = masa del cuerpo = 5 kg

ac = aceleración centrípeta = ω² r

ω = velocidad angular = 2 vueltas / 1 s = 2 (2 π) s^-1

reemplazando en la ecuación

k (l – lo) = m ω² r

despejando l

l = k lo / ( k - m ω²) = 1.000 N/m 0,20 m / ( 1.000 N/m - 5 kg (4 π s^-1 )²) = 0,95 m   < -------- longitud del resorte

b) Expresar la segunda ley de Newton para el caso general de una masa unida a un resorte de constante elástica k y cuya longitud relajado es l₀, cuando gira como se indica en la figura y con una velocidad angular ω. Despejar la longitud l en función de ω y encontrar el rango de valores posibles de ω para que gire con movimiento circular uniforme.

l = k lo / ( k - m ω²)  < -------- longitud del resorte

Para l > 0 (longitud del resorte) y  k lo > 0 --- >  k - m ω² > 0

k - m ω² > 0 --- > k >  m ω²  --- > k/m  >  ω² --- > √(k/m)  >  | ω |  < -------- velocidad angular