Cinemática – 3 Movimiento relativo – 13

Movimiento relativo 13. (opcional) Una llanta de radio R rueda sin resbalar con velocidad del centro de masa constante v₀ a lo largo de un plano horizontal.

a) Verificar que la posición de un punto de su borde, inicialmente en 0, está dada por las ecuaciones:

x = R (ω t − sen ωt)

y = R (1 − cos ωt),

donde ω = v₀/R es la velocidad angular de la llanta y t se mide desde el instante en que el punto está inicialmente en contacto con el plano.

Desplazamiento del punto respecto a tierra (x,y) = desplazamiento del punto respecto al centro de la llanta (xpc,ypc) + desplazamiento del centro de la llanta respecto a tierra (xct;yct)

Desplazamiento del centro de la llanta (respecto a Tierra)

Analizando el gráfico

xct(t) = v t

yct(t) = R

Desplazamiento del punto respecto al centro de la llanta (gira en el sentido horario)

Analizando el gráfico

xpc(t) = - R sen θ

ypc(t) = - R cos θ

Componiendo ambos movimientos (desplazamiento del punto respecto a la Tierra)

x(t) = v t  - R sen θ

y(t) = R - R cos θ

donde

v_{0 =} ω R

θ = ω t

reemplazando

x(t) = R ω t – R sen ω t

y(t) = R – R cos ω t

reordenando

x(t) = R (ω t − sen ωt)

y(t) = R (1 − cos ωt)

b) Hallar las componentes de la velocidad y de la aceleración del punto.

velocidad

vx(t) = x´(t) = R  (ω  − ω cos ωt)

vy(t) = y´(t) =  R ω sen ωt

reordenando

vx(t) = R ω (1 − cos ωt)

vy(t) = R ω sen ωt

aceleración

ax(t) = vx´(t) = R ω² sen ωt

ay(t) = vy´(t) =  R ω² cos ωt

c) Dibujar los vectores velocidad y aceleración en un dado instante.