Dinámica – 95 Fuerza elástica

Dinámica 95. Se engancha una partícula de 1 kg a un resorte de masa despreciable de constante elástica 10 N/cm y longitud natural 48 cm. Se hace girar al cuerpo como un péndulo cónico con una frecuencia constante de 60 rpm.

a) Calcular el alargamiento del resorte respecto a su longitud natural.

DCL

Ecuaciones de Newton

Según r ---- > ∑F = Fex = m ac

Según y ---- > ∑F = Fey – P = 0

donde

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte = 10 N/cm = 1.000 N/m

Δl = estiramiento = (l – lo)

l = longitud del resorte estirado

lo = longitud natural = 48 cm = 0,48 m

Fex = Fe sen θ

Fey = Fe cos θ

θ  = ángulo de la soga con la vertical

ac = aceleración centrípeta = ω²  R

ω = velocidad angular = 60 revoluciones / minuto = 60 * 2 π / 60 s = 2 π s^-1

R = radio de giro 

m = masa = 1 kg

P = peso = m g

Radio de giro

donde

l = longitud del resorte

θ  = ángulo de la soga con la vertical

R = radio de giro = l sen θ

reemplazando Fex en la ecuación según r

k (l – lo)  sen θ = m ω² l sen θ

despejando l

l = k lo / ( k - m ω²) = 1.000 N/m O,48 m  / (1.000 N/m – 1 kg (2 π s^-1 )²) = 0,50 m   < ----------- longitud del resorte estirado

l – lo = 0,50 m  – 0,48 m = 0,02 m < ----------- alargamiento respecto de la longitud natural

b) Calcular el ángulo que forma la altura del cono con la generatriz.

Reemplazando Fey en la ecuación según y

k (l – lo)  cos θ – m g = 0

despejando θ

θ  = arco cos (m g / k (l – lo)) = arco cos (1 kg 10 m/s² / (1.000 N/m 0,02 m)) =  60º < ----- ángulo

Dinámica – 94 Fuerza elástica

Dinámica 94. Un cuerpo de 5 kg se mueve apoyado en una mesa horizontal con rozamiento despreciable, sujeto al extremo de un resorte de constante elástica 1000 N/m, cuya longitud sin carga es 20 cm.

a) ¿Cuál es la longitud del resorte, cuando el cuerpo gira dando dos vueltas por segundo? Considerar que la trayectoria es una circunferencia y despreciar la masa del resorte.

DCL

Ecuación de Newton

Según r  ----- > ∑ F = Fe = m ac

donde

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte = 1.000 N/m

Δl = estiramiento = (l – lo)

l = longitud del resorte estirado

lo = longitud natural = 20 cm = 0,20 m

m = masa del cuerpo = 5 kg

ac = aceleración centrípeta = ω² r

ω = velocidad angular = 2 vueltas / 1 s = 2 (2 π) s^-1

reemplazando en la ecuación

k (l – lo) = m ω² r

despejando l

l = k lo / ( k - m ω²) = 1.000 N/m 0,20 m / ( 1.000 N/m - 5 kg (4 π s^-1 )²) = 0,95 m   < -------- longitud del resorte

b) Expresar la segunda ley de Newton para el caso general de una masa unida a un resorte de constante elástica k y cuya longitud relajado es l₀, cuando gira como se indica en la figura y con una velocidad angular ω. Despejar la longitud l en función de ω y encontrar el rango de valores posibles de ω para que gire con movimiento circular uniforme.

l = k lo / ( k - m ω²)  < -------- longitud del resorte

Para l > 0 (longitud del resorte) y  k lo > 0 --- >  k - m ω² > 0

k - m ω² > 0 --- > k >  m ω²  --- > k/m  >  ω² --- > √(k/m)  >  | ω |  < -------- velocidad angular

Dinámica – 93 Fuerza elástica

Dinámica 93. Un resorte se corta por la mitad como indica la figura. Si la constante elástica del resorte de arriba es k, ¿cuál es la constante de cada uno de los resortes de abajo? Justifique su elección.

 4k █ 2k  k  k/2  k/4

keq = constante de resortes en serie = (1/km + 1/km)^-1

donde

keq = constante del resorte original = k

km = constante de  medio resorte

reemplazando

k =  (1/km + 1/km)^-1 = km/2

despejando km

km = 2 k  < --------------- constante de medio resorte

Dinámica – 92 Fuerza elástica

Dinámica 92. Dos resortes de masa despreciable, cuyas constantes elásticas son k1 y k2, son utilizados para mantener suspendido un objeto cuya masa es m. Para las dos configuraciones que se muestran en el esquema, determinar:

Caso A

DCL

a- ¿Cuál de los dos resortes soporta una fuerza mayor?

