Dinámica – 101 MAS

Dinámica 101. Un péndulo simple de longitud L oscila con amplitud A, pequeña. Expresar, como función del tiempo:

a) Su desplazamiento angular.

DCL

Ecuación de Newton

∑ F = T – Pc  = m ac

∑ F = Pt  =  m at

donde

T = tensión de la cuerda

P = peso = m g

Pc = P cos θ

Pt = P sen θ

ac = aceleración centrípeta = v² / R

at = aceleración tangencial

R = longitud = L

∑ F = Pt  =  m at

Reemplazando en la Ecuación de Newton tangencial

m g sen θ = m at

además

at = aceleración tangencial = aceleración angular * radio = γ L

para ángulos pequeños sen θ ≈ θ

reemplazando

g θ - γ L = 0

la ecuación diferencial

g/L θ – d²θ/d²t = 0  <  ----------- ecuación de movimiento angular

Esta ecuación diferencial tiene como solución general

θ(t) = a cos (o t + φ) <  ----------- desplazamiento angular

donde

θA = amplitud = ángulo de apartamiento máximo =  A/L ( comparando x(t) = θ(t) L)

ωo = pulsación = √( g/L)

φ = fase inicial

b) Su velocidad angular.

ω(t)  = dθ(t)/dt = - θA ωo  sen (ωo t + φ)  <  ----------- velocidad angular

c) Su aceleración angular.

γ(t) = dω(t)/dt =  - θA ωo²  cos (ωo t + φ)  <  ----------- aceleración angular

d) Su velocidad tangencial.

v(t)  = w(t) L = - A ωo  sen (ωo t + φ)  <  ----------- velocidad tangencial

e) Su aceleración centrípeta.

ac (t) = v(t)  / L = A² ωo² / L  sen² (ωo t + φ)

f) La tensión que ejerce la cuerda si la masa de la lenteja es m. ¿Para qué desplazamiento angular la tensión es máxima? Comparar con la intensidad de la fuerza peso.

Reemplazando en la Ecuación de Newton centrípeta y despejando T

T = m g cos θ  + m v² / L = m (g cos θ  + v² / L )  < -----------  tensión

Tmax --- > cos θ = 1 --- > θ = 0  < -----------  desplazamiento angular para Tmax (posición vertical)

La tensión aumenta con la velocidad, tiene un mínimo cuando el péndulo alcanza su amplitud y un máximo cuando el péndulo pasa por la posición vertical.