Dinámica – 19 Leyes de la Dinámica

Dinámica  19. En el sistema de la figura pueden despreciarse las masas de la cuerda y la polea, así como el rozamiento en la misma. Se lo deja libre, partiendo del reposo, con el bloque 1 a nivel del piso, y el 2 a 4 m de altura. El bloque 2, cuya masa es 6 kg, tarda 2 s en llegar al piso. Con esa información:

a- Hallar la masa del bloque 1.

DCL

Ecuaciones de Newton

Bloque 1 según y ----- > ∑F = T21 – P1  = m1 a1

Bloque 2 según y ----- > ∑F = T12 – P2  = m2 (-a2)

donde

T21 = Tensión ejercida por el  bloque 2 sobre el  bloque 1

T12 = Tensión ejercida por el  bloque 1 sobre el  bloque 2

P1 = peso del  bloque 1 

P2 = peso del  bloque 2 = m2 g

m1 = masa del  bloque 1

m2 = masa del  bloque 2 = 6kg

g = aceleración de la gravedad

a1 = aceleración del  bloque 1

a2 = aceleración del  bloque 2 (ver ítem b )  = 2 m/s²

Reemplazando a1 = a2 = a (El conjunto se mueve junto) y |T12| = |T21| (son pares acción/ reacción), restando  ambas ecuaciones

m2 g  – m1 g = m1 a + m2 a

Reemplazando por los valores y despejando m1

m1 = 6 kg (10 m/s² - 2 m/s² ) / (10 m/s² + 2 m/s² ) = 4 kg  < ----------- masa del bloque 1

b- Hallar con qué velocidad llegó al piso el bloque 2.

Ecuaciones horarias del bloque 2

y(t) = yo -  vo t -  ½ a2 t²

v(t) = - vo - a2 t

donde

y = posición en t = 2s = 0

yo = posición inicial =4 m

vo = velocidad inicial = 0

a2 = aceleración del bloque 2

reemplazando en la ecuación de y

0 = 4m – ½ a2 (2s)²

Despejando a2

a2 = 4m * 2 / (2s)²   = 2 m/s²

Reemplazando a2 en la ecuación de la velocidad

v(t=2s)  = 0 - 2 m/s² 2 s = - 4m/s  < ---------- velocidad con que llega al piso

c- Hallar qué altura máxima sobre el piso alcanzará la base del bloque 1.

Tramo 1   0s < t <  2 s (hasta que el bloque 2 llega al piso)

Ecuaciones horarias del bloque 1

y(t) = yo +  vo t +  ½ a t²

v(t) = vo + a t

donde

y = posición en t = 2s

yo = posición inicial = 0

vo = velocidad inicial = 0

a = aceleración del bloque 1 = aceleración del sistema = 2 m/s²

reemplazando en las ecuación horarias

y(2s)  =  ½ 2 m/s² (2s)²  = 4m < --------- altura del bloque 1 en el tramo 1

v(2s) = 2 m/s² 2s = 4 m/s < -------- velocidad del bloque 1 en el tramo 1

Tramo 2  2s < t ( bloque 1 sin la interacción del bloque 2, desaparece la tensión de la cuerda)

Ecuaciones horarias del bloque 1

y(t) = yo1 +  vo1 (t – t1) -  ½ g (t - t1)²

v(t) = vo1 - g  (t  - t1)

donde

y = posición en t

yo1 = posición inicial = posición final del tramo 1= 4 m

vo1 = velocidad inicial = velocidad final del tramo 1 = 4 m/s

t1 = 2 s

g = aceleración de la gravedad

reemplazando en la ecuación de y

y(t)  =  4m + 4 m/s (t – 2s) - ½ 10 m/s² (t - 2s)²  

v(t) = 4 m/s - 10 m/s² (t - 2s)  

altura máxima ---- > v(t) = 0

despejando t

t = 4 m/s / 10 m/s² + 2s = 2,4 s

reemplazando en la ecuación de y

y(t)  =  4m + 4 m/s (2,4 s – 2s) - ½ 10 m/s² (2,4 s - 2s)²  = 4,8 m < ----------- altura máxima del bloque 1

d- Hallar la fuerza que soporta el techo.

DCL

Bloque 2 según y ----- > ∑F = T12 – P2  = m2 (-a2)

Polea según y ----- > ∑F = F - T12 – T21  = 0

Despejando T12

T12 = m2 g – m2 a2 = 6 kg (10 m/s² - 2 m/s² ) = 48 N

|T21| = |T12| = 48 N  (pares acción/reacción)

Reemplazando y despejando F

F = T12 + T21 = 48 N + 48 N = 96 N  < ----------- fuerza del techo

e- Graficar la intensidad de la fuerza que soporta la soga, en función del tiempo, hasta que comienza a subir el bloque 2

El bloque 2 comienza a subir cuando el bloque 1 “tensa” la cuerda.

El bloque 1 tarda 2s en subir arrastrado por el bloque 2, 0,4 s en subir libre y 0,4s en bajar libre y en ese momento “tensa” la cuerda

Tiempo hasta que el bloque 2 comienza a subir = 2 s + 0,4 s + 0,4 s = 2,8 s

Tramo 1	0 < t < 2s	T12 = 48 N
Tramo 2	2s < t < 2,8s	T12 = 0

f- Graficar la aceleración del bloque 1 en función del tiempo, en el mismo intervalo

Tramo 1	0 < t < 2s	a1 =  2m/s2
Tramo 2	2s < t < 2,8s	a1 = - g = - 10 m/s2