Movimiento circular
24. Dos ruedas A y B, de radios RA=
20 cm y RB= 40 cm giran en sentido horario. La frecuencia
de rotación de la rueda A es de 120 r.p.m. y la de la rueda B es de 240
r.p.m. En cierto instante se le aplica un freno a cada rueda de forma tal
que A se detiene en 16 s y B en 8 s, ambas con aceleración
angular constante.
a) Para cada
rueda expresar la aceleración angular, la velocidad angular y el ángulo en
función del tiempo.
Cuidado en
el sistema de referencia los ángulos se miden en sentido antihorario
Rueda A
Ecuaciones
horarias angulares
θ = θo +
ωo t + ½ γ t2
ω = ωo +
γ t
donde
θo = ángulo
inicial = 0
ωo =
velocidad angular inicial = 120 rpm * 2π / 60 s = - 4π 1/s
γ = aceleración angular = Δω / t =
(0 + 4π rad/s)/16s =
π/4 1/s2
reemplazando
θA = - 4π 1/s t + π/8 1/s2
t2 < -------- posición
angular
ωA = - 4π 1/s + π/4
1/s2 t <
---------- velocidad angular
γA = π/4
1/s2 < ---------- aceleración angular
Rueda B
Ecuaciones
horarias angulares
θ = θo
+ ωo t + ½ γ t2
ω = ωo
+ γ t
donde
θo = ángulo
inicial = 0
ωo =
velocidad angular inicial = 240 rpm * 2π / 60 s = - 8π 1/s
γ = aceleración angular = Δω / t =
(0 + 8π rad/s)/8s =
π 1/s2
reemplazando
θB = - 8π 1/s t + π/2 1/s2
t2 < ----------- posición
angular
ωB = - 8π 1/s + π
1/s2 t <
---------- velocidad
angular
γB = π
1/s2 < -------- aceleración angular
b)
b.1 ¿En qué
instante tienen ambas ruedas la misma velocidad angular?
ωA
= ωB
reemplazando
- 4π
1/s +
π/4 1/s2 t = - 8π 1/s + π
1/s2 t
Reordenando y despejando t
t = (-4π 1/s +
8π 1/s )/ (π 1/s2 - π/4 1/s2 )= 5,33 s < --------- instante igual
velocidad angular
b.2 ¿En qué
instante los puntos de la periferia tienen velocidades de igual módulo?
vA = vB
con vA = RA ωA y vB = RB ωB
reemplazando
0,20 m (- 4π
1/s +
π/4 1/s2 t ) = 0,40 m (- 8π 1/s + π
1/s2 t)
Reodenando y despejando t
t = (-4π 0,2 m/s
+ 8π 0,4 m/s )/ (π 0,4 m/s2 - π/4 0,2 m/s2 ) = 6,86 s < ----------- instante igual
velocidad tangencial
c) Calcular el
ángulo barrido por cada rueda entre el instante en el cual se aplican los
frenos y cada uno de los instantes del item b).
Rueda A
θA = - 4π
1/s t + π/8 1/s2 t2
reemplazando t=5,33 s y t=6,86 s
θA(5,33s)
= - 4π 1/s (5,33s)
+ π/8 1/s2 (5,33s)2 = -17,78 π < --------- ángulo barrido en t = 5,33 s
θA(6,86s)
= - 4π 1/s (6,86s)
+ π/8 1/s2 (6,86s)2 = - 21,55 π < --------- ángulo
barrido en t = 6,86 s
Rueda B
θB = - 8π 1/s t + π/2 1/s2 t2
reemplazando t=5,33 s y t=6,86 s
θB(5,33s)
= - 8π 1/s 5,33 s + π/2 1/s2 (5,33s)2 = -28,44 π < --------- ángulo
barrido en t = 5,33 s
θB(6,86s)
= - 8π 1/s 6,68 s + π/2 1/s2 (6,86s)2 = - 31,35 π < --------- ángulo barrido en t = 6,86 s
Por qué se miden los ángulos en sentido antihorario? Si las ruedas van en sentido horario
ResponderEliminarPor convención en sentido antihorario los ángulos son positivos y en sentido horario son negativos.
ResponderEliminarEs el mismo caso, que el eje de las x es positivo a la derecha o el eje y es positivo para arriba, una convención.
Pero arriba puso que los ángulos se miden en sistema antihorario, pero si son negativos, no sería horario?
ResponderEliminarLos ángulos se miden en el sistema antihorario,
ResponderEliminarentonces
el angulo barido es negativos (giro horario)
la velocidad angular es negativa (giro horario) y
la aceleración angular positiva (frena --- signo contrario a la velocidad)
Pensalo desde otro punto de vista
el ángulo cero esta sobre el eje x
donde esta el ángulo Pi/2?(el ángulo crece en el sentido antihorario)
donde esta el ángulo -Pi/2?(el ángulo decrece en el sentido horario)
Gracias!
ResponderEliminarHola @Noemi Fisica CBC tengo una duda. En el enunciado del problema dice que la frecuencia en A es de 120 rpm, pero para averiguar ω0 usted pasó los 120 rpm a rad/s como si este fuese el valor de la velocidad angular. Responda cuando pueda. Gracias.
ResponderEliminarωo = velocidad angular inicial = 120 rpm * 2π / 60 s = - 4π 1/s
ResponderEliminarPero si 120 rpm es la frecuencia, como dice en el enunciado, ωo debería ser igual a 2π*120 rpm, basándonos en la ecuación "ω = 2π * f".
ResponderEliminarrpm = revoluciones por minuto
ResponderEliminarpara ser coherente con las unidades hay que escribirlo en segundos no minutos
Haciendo 120 * (2π / 60 s) nos da el valor de 120 rpm en rad/s que es
ResponderEliminar4π 1/s, esto es la frecuencia en rad/s, ya que 120 rpm era la frecuencia. Entonces par averiguar ωo, usando la ecuación ω = 2π * f, se debe reemplazar f por lo que nos dio previamente (4π 1/s) de tal manera que nos queda ω = 2π * 4π 1/s. Yo lo entiendo así, no sé que estoy haciendo mal.
rpm es la unidad del sistema técnico de la velocidad angular
ResponderEliminarla unidad del sistema mks es rad/seg
la unidad de la frecuencia es 1/seg = Hertz
Ya entendí, la unidad de frecuencia no es rad/s sino 1/s. Muchas gracias por responder a todas las preguntas. Saludos.
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