Hidrostática – 1.18 Principio de Arquímedes

 Hidrostática 1.18. EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY:

Según la leyenda, el rey Hierón le entregó 1 kg de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si bien esa fue la masa de la corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata oculta en el interior de la corona. Entonces le encomendó a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona. Arquímedes la sumergió en agua y observó que el volumen de líquido desplazado era 64,8 cm³.

a) ¿Cuál debería ser el volumen de líquido desplazado por una auténtica corona de oro puro?

ρc = densidad de la corona = ρo = densidad de oro = masa corona (mc) / volumen corona (Vc)

reemplazando ρo  = 19,30 gr/cm³ y despejando Vc

Vc = mc / ρo = 1 kg / 19,300 gr/cm³  =  51,8 cm³ < ------ volumen de agua desalojada si la corona de oro

b) ¿Qué cantidad de oro sustituyó el joyero por plata?

Vc´= Vo + Vρ

donde

Vc´= volumen de la corona = volumen del agua desalojada = 64,8 cm³

Vo = volumen de oro = mo / ρo

mo = masa de oro

ρo = densidad del oro = 19,30 gr/cm³

Vp = volumen de plata = mp / ρp

mp = masa de plata

ρp = densidad de plata = 10,50 gr/cm³

Además

mc = mo + mp

donde

mc = masa de la corona = 1 kg

mo = masa de oro

mp = masa de plata

reemplazando

 Vc´ = ((mc – mp) / ρo + mp / ρp = mc / ρo + mp (1/ρp - 1/ρo)

 despejando mp

mp = (Vc´ - mc/ρo) / (1/ρp - 1/ρo) = (64,8cm³ – 1.000g/19,30gr/cm³) / (1/10,50gr/cm³ - 1/19,30gr/cm³) =

mp = 300 gr < --------------- masa de plata

c) En una balanza de brazos iguales se coloca la corona “trucha” de un lado e igual masa de oro del otro. En el aire el sistema está en equilibrio; cuando se sumerge en agua se desequilibra. ¿Qué pesa se debería agregar sobre la barra y en dónde para conseguir equilibrar el sistema?

DCL

TcL + Ec = Pc

donde

TcL = tensión del brazo de la corona en el agua

Ec = empuje de la corona = peso del volumen de agua desalojada = ρL VcL g

ρL = densidad del agua = 1.000 kg/m3

VcL = volumen del agua desalojada por la corona =  64,8 cm³ = 6,48 x 10^-5 m³

Pc = peso de la corona = mc g = 1 kg 10 m/s² = 10 N

reemplazando y despejando TcL

TcL = Pc – Ec = 10 N - 1.000 kg/m³ 6,48 x 10^-5 m³ 10 m/s² = 9,352 N < ------ tensión brazo de la corona

TmL + Em  = Pm

donde

TmL = tensión del brazo de la masa de oro en el agua

Em = empuje de la masa de oro = peso del volumen de agua desalojada = ρL VmL g

ρL = densidad del agua = 1.000 kg/m3

VmL = volumen del agua desalojada por la masa de oro =  51,8 cm³  = 5,18 x 10^-5 m³

Pm = peso de la masa = mm g = 1 kg 10 m/s² = 10 N

reemplazando y despejando TmL

TmL = Pm – Em = 10 N - 1.000 kg/m³ 5,18 x 10^-5 m³ 10 m/s² = 9,482 N < ----- tensión brazo de la masa

TmL > TcL (los brazos están desequilibrados)

TmL – TcL = 9,482 N - 9,352 N = 0,130 N = 13 grf  < ------- pesa a agregar  en el brazo de la corona