Movimiento circular
23. Un cuerpo inicialmente en reposo, tal que θ(t=0) = 0 y ω(t=0) = 0, es acelerado en una trayectoria circular
de 1,3 m de radio, de acuerdo a la ley: γ = 120 s-4 t2- 48 s-3
t + 16 s-2 donde gamma (γ) es la
aceleración angular medida en seg-2; theta (θ) se mide en radianes y la velocidad
angular omega (ω) en seg-1. Hallar:
a) θ = θ(t) y b) ω = ω(t)
aceleración
angular = γ = 120 s-4 t2-
48 s-3 t + 16 s-2
γ = dω/dt ó bien ω = ∫ γ dt
integrando
ω(t) = 120 s-4 t3 /3 -
48 s-3 t2/2 + 16 s-2 t +C
reemplazando ω(t=0) = 0 ---
> C = 0
ω(t) = 40 s-4 t3
- 24 s-3 t2
+ 16 s-2 t < -------- ω = ω(t)
Además
ω = dθ/dt ó bien θ = ∫ ω dt
integrando
θ(t)
= 40 s-4 t4 /4 - 24 s-3
t3 /3 + 16 s-2 t2/2 + C
reemplazando θ(t=0)
= 0 --- > C = 0
θ(t) = 10 s-4 t4 - 8 s-3 t3 + 8 s-2 t2 < -------- θ = θ(t)
c) Expresa los vectores v y a en t = 0,3 s?
θ(0,3s) = 10 s-4 (0,3s)4 - 8 s-3 (0,3s)3 + 8 s-2 (0,3s)2 = 0,585 rad
ω(0,3s) = 40 s-4 (0,3s)3 - 24 s-3 (0,3s)2 + 16 s-2 (0,3s) = 3,72
rad/s
γ(0,3s) = 120
s-4 (0,3s)2-
48 s-3 (0,3s)
+ 16 s-2 = 12,4 rad/s2
r(t) = R cos θ(t)
î + R sen θ(t) ĵ
derivando
r(t) respecto de t
v(t) = dr(t)/dt = -R sen θ(t) dθ(t)/dt î + R
cos θ(t) dθ(t)/dt ĵ = - R ω(t) sen θ(t) î + R ω(t)
cos θ(t) ĵ =
reemplazando
en t = 0,3 s
v (0,3s)
= - 1,3 m 3,72 rad/s sen (0,585) î + 1,3
m 3,72 rad/s cos (0,585) ĵ = - 2,67 m/s î + 4,03 m/s ĵ < ------ velocidad
derivando
v(t) respecto de t
a(t) = dv(t)/dt= - R (dω(t)/dt sen θ(t) + ω(t)
cos θ(t) dθ(t)/dt)
î +
R (dω(t)/dt cos θ(t)
- ω(t)
sen θ(t) dθ(t)/dt)
ĵ
a(t) = - R (γ (t) sen θ(t) + ω(t)2
cos θ(t))
î +
R (γ (t)
cos θ(t)
- ω(t)2
sen θ(t)
) ĵ
reemplazando t = 0,3 s
a(0,3s) = -1,3 m (12,4 rad/s2
sen(0,585) + (3,72 rad/s)2 cos(0,585)) î + 1,3
m (12,4 rad/s2 cos(0,585) - (3,72 rad/s)2
sen(0,585)) ĵ = - 23,90 m/s î + 3,50 m/s ĵ < ------ aceleración
Recordar
|v(t) |
= R
ω(t)
< -------- velocidad tangencial
|a(t) |
= |at(t) | + |ac(t) |
|at(t)
| = R γ (t) < ---- aceleración tangencial
|ac(t)
| = R ω(t)2 < ---- aceleración
centrípeta
hola, una pregunta, la ecuacion r(t) = R cos θ(t) î + R sen θ(t) de donde la sacas?
ResponderEliminarEs una ecuación vectorial, r(t) es el vector posición
ResponderEliminarR cos θ(t) î, es la compomente según el eje x del vector r(t)
R sen θ(t) ĵ, es la compomente según el eje y del vector r(t)
Hola Noemi. Una pregunta, en el punto c, cuando haces la derivada de V(t), estás calculando la aceleración tangencial no la centrípeta ¿no es así?
ResponderEliminarsi.
ResponderEliminarderivada de la velocidad TANGENCIAL respecto del tiempo = aceleración TANGENCIAL
Muchas gracias!!
ResponderEliminarHola profe, una consulta... cuando derivaste esta ecuación:
ResponderEliminarv(t) = dr(t)/dt = -R sen θ(t) dθ(t)/dt î + R cos θ(t) dθ(t)/dt ĵ = - R ω(t) sen θ(t) î + R ω(t) cos θ(t) ĵ
No entendí porqué está agregada la ω(t) entre medio de -R y sen θ(t), y lo mismo cuando se multiplica por R y el cos θ(t)
ω(t) = dθ(t)/dt
ResponderEliminarmuchas gracias!
EliminarHola, buenas noches. Tengo una consulta con respecto la formula de la aceleracion. ¿Por que se incluye la velocidad angular y la aceleracion angular en la formula? Es asi la formula o es por otra razon?
ResponderEliminarNo entiendo la pregunta
ResponderEliminarA que formula te referis ?
la formula del vector aceleración
ResponderEliminarLa aceleración en el movimiento circular tiene dos componentes:
ResponderEliminarLa aceleración tangencial at(t) = dv/dt = γ(t) R donde γ(t) es la aceleración angular = dω(t)/dt
La aceleración centrípeta ac(t) = v(t) ω(t) = (v(t))^2 /R = (ω(t))^2 R
a(t) = at(t) + ac(t) suma vectorial
perfecto. Muchas gracias!!
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