Dinámica – 99 MAS

Dinámica 99. Considere una partícula de masa m suspendida del techo por medio de un resorte de constante elástica k y longitud natural l₀. Determine cómo varía su posición en función del tiempo sabiendo que en t = 0 la partícula se halla a una distancia 2 l₀ del techo con velocidad nula. Considere que la distancia 2l₀ es mayor a la longitud de equilibrio.

DCL

Posición de equilibrio

Ecuación de Newton

∑ F = Fe – P = 0 (en el equilibrio)

donde

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte

Δl = estiramiento = (le – lo)

le = longitud del resorte en equilibrio

lo = longitud natural

P = peso = m g

reemplazando y despejando le

le = m g / k + lo

Posición resorte estirado a 2lo (inicio del MAS)

Ecuación de Newton

∑ F = Fe – P = m a

Solución general

x(t) = A cos (ω t + φ)  

v(t) = - A ω  sen (ω t + φ)  

donde

A = amplitud = 2lo – le = 2lo – (m g / k + lo) = lo – m g / k

ω = pulsación = √(k/m)

φ = fase inicial

para t = 0 -- > v(0) =  0

reemplazando en la ecuación de v(t)

v(0) = - A ω  sen (φ) = 0

despejando φ

φ =  arco sen (0) = 0

reemplazando en x(t)

x(t) = (lo – m g / k) cos (√(k/m) t)  < ------------ posición en función del tiempo

posición a partir del techo le + x(t)

x(t) = (lo – m g / k) cos (√(k/m) t) + (m g / k + lo)  < ------------ posición en función del tiempo a partir del techo