Dinámica – 105 Sistemas no inerciales

Dinámica 105. Repetir el problema anterior (incisos a, b y c), sabiendo que el paquete no desliza respecto del piso y sabiendo que el coeficiente estático de rozamiento es µ_e.

a) Graficar cuáles son las fuerzas que actúan sobre el paquete. Indicar cuáles son y dónde están aplicados sus pares de interacción.

N = Normal = fuerza que ejerce el piso del colectivo sobre el paquete

Par de acción – reacción -- > Fuerza que ejerce el paquete sobre el piso del colectivo

P = peso = fuerza de atracción de la Tierra sobre el paquete

Par de acción – reacción -- > fuerza de atracción del paquete sobre la Tierra

Froz = fuerza de rozamiento entre el piso del colectivo y el paquete

Par de acción – reacción -- > fuerza de rozamiento entre el paquete y el piso del colectivo

b) Escribir las ecuaciones de movimiento del paquete tomando como sistema de referencia, S, a uno fijo a la vereda (sistema inercial).

Ecuaciones de movimiento (respecto de S)

x = xo + vo t + ½ ap t²

v = vo + ap t

donde

x = posición en el instante t

xo = posición inicial = 0

vo = velocidad inicial = 0 (parte del reposo)

ap = aceleración del paquete = aceleración del colectivo = a (el paquete no se desliza, se mueve con el colectivo)

reemplazando

x = ½ a t² 

v = a t  

c) Plantear el problema ahora tomando como sistema de referencia, S', a uno fijo al colectivo (sistema no inercial).

vpt = vpc + vct   (vectorial)

donde

vpt = velocidad del paquete respecto a tierra  

vpc = velocidad del paquete respecto al colectivo = 0 (no se desliza)

vct = velocidad del colectivo respecto a tierra = a t

a = aceleración del colectivo

Ecuaciones de movimiento (respecto de S´)

x´ = xo´ + vo´ t + ½ ap´ t²

v´ = vo´ + ap´ t

donde

x´ = posición en el instante t

xo´ = posición inicial = 0

vo´ = velocidad inicial = 0 (parte del reposo)

ap´ = aceleración = 0 (no se desplaza respecto del colectivo)

reemplazando

x´ = 0

v´ = 0

¿Es compatible el comportamiento del paquete con las ecuaciones de movimiento obtenidas a partir de las leyes de Newton?

aceleración del paquete = 0 ---- >  F = 0    No se cumplen las leyes de Newton

¿Qué fuerza resulta necesaria postular para "salvar" la validez de las leyes de Newton?

Fi = Fuerza inercial = masa del cuerpo * ( - aceleración del sistema de referencia)

¿Dónde debe aplicar esta fuerza?

Fuerza inercial aplicada al paquete.

¿Existe una fuerza con la cual constituya un par acción-reacción?

La fuerza inercial no se asocia a una interacción, no existe un par acción-reacción

d) Analice desde ambos sistemas cual es la máxima aceleración a_máx que puede adquirir el colectivo para que el paquete no resbale.

Sistema inercial (S)

Ecuación de Newton

Según x ----- -- >∑ F = Froz = m ap

Según y ----- -- >∑ F = N – P = 0

calculando la fuerza de rozamiento máxima (estática)

Froz = µe N = µe P ₌ µe m g

reemplazando en la ecuación según x y despejando ap = a

a max = Froz / m = µe m g / m = µe g  < ----------- aceleración máxima (S)

Sistema no inercial (S`)

Ecuación de Newton

Según x ----- -- >∑ F = Froz + Fi = 0

Según y ----- -- >∑ F = N – P = 0

donde

Fi = fuerza inercial = - m a

a = aceleración del sistema de referencia = aceleración del colectivo

calculando la fuerza de rozamiento máxima (estática)

Froz = µe N = µe P ₌ µe m g

reemplazando Froz y Fi en la ecuación según x

µe m g – m a = 0

despejando a

a max = µe m g / m = µe g  < ----------- aceleración máxima (S´)

e) Para aceleraciones del colectivo, a > a_máx, ¿cuánto vale el vector aceleración del paquete respecto de S y de S'? Tome μ_d como dato?

Sistema inercial (S)

Ecuación de Newton

Según x ----- -- >∑ F = Froz = m ap

Según y ----- -- >∑ F = N – P = 0

calculando la fuerza de rozamiento dinámica

Froz = µd N = µd P ₌ µd m g

reemplazando en la ecuación según x y despejando ap

ap = Froz / m = µd m g / m = µd g  < ----------- aceleración del paquete (S)

Sistema no inercial (S`)

Ecuación de Newton

Según x ----- -- >∑ F = Froz + Fi = m ap

Según y ----- -- >∑ F = N – P = 0

donde

Fi = fuerza inercial = - m a

a = aceleración del sistema

calculando la fuerza de rozamiento dinámica

Froz = µd N = µd P ₌ µd m g

reemplazando Froz y Fi en la ecuación según x

µd m g – m a = m ap

despejando ap

ap  = (µd m g – m a ) / m = (µd g – a) < ----------- aceleración del paquete (S´)