Cinemática – 3 Movimiento relativo – 14

Movimiento relativo 14. (opcional)

a) Encuentre el radio de curvatura del punto más alto de la trayectoria de un proyectil disparado con un ángulo inicial α con respecto a la horizontal. (Sugerencia: En el punto máximo, la velocidad es horizontal y la aceleración vertical).

En el punto más alto de la trayectoria |ac| = g y |v| = |v_x| = v_o cos α

ac = v² / R < ------- aceleración centrípeta

despejando R y reemplazando

R = v² / g = (v_o cos α)²/g  < ---------- radio de curvatura en la altura máxima

b) Evaluar para: α = 30º y |v₀ |= 10 m/s.

R = (10 m/s cos 30º) ² / 10 m/s² = 7,5 m  < ---------- radio de curvatura en la altura máxima

c) Con los datos del proyectil (b), calcule el radio de curvatura cuando está en la mitad de altura al subir y al bajar, interpetar.

Ecuaciones horarias según el eje y

y = yo +  v_o * sen 30º  t- ½ g t²  < --------- altura

v_y = v_o * sen 30º - g t   < ---------- velocidad

Altura máxima --- > v_y = 0

reemplazando en la ecuación de velocidad y despejando t

t_M = 10 m/s  sen 30º / 10 m/s² = 0,5 s < ------ tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima

reemplazando t_M = 0,5 s en la ecuación de la altura

y_M =  10 m/s sen 30º 0,5 s  - ½ 10 m/s² (0,5s)²  = 1,25 m < --- altura máxima

altura a la mitad de recorrido = altura máxima / 2 = 1,25 m /2 = 0,625 m

reemplazando en la ecuación de la altura

0,625 m =  10 m/s sen 30º t  - ½ 10 m/s² t²

Esta cuadrática tiene dos soluciones

t1 = 0,146 s  ( < t_M--- >  subida)

t2 = 0,854 s ( > t_M  ---- > bajada )

Subida t1 = 0,146 s

v = velocidad ( flecha roja)

g = aceleración de la gravedad (flecha verde)

ac = aceleración centrípeta = componente de g en dirección al centro de la curvatura (flecha negra)

Trayectoria ( curva naranja)

β = ángulo que forma la velocidad con la horizontal = ángulo que forma g con ac

Reemplazando en la ecuaciones de la velocidad

v_x = 10 m/s  cos 30º = 8,66 m/s

v_y = 10 m/s  sen 30º - 10 m/s² g 0,146 s = 3,54 m/s

|v|²  = ( v_x² + v_y²) = 86 m²/s²

β = arco tan(v_y/v_x) =arco tan ( 3,54 m/s / 8,66 m/s) = 22,21º

ac = g cos (β) = 10 m/s²  cos (22,21º) = 9,25 m/s²

reemplazando e na ecuación de R

R = v2 / ac = 86 m²/s² / 9,25 m/s^{2  =} 9,45 m  < --------- radio de curvatura a la mitad de la subida

Bajada t3 = 0,854 s

Reemplazando en la ecuaciones de la velocidad

v_x = 10 m/s  cos 30º = 8,66 m/s

v_y = 10 m/s  sen 30º - 10 m/s² g 0,854 s = - 3,54 m/s

|v|²  = ( v_x² + v_y²) = 86 m²/s²

β = arco tan(v_y/v_x) =arco tan ( - 3,54 m/s / 8,66 m/s) =-  22,21º

ac = g cos (β) = 10 m/s²  cos (- 22,21º) = 9,25 m/s²

reemplazando en la  ecuación de R

R = v2 / ac = 86 m²/s² / 9,25 m/s^{2  =} 9,45 m  < --------- radio de curvatura a la mitad de la bajada