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Resorte 1 -----  > ∑ F = F1 - F2 =  0

Resorte 2 -----  > ∑ F = F2 - P =  0

donde

F1 = fuerza elastica = k1 x1

k1 = constante del resorte 1

x1 = variación de la longitud del resorte 1

F2 = fuerza elastica = k2 x2

k2 = constante del resorte 2

x2 = variación de la longitud del resorte 2

P = peso del cuerpo

reemplazando F1 y F2 en la ecuación del resorte 1

F1 = F2

reemplazando F2 en la ecuación del resorte 2

F2 = P

F1 = F2 = P  < ----------- ambos resortes soportan la misma fuerza

b- ¿Cuál de los dos resortes se alarga más?

Reemplazando F1 y F2 por la ley de Hooke y despejando x1 y x2

x1 k1 = P -------- > x1 = P/k1

x2 k2 = P -------- > x2 = P/k2

si k1  > k2 ----- > x1 < x2  < ----------- Se alarga más el resorte de menor constante

c- ¿Cuál es el valor de la constante elástica equivalente del sistema que forman ambos? (Se la define como la constante del resorte único, capaz de reemplazarlos produciendo los mismos efectos).

Analizando el Sistema resorte 1 y 2

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Resorte 1 y 2 -----  > ∑ F = Feq - P =  0

donde

Feq = fuerza elastica equivalente del sistema = keq x

keq = constante equivalente del sistema 1 y 2

x = variación de la longitud total

x = x1 + x2 = P / k1 + P / k2 = P (1/k1 + 1/k2)

reemplazando

x = P / keq = P (1/k1 + 1/k2)

despejando keq

keq = (1/k1 + 1/k2)^-1   < ---------- constante equivalente del sistema A

Caso B

DCL

a- ¿Cuál de los dos resortes soporta una fuerza mayor?

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Cuerpo  -----  > ∑ F = F1 + F2 – P =  0

donde

F1 = fuerza elastica = k1 x

k1 = constante del resorte 1

x1 = variación de la longitud del resorte 1

F2 = fuerza elastica = k2 x

k2 = constante del resorte 2

x2 = variación de la longitud del resorte 2

P = peso del cuerpo

x1 = x2 = x (la barra se mantiene horizontal)

reemplazando F1 y F2 en la ecuación del cuerpo

k1 x + k2 x  = P

como x es igual para ambos resortes ----- > soporta más fuerza el resorte de constante mayor

b- ¿Cuál de los dos resortes se alarga más?

x1 = x2 = x (la barra se mantiene horizontal) < ----------- los resortes se alargan igual

c- ¿Cuál es el valor de la constante elástica equivalente del sistema que forman ambos? (Se la define como la constante del resorte único, capaz de reemplazarlos produciendo los mismos efectos).

Analizando el Sistema resorte 1 y 2

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Resorte 1 y 2 -----  > ∑ F = Feq - P =  0

donde

Feq = fuerza elastica equivalente del sistema = keq x

keq = constante equivalente del sistema 1 y 2

x = variación de la longitud total

reemplazando en la ecuación

keq x = P

comparando con

k1 x + k2 x  = P

keq = k1 + k2   < ---------- constante equivalente del sistema B

Dinámica – 91 Fuerza elástica

Dinámica 91. Ídem ítems a) y b) del problema anterior, considerando la configuración del esquema.

90 a) Suponiendo rozamiento nulo entre el bloque A y el piso. Calcular la longitud del resorte cuando el sistema está en equilibrio. ¿Cuál es la fuerza que ejerce el resorte sobre la pared en este caso?

DCL

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Cuerpo A Según x ----- > ∑ F =  Fe = 0

Cuerpo A Según y ----- > ∑ F = N - PA = 0

Cuerpo B Según y ----- > ∑ F = Fe - PB = 0

donde

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte

Δl = estiramiento o deformación = (la - lo) en tracción

la = longitud estirado

lo = longitud natural

N = normal = fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo

PA, PB = peso del cuerpo A, B = m g

mA, mB = masa del cuerpo A, B

despejando Fe en la ecuación del cuerpo A según x

Fe = 0

despejando Fe en la ecuación del cuerpo B según y

Fe = mB g  

Igualando ambas ecuaciones

mB g = 0  –--- > mB = 0 pero mB ≠ 0  –--- > No hay equilibrio

b) Considerar ahora que el sistema no está en equilibrio. Si la longitud del resorte es l₀ y se deja el sistema en libertad, calcular la aceleración inicial de cada bloque.

