Dinámica 97.
Un cuerpo de masa 0,75 kg se sujeta a un resorte horizontal de constante elástica de 48 N/m, cuyo otro extremo se encuentra
fijo a una pared. Se estira el resorte separando el cuerpo 0,2 m a partir de la posición de equilibrio y se lo suelta. El
origen del sistema de referencia está en la posición de equilibrio y es
positivo en el sentido en que se estira el resorte. Hallar:
a)
El período de la oscilación.
ω = √(k/m) =
2 π / τ
donde
ω = pulsación
k = constante del resorte = 48 N/m
m = masa = 0,75 kg
τ = periodo
despejando σ
τ = 2 π / √(k/m) = 2 π /√( 48 N/m / 0,75 kg ) = 0,785 s < ------------ periodo
b)
La ecuación de movimiento.
d2x/d2t – k/m x = 0
donde
k/m = 48 N/m /
0,75 kg = 64 s-2
reemplazando
d2x/d2t
– (64 s-2) x = 0 < ------------ ecuación de movimiento
Solución general
x(t) = A cos (ω t + φ)
donde
A = amplitud = 0,2 m
φ
= fase inicial = 0 (Para t = 0, x(0) =
0)
ω = pulsación = √(k/m) = √( 48 N/m / 0,75 kg ) = 8 s-1
reemplazando
x(t)
= 0,2 m cos (8 s-1 t) <
------------ ecuación de la posición
v(t) = dx(t)/dt
= - 0,2 m 8 s-1 sen (8 s-1
t) < ------------ ecuación de la
velocidad
a(t)
=
dv(t)/dt = - 0,2 m (8 s-1 )2 cos (8
s-1 t) < ------------ ecuación
de la aceleración
c)
¿Cuánto tarda en pasar por segunda vez por la posición de equilibrio y con qué
velocidad lo hace?
Tiempo
(Posición
de equilibrio x = 0)
x(t) = 0,2 m cos (8 s-1 t) = 0
despejando t
t = 1/ 8 s-1 arco cos (0)
t1 = 1/ 8 s-1 * π /2 =
0,20 s < --------- pasa por primera vez
t2
= 1/ 8 s-1 * 3/2 π = 0,59 s
< --------- pasa
por segunda vez
velocidad
v(0,59
s)
= - 0,2 m 8 s-1 sen (8 s-1 0,59 s) = 1,6 m/s < --------- velocidad pasa por segunda vez
d)
El instante en el que el móvil pasa por primera vez por la posición x = − 0,1 m, después de haber pasado por
el origen.
x(t) = 0,2 m cos (8 s-1 t) = - 0,1 m
despejando t
t
= 1/ 8 s-1 arco cos (- 0,1 / 0,2 ) = 1/8 s-1 2/3 π = 1/12 π s = 0,26 s < --------- pasa por – 0,1 m
0,20 s < 0,26 s
e)
Los valores de la velocidad y de la aceleración del cuerpo para el instante
calculado en d).
reemplazando
v(0,26 s) =
- 0,2 m 8 s-1 sen (8 s-1 0,26 s)
= - 1,39 m/s <
------------ velocidad
a(0,26 s)
= - 0,2 m (8 s-1 )2 cos (8 s-1 0,26 s)
= - 6,4 m/s2 < ------------ aceleración
f)
Graficar posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
hola noemi, no entiendo el despeje de t en el C), muchas gracias, saludos
ResponderEliminara mi el despeje me quedo: t= 1/ 8 s-1 arco cos (90)
Eliminarx = 0,2 m cos (8 s-1 t) = 0
ResponderEliminarcos (8s-1 t) = 0
8s-1 t = arcos(0) = Pi/2 (ó 90º)
t1 = (1/8)s pi/2 pasa la primera vez
t2 = t1 + periodo = (1/8)s pi/2 + (2pi/8)s = (1/8)s 3/2 pi
por otro lado arco cos (90) no existe
en la ultima ecuacion si se saca factor comun (1/8)s, queda eso multiplicado a (pi/2 + 2pi), y esta suma da (5/2)pi. no entiendo como se llega al (3/2)pi
EliminarSi tenes razón, hay un error de tipeo en el comentario. Se
ResponderEliminarsuma medio periodo (Pi/8).
t2 = t1 + Pi/8 = 1/8 Pi/2 + Pi/8 = Pi/8 (1/2 + 1) = 3/2 Pi/8
muchas gracias!!
Eliminarhola, y con el seno como seria en el punto c? lo intente hacer pero no me sale
ResponderEliminarsen(θ -- π /2) = cos (θ)
ResponderEliminarx(t) = 0,2 m sen (8 s-1 t - π /2) < ------------ ecuación de la posición
v(t) = dx(t)/dt = 0,2 m 8 s-1 cos (8 s-1 t - π /2) < ------------ ecuación de la velocidad
a(t) = dv(t)/dt = - 0,2 m (8 s-1 )2 sen (8 s-1 t - π /2) < ------------ ecuación de la aceleración
x(t) = 0,2 m sen (8 s-1 t - π /2) = 0
despejando t
sen (8 s-1 t - π /2) = 0
8 s-1 t - π /2 = 0
8 s-1 t = π /2
t = π /2 / 8 s-1
t1 = π /2 / 8 s-1 = 0,20 s < --------- pasa por primera vez
t2 = (π /2 + 1 π) / 8 s-1 = 0,59 s < --------- pasa por segunda vez
velocidad
v(0,59 s) = 0,2 m 8 s-1 cos (8 s-1 0,59 s - π /2) = 1,6 m/s < --------- velocidad pasa por segunda vez