Dinámica – 15 Leyes de la Dinámica

Dinámica  15. En los sistemas A (horizontal) y B (vertical) de la figura, los bloques 1, 2 y 3 están vinculados entre sí por sogas ideales. Los bloques tienen igual masa m. Se desprecian todos los rozamientos. Se aplica al bloque 1 una fuerza F como se indica en la figura.

Sistema A

a) Realizar el diagrama de cuerpo libre para los bloques y las sogas. Identificar los pares de acción-reacción.

DCL

Pares de acción / reacción

P1, P2 y P3  = Peso = Fuerza de atracción de la Tierra al bloque 1, 2 y 3 respectivamente

El par de acción / reacción de P1, P2 y P3 son las fuerzas de atracción de los bloques 1, 2 y 3 sobre la Tierra. (se aplica sobre la Tierra)

T21 = Fuerza que ejerce  el bloque 2  sobre el bloque 1

T12  = Fuerza que ejerce  el bloque 1 sobre el bloque 2

T21  y T12 son pares de acción / reacción.

T32 = Fuerza que ejerce  el bloque 3 sobre el bloque 2

T23  = Fuerza que ejerce  el bloque 2 sobre el bloque 3

T32  y T23 son pares de acción / reacción.

N1, N2 y N3  = Normales = Fuerzas que ejerce sobre los bloques 1, 2 y 3  la superficie sobre la cual está apoyado (mesa)

El par de acción / reacción de N1, N2 y N3 son las fuerzas que ejerce sobre la mesa cada bloque (se aplica sobre la mesa)

b) Elegir un sistema de coordenadas y escribir las ecuaciones de Newton para cada bloque.

Ecuaciones de Newton

Bloque 1

según x ----- > ∑F = F - T21 = m1 a1  (2do ppio de Newton)

según y ---- > ∑F = N1 – P1 = 0 (1er ppio de Newton)

Bloque 2

según x ----- > ∑F = T12 – T32 = m2 a2 (2do ppio de Newton)

según y ---- > ∑F = N2 – P2 = 0 (1er ppio de Newton)

Bloque 3

según x ----- > ∑F = T23 = m3 a2 (2do ppio de Newton)

según y ---- > ∑F = N3 – P3 = 0 (1er ppio de Newton)

donde

F = Fuerza externa

m1 =  m2 =  m3 = masa de los bloques 1, 2 y 3 = m

a1 = a2 = a3 = aceleración de los bloques 1, 2 y 3  (soga ideal) = a

|T21|  =  |T12| pares de acción / reacción.

|T32|  =  |T23| pares de acción / reacción.

c) Calcular la aceleración de cada uno.

Sumando las tres ecuaciones respecto de x

F = m a + m a + m a

despejando a

a = F / 3 m   < ----- aceleración de los tres bloques

d) Calcular la fuerza que transmite cada soga.

Reemplazando a en la ecuación del bloque 3 según x

T23 = m F / 3 m = F / 3  < ---------- tensión del bloque 2 sobre el 3

|T32| = |T23| = F/3 < ---------- tensión del bloque 3 sobre el 2

Reemplazando a en la ecuación del bloque 1 según x  y despejando T21

T21 =  F - m F / 3 m  = 2 F / 3 < ---------- tensión del bloque 2 sobre el 1

|T12| = |T21| = 2F/3 < ---------- tensión del bloque 1 sobre el 2

e) Calcular la fuerza resultante en cada bloque

Bloque 1

según x ----- > R1x = F - T21 = F – 2F/3 = F/3

según y ----- > R1y =  N1 – P1 = 0

R1 = (F/3 ; 0) < ----------- resultante bloque 1

Bloque 2

según x ----- > R2x =  T12 – T32 = 2F/3 – F/3 = F/3

según y ----- > R2y  = N2 – P2 = 0

R2 = (F/3 ; 0) < ----------- resultante bloque 2

Bloque 3

según x ----- > R3x = T23 = F/3

según y ----- > R3y = N3 – P3 = 0

R3 = (F/3 ; 0) < ----------- resultante bloque 3

Sistema B

a) Realizar el diagrama de cuerpo libre para los bloques y las sogas. Identificar los pares de acción-reacción.

DCL

Pares de acción / reacción

P1, P2 y P3  = Peso = Fuerza de atracción de la Tierra al bloque 1, 2 y 3 respectivamente

El par de acción / reacción de P1, P2 y P3 son las fuerzas de atracción de los bloques 1, 2 y 3 sobre la Tierra. (se aplica sobre la Tierra)

T21 = Fuerza que ejerce  el bloque 2  sobre el bloque 1

T12  = Fuerza que ejerce  el bloque 1 sobre el bloque 2

T21  y T12 son pares de acción / reacción.

T32 = Fuerza que ejerce  el bloque 3 sobre el bloque 2

T23  = Fuerza que ejerce  el bloque 2 sobre el bloque 3

T32  y T23 son pares de acción / reacción.

b) Elegir un sistema de coordenadas y escribir las ecuaciones de Newton para cada bloque.

Ecuaciones de Newton

Bloque 1

según x ----- > ∑F = 0 (1er ppio de Newton)

según y ----- > ∑F = F - T21 – P1= m1 a1  (2do ppio de Newton)

Bloque 2

según x ----- > ∑F = 0 (1er ppio de Newton)

según y ----- > ∑F = T12 – P2 – T32 = m2 a2  (2do ppio de Newton)

Bloque 3

según x ----- > ∑F = 0 (1er ppio de Newton)

según y ----- > ∑F = T23 – P3 = m3 a3 (2do ppio de Newton)

donde

F = Fuerza externa

m1 =  m2 =  m3 = masa de los bloques 1, 2 y 3 = m

a1 =  a2 =  a3 = aceleración de los bloques 1, 2 y 3  (soga ideal) =  a

|T21|  =  |T12| pares de acción / reacción.

|T32|  =  |T23| pares de acción / reacción.

P1 =  P2 =  P3  = Peso = m g

c) Calcular la aceleración de cada uno.

Sumando las tres ecuaciones respecto de y

F – m g –  m g – m g = m a + m a + m a

despejando a

a = ( F – 3 m g ) / 3 m   < ----- aceleración de los tres bloques

d) Calcular la fuerza que transmite cada soga.

Reemplazando a en la ecuación del bloque 3 según y

T23 = P3 + m3 a = m g + m ( F – 3 m g ) / 3 m = F/ 3  < ---------- tensión del bloque 2 sobre el 3

|T32| = |T23| = F/3   < ---------- tensión del bloque 3 sobre el 2

Reemplazando a en la ecuación del bloque 1 según y  y despejando T21

T21 = F – P1 - m1 a = F – m g – m ( F – 3 m g ) / 3 m = 2F/3  < ---------- tensión del bloque 2 sobre el 1

|T12| = |T21| = 2F/3 < ---------- tensión del bloque 1 sobre el 2

e) Calcular la fuerza resultante en cada bloque

Bloque 1

según x ----- > R1x = 0

según y ----- > R1y  = F – 2F/3 – m g = F/3 – m g

R1 =  ( 0 ; F/3 – m g ) < ---------- resultante bloque 1

Bloque 2

según x ----- > R2x = 0

según y ----- > R2y = 2F/3 – m g – F/3 = F/3 – mg

R2 =  ( 0 ; F/3 – m g ) < ---------- resultante bloque 2

Bloque 3

según x ----- > R3x = 0

según y ----- > R3y = F/3  – m g

R3 =  ( 0 ; F/3 – m g ) < ---------- resultante bloque 3