Si la longitud del resorte es lo --------- > Fe = k (lo – lo) = 0

Ecuaciones de Newton (sistema no está en equilibrio)

Cuerpo A Según x ----- > ∑ F = 0  = mA aA

Cuerpo B Según y ----- > ∑ F =  - mB g = mB (-aB)

donde

aA = aceleración del cuerpo A

aB = aceleración del cuerpo B

despejando aA y aB

aA = 0 < --------------- aceleración inicial del cuerpo A

aB = g  < --------------- aceleración inicial del cuerpo B

c) Considerar ahora que hay rozamiento entre A y el piso. Encontrar el valor mínimo que debe tener el coeficiente de rozamiento estático, μe, para que el sistema esté en equilibrio. Si el sistema se encuentra en equilibrio, ¿cuánto vale la longitud del resorte?

DCL

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Cuerpo A Según x ----- > ∑ F = Fe - Froz = 0

Cuerpo A Según y ----- > ∑ F = N - PA = 0

Cuerpo B Según y ----- > ∑ F = Fe - PB = 0

donde

Froz = fuerza máxima de rozamiento estático = μe  N

μe = coeficiente de rozamiento estático

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte

Δl = estiramiento o deformación = (lc - lo) en tracción

lc = longitud estirado

lo = longitud natural

despejando N de la ecuación del cuerpo A según y

N = PA = mA g

calculando el Froz máximo

Froz = μe mA g

despejando Fe de la ecuación del cuerpo B según y

Fe = PB = mB g

reemplazando Fe, Froz en la ecuación del cuerpo A según x

mB g + μe mA g  = 0

despejando μe

μe = mB / mA  < -------------- coeficiente de rozamiento estático

reemplazando Fe en la ecuación del cuerpo B según y

Fe = k (lc – lo) = mB g

despejando lc

lc = mB g / k + lo < --------------- longitud del resorte estirado c)

Dinámica – 90 Fuerza elástica

Dinámica 90. Dos bloques, A y B, de masas m_A y m_B están unidos por una cuerda ideal que pasa por una polea ideal. El bloque A está unido a la pared mediante un resorte ideal de constante elástica k y largo natural l₀ .

 a) Suponiendo rozamiento nulo entre el bloque A y el piso. Calcular la longitud del resorte cuando el sistema está en equilibrio. ¿Cuál es la fuerza que ejerce el resorte sobre la pared en este caso?

DCL

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Cuerpo A Según x ----- > ∑ F = T - Fe = 0

Cuerpo A Según y ----- > ∑ F = N - PA = 0

Cuerpo B Según y ----- > ∑ F = T - PB = 0

donde

T = tensión en la soga

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte

Δl = estiramiento o deformación = (la - lo) en tracción

la = longitud estirado

lo = longitud natural

N = normal = fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo

PA, PB = peso del cuerpo A, B = m g

mA, mB = masa del cuerpo A, B

despejando T de la ecuación del cuerpo B según y

T = PB = mB g

reemplazando T en la ecuación del cuerpo A según x

Fe = T = mB g   < --------------- fuerza elastica a)

reemplazando Fe y despejando x

la  = mB g / k + lo    < --------------- longitud del resorte estirado a)

b) Considerar ahora que el sistema no está en equilibrio. Si la longitud del resorte es l₀ y se deja el sistema en libertad, calcular la aceleración inicial de cada bloque.

Si la longitud del resorte es lo --------- > Fe = k (lo – lo) = 0

Ecuaciones de Newton (sistema no está en equilibrio)

Cuerpo A Según x ----- > ∑ F = T  = mA a

Cuerpo B Según y ----- > ∑ F = T - PB = mB (-a)

donde

a = aceleración del sistema (soga ideal)

restando las ecuaciones y despejando a

a = mB g / (mA + mB) < --------------- aceleración inicial del Sistema

c) Considerar ahora que el rozamiento entre bloque A y el piso no es despreciable. Se desplaza al cuerpo que cuelga hacia abajo hasta que el resorte tenga una longitud l, mayor que l₀ y menor que la longitud calculada en a), y se lo suelta. Encontrar el valor mínimo que debe tener el coeficiente de rozamiento estático μ_e para que el sistema, al soltarlo, quede en equilibrio. ¿Depende este valor de la constante elástica del resorte?

