Dinámica – 95 Fuerza elástica

Dinámica 95. Se engancha una partícula de 1 kg a un resorte de masa despreciable de constante elástica 10 N/cm y longitud natural 48 cm. Se hace girar al cuerpo como un péndulo cónico con una frecuencia constante de 60 rpm.

a) Calcular el alargamiento del resorte respecto a su longitud natural.

DCL

Ecuaciones de Newton

Según r ---- > ∑F = Fex = m ac

Según y ---- > ∑F = Fey – P = 0

donde

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte = 10 N/cm = 1.000 N/m

Δl = estiramiento = (l – lo)

l = longitud del resorte estirado

lo = longitud natural = 48 cm = 0,48 m

Fex = Fe sen θ

Fey = Fe cos θ

θ  = ángulo de la soga con la vertical

ac = aceleración centrípeta = ω²  R

ω = velocidad angular = 60 revoluciones / minuto = 60 * 2 π / 60 s = 2 π s^-1

R = radio de giro 

m = masa = 1 kg

P = peso = m g

Radio de giro

donde

l = longitud del resorte

θ  = ángulo de la soga con la vertical

R = radio de giro = l sen θ

reemplazando Fex en la ecuación según r

k (l – lo)  sen θ = m ω² l sen θ

despejando l

l = k lo / ( k - m ω²) = 1.000 N/m O,48 m  / (1.000 N/m – 1 kg (2 π s^-1 )²) = 0,50 m   < ----------- longitud del resorte estirado

l – lo = 0,50 m  – 0,48 m = 0,02 m < ----------- alargamiento respecto de la longitud natural

b) Calcular el ángulo que forma la altura del cono con la generatriz.

Reemplazando Fey en la ecuación según y

k (l – lo)  cos θ – m g = 0

despejando θ

θ  = arco cos (m g / k (l – lo)) = arco cos (1 kg 10 m/s² / (1.000 N/m 0,02 m)) =  60º < ----- ángulo