Dinámica – 96 MAS

Dinámica 96. Un cuerpo de masa m sujeto a un resorte de constante k se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se desplaza al cuerpo de su posición de equilibrio una distancia A y se lo deja en libertad.

a) ¿Qué tipo de movimiento efectúa el cuerpo?

Movimiento oscilatorio armónico simple (MAS)

Escribir la ecuación de Newton y obtener x(t).

DCL

Ecuaciones de Newton

Según x ---- > ∑F = - Fe = m a

Según y ---- > ∑F = N – P = 0

donde

Fe = fuerza elástica = k x

k = constante del resorte

x = estiramiento

m = masa

a = aceleración

reemplazando

- k x  = m a

la aceleración = derivada segunda del desplazamiento

m d²x/d²t + k x = 0

esta ecuación diferencial tiene como solución general

x(t) = B cos (C t + D)

donde B, C y D surgen las condiciones iniciales to = 0, x(0) = A, v(0) = 0  y de reemplazando en la ecuación diferencial

B = amplitud = A

C = √(k/m)

D = fase inicial = 0 (en este caso)

reemplazando en las ecuaciones

x(t) = A cos (ω t)

v(t) = dx(t)/dt = - A ω sen (ωt)

a(t) = dv(t)/dt = - A ω² cos (ωt)

Calcular la frecuencia de oscilación (pulsación) y el período en función de k y m.

ω  = √(k/m) < ---------- pulsación

τ = 2 π / ω = 2 π √(m/k) < ------------ periodo

b) ¿En qué puntos la aceleración del cuerpo es nula y en cuáles es máxima?

Aceleración nula

a(t) = - A ω² cos (ωt) = 0

despejando

cos (ωt) = 0

ωt = arco cos (0)

esta ecuación tiene dos soluciones

ωt = 1/2 π  ó ωt = 3/2 π

t = 1/2 π/ω  ó t = 3/2 π/ω

reemplazando en x(t) = A cos (ω t)

x(1/2 π/ω) = A cos (ω 1/2 π/ω) = 0 < ---------- punto de aceleración nula

x(3/2 π/ω) = A cos (ω 3/2 π/ω) = 0 < ---------- punto de aceleración nula

módulo de la aceleración máxima

a(t) = - A ω² cos (ωt) -----> máximo |cos ωt | = 1

esta ecuación tiene dos soluciones

ωt = 0  ó ωt =  π

t = 0  ó t =  π/ω

reemplazando en x(t) = A cos (ω t)

x(0) = A cos (ω 0) = A < ---------- punto de módulo de la aceleración máxima

x(π/ω) = A cos (ω  π/ω) = -A < ---------- punto de módulo de la aceleración máxima

c) ¿En qué puntos la velocidad es nula y en cuáles es máxima?

velocidad nula

v(t) = - A ω sen (ωt) = 0

despejando

sen (ωt) = 0

ωt = arco sen (0)

esta ecuación tiene dos soluciones

ωt = 0  ó ωt =  π

t = 0  ó t =  π/ω

reemplazando en x(t) = A cos (ω t)

x(0) = A cos (ω 0) = A < ---------- punto de velocidad nula

x(π/ω) = A cos (ω  π/ω) = -A < ---------- punto de velocidad nula

módulo de la velocidad  máxima

v(t) = - A ω sen (ωt) -----> máximo |sen ωt | = 1

esta ecuación tiene dos soluciones

ωt = 1/2 π   ó ωt = 3/2 π

t =1/2 π/ω  ó t = 3/2 π/ω

reemplazando en x(t) = A cos (ω t)

x(1/2 π/ω) = A cos (ω 1/2 π/ω) = 0 < ---------- punto de módulo de velocidad máxima

x(3/2 π/ω) = A cos (ω 3/2 π/ω) = 0 < ---------- punto de módulo de velocidad máxima

d) Graficar la posición, la velocidad y la aceleración en función del tiempo.