DCL

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Cuerpo A Según x ----- > ∑ F = T + Froz - Fe = 0

Cuerpo A Según y ----- > ∑ F = N - PA = 0

Cuerpo B Según y ----- > ∑ F = T - PB = 0

donde

Froz = fuerza máxima de rozamiento estático = μe  N

μe = coeficiente de rozamiento estático

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte

Δl = estiramiento o deformación = (lc - lo) en tracción

lc = longitud estirado con lo < lc < la

lo = longitud natural

despejando N de la ecuación del cuerpo A según y

N = PA = mA g

calculando el Froz máximo

Froz = μe mA g

despejando T de la ecuación del cuerpo B según y

T = PB = mB g

reemplazando Fe, Froz y T en la ecuación del cuerpo A según x

mB g + μe mA g – k (lc – lo) = 0

despejando μe

μe = (k (lc – lo) – mB g)/ (mA g)  < -------------- coeficiente de rozamiento estático

Dinámica – 89 Fuerza elástica

Dinámica 89. Ídem problema anterior (88), pero ahora el resorte está sujeto a la parte superior del plano inclinado. Comparar los resultados.

Datos: lo = 60 cm, k = 500 N/m, m = 30 kg y α = 37º.

 a) Suponiendo que no hay rozamiento, calcular la posición de equilibrio del bloque con respecto al extremo fijo del resorte.

DCL

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Según x ----- > ∑ F = Fe - Px = 0

donde

Fe = fuerza elástica = k Δl

k = constante del resorte =  500 N/m

Δl = estiramiento o deformación = (l - lo)  en tracción

l = longitud estirado

lo = longitud natural = 0,60 m  

P = peso del cuerpo = m g

Px = P sen 37º

m = masa del cuerpo = 30 kg

reemplazando Fe de la ecuación según x

k (l - lo) = Px = P sen 37º = m g sen 37º

igualando y despejando l

l = m g sen 37º / k + lo = 30 kg 10 m/s² sen 37º / 500 N/m + 0,6 m = 0,961 m < -----------  longitud del resorte estirado a)

b) Si ahora hay rozamiento, y los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el bloque y el plano fueran μe = 0,4; μd = 0,15, respectivamente, hallar la máxima longitud que podrá darse al resorte y que el cuerpo permanezca en equilibrio.

DCL

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Según x ----- > ∑ F = Fe - Froz - Px = 0

Según y ----- > ∑ F = N - Py = 0

donde

Froz = fuerza de rozamiento estático = μe N

μe = coeficiente de rozamiento estático = 0,4

N = normal = fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo

P = peso del cuerpo = m g

Px = P sen 37º

Py = P cos 37º

m = masa del cuerpo = 30 kg

despejando N de la ecuación según y, y reemplazando en Froz

Froz = μe m g cos 37º

reemplazando Fe y Froz de la ecuación según x

k (l - lo) = Px + Froz = m g sen 37º + μe m g cos 37º = m g ( sen 37º + μe cos 37º )

igualando y despejando l

l = (m g ( sen 37º + μe cos 37º )  / k + lo = 30 kg 10 m/s² ( sen 37º + 0,4 cos 37º) / 500 N/m + 0,60 m = 1,153 m < -----------  longitud del resorte estirado b)

c) Con los mismos coeficientes anteriores, hallar la mínima longitud del resorte que conserve el equilibrio.

DCL

Ecuaciones de Newton (sistema en equilibrio)

Según x ----- > ∑ F = Fe + Froz - Px = 0

Según y ----- > ∑ F = N - Py = 0

despejando N de la ecuación según y, y reemplazando en Froz

Froz = μe m g cos 37º

reemplazando Fe y Froz de la ecuación según x

k (l - lo) = Px - Froz = m g sen 37º - μe m g cos 37º = m g ( sen 37º - μe cos 37º )

Igualando y despejando l

l = (m g ( sen 37º -  μe cos 37º )  / k + lo = 30 kg 10 m/s² ( sen 37º - 0,4 cos 37º) / 500 N/m + 0,60 m = 0,769 m < -----------  longitud del resorte estirado c)

Long.normal	problema 88		problema 89
lo= 0,600 m	Δl(m)	l(m)	Δl(m)	l(m)
ítem a	-0,361	0,239	0,361	0,961
ítem b	-0,169	0,431	0,553	1,153
ítem c	-0,553	0,047	0,169	0,769
		comprimido		estirado