Cinemática - 2 Cinemática en dos dimensión – 25 Movimiento Circular

Movimiento circular 25. En una autopista circular de 7,5 m de radio dos competidores prueban sus motocicletas. Ambos giran en sentido horario. Uno de ellos, Gino, prueba su moto partiendo de A realizando un movimiento circular uniforme de frecuencia igual a 30 r.p.m. El otro, Miguel, realiza un movimiento uniformemente acelerado, cuya aceleración angular es de πrad/s². Miguel pasa por B con una velocidad angular de πrad/s en el mismo instante en el que Gino parte de A.

a)

a.1 Escribir las ecuaciones horarias θ(t) para cada una de las motos (especifique claramente cómo mide el ángulo θ).

Cuidado en el sistema de referencia los ángulos se miden en sentido antihorario

Gino (A)

Ecuaciones horarias angulares

θ = θo + ωo t + ½ γ t²  

ω = ωo +  γ t

donde

θo = ángulo inicial = 0

ωo = velocidad angular inicial = 30 rpm * 2π / 60 s = - π 1/s

γ = 0

reemplazando

θG(t) = - π 1/s t  < -------- posición angular

ωG(t) = - π 1/s < ---------- velocidad angular

γG(t) = 0 < ---------- aceleración angular

Miguel (B)

Ecuaciones horarias angulares

θ = θo + ωo t + ½ γ t²  

ω = ωo +  γ t

donde

θo = ángulo inicial = π/2

ωo = velocidad angular inicial =  - π 1/s

γ = aceleración angular = - π 1/s²

reemplazando

θM(t) = π/2 - π 1/s t -  π/2 1/s² t²  < ----------- posición angular

ωM(t) = - π 1/s  -  π 1/s² t < ---------- velocidad angular

γM(t) = - π 1/s² < -------- aceleración angular

a.2 Hallar el instante y la posición en la cual ambos vehículos se encuentran por primera vez .

se encuentran cuando θG = θM y t = te

reemplazando

- π 1/s te = π/2 - π 1/s te -  π/2 1/s² te²

Reordenando y despejando t

te = (π/2 /  π/2 1/s² )^1/2 = 1 s  < --------- tiempo encuentro

θG(1s) = - π 1/s 1s = - π  < -------- posición angular

θM(1s) = π/2 - π 1/s 1s -  π/2 1/s² (1s)²  = - π  < -------- posición angular

b) Calcule los vectores velocidad y aceleración de cada moto en el instante de encuentro. Represéntelos en un esquema.

Gino

ωG(1s) = - π 1/s

|vG(1s)|  = R * ωG(1s) = 7,5 π m/s

vG(1s) = 7,5 π m/s ĵ  < --------- velocidad de Gino

|acG(1s)| = vG(1s)* ωG(1s) = 7,5 π m/s * π 1/s = 7,5 π² m/s²

acG(1s) = 7,5 π² m/s² î < --------- aceleración centrípeta de Gino

Miguel

ωM(1s) = - π 1/s  -  π 1/s² 1s = - 2π 1/s

γM(1s) = - π 1/s²

|vM(1s)|  = R * ωG(t) = 7,5 m  *(-2 π) = 15 π m/s

vM(1s) = 15 π m/s ĵ  < --------- velocidad de Miguel

|aM(t)| = R * γM(t) = 7,5 π m/s²

atM(1s) = 7,5 π m/s² ĵ  < -------- aceleración tangencial de Miguel

|acM(1s)| = vM(1s)* ωM(1s) = 15 π m/s * 2π 1/s = 30 π² m/s²

acM(1s) = 30 π² m/s² î < --------- aceleración centrípeta de Miguel

aM(1s) = 30 π² m/s² î + 7,5 π m/s² ĵ  < ------- aceleración de Miguel