Dinámica – 98 MAS

Dinámica 98. Un cuerpo de masa m unido a un resorte horizontal de constante elástica k describe un movimiento oscilatorio armónico simple (M.A.S) de 20 cm de amplitud. En el instante t = 0 s el cuerpo pasa por la posición de equilibrio moviéndose hacia la derecha del origen de coordenadas con una velocidad de módulo 1 m/s.

a) Calcular la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

Solución general

x(t) = A cos (ω t + φ)  

v(t) = dx(t)/dt = - A ω  sen (ω t + φ)  

donde

A = amplitud = 0,2 m

x(0) = posición de equilibrio = 0 m

v(0) = velocidad = 1 m/s

reemplazando en la ecuaciones

x(0) = 0,2 m cos (φ) = 0 

v(0) = - 0,2 m ω  sen (φ) = 1 m/s  

despejando φ

φ = arco cos (0) = π /2 ó  3/2 π

reemplazando

v(0) = - 0,2 m ω  sen (π /2) = - 0,2 m ω = 1 m/s  

ó

v(0) = - 0,2 m ω  sen (3/2 π) = + 0,2 m ω = 1 m/s  

ω  > 0 --------- > φ =  3/2 π  < -------- fase inicial

despejando ω

ω = 1 m/s / 0,2 m = 5 s^-1   < -------- pulsación

reemplazando

x(t) = 0,2 m  cos (5 s^-1 t + 3/2 π ) < -------- posición

v(t) = dx(t)/dt = - 0,2 m (5 s^-1 ) sen (5 s^-1 t + 3/2 π ) < -------- velocidad

a(t) = dv(t)/dt = - 0,2 m (5 s^-1 )² cos (5 s^-1 t + 3/2 π ) < -------- aceleración

b) ¿En qué instantes el cuerpo pasa por el origen de coordenadas?

x(t) = 0,2 m  cos (5 s^-1 t + 3/2 π ) = 0

despejando t

cos (5 s^-1 t + 3/2 π ) = 0

Esta ecuación tiene dos soluciones, con n entero

5 s^-1 t + 3/2 π = π /2 +  2 n π = ( 4 n + 1) π /2

5 s^-1 t + 3/2 π = 3/2 π  + 2 n π = ( 4 n + 3) π /2

Combinando ambas ecuaciones

5 s^-1 t + 3/2 π = ( 2 n + 3) π /2

despejando t

t = ( ( 2 n + 3) π /2 - 3/2 π ) / 5 s^-1 = N π / 5 s^-1  < ------- instante en que pasa por el origen con N entero