En el gráfico se representa la posición en función del tiempo de un ascensor. El sistema de referencia tiene su origen en planta baja y su sentido positivo es hacia arriba.
a) Si el ascensor sigue una trayectoria recta, ¿cómo es posible que su gráfico x(t) sea una curva?
La velocidad no es constante
b) ¿Dónde estaba el ascensor a los 2 segundos?
x(2s)
= 3 m
c) ¿En qué intervalo de tiempo ascendió?
Asciende en el intervalo (0 s; 4 s]
La pendiente de la recta tangente
(velocidad) es positiva à v > 0
Mientras ascendió, ¿lo hizo siempre del
mismo modo, o a veces lo hizo más rápido y a veces más lento? Justifique.
t = 0
la recta tangente es horizontal à v = 0
0 < t < 2 s
la curva x(t) es cóncava à a > 0
El ascensor está acelerando à
aumenta su velocidad
2 s ≤ t < 2,5 s
la curva x(t) es una recta à a = 0
à velocidad
constante
2,5 s ≤ t < 4 s
la curva x(t) es convexa à a <
0
El ascensor está frenando
à
disminuye su velocidad
t = 4 s
la recta tangente es horizontal à v = 0
d) Ídem c) para el movimiento de descenso.
Desciende en el intervalo [10 s; 14 s]
La pendiente de la recta tangente es
negativa à v < 0
t = 10 s
la recta tangente es horizontal à v = 0
10 s < t < 12 s
la curva x(t) convexa à a < 0
El ascensor está acelerando
à
aumenta su velocidad
12 s ≤ t < 12,5 s
la pendiente de la recta tangente es positiva à v > 0
la curva x(t) es una recta à a = 0 velocidad constante
12,5 s ≤ t < 14 s
la curva es convexa à a <
0
El ascensor está frenando
à
disminuye su velocidad
t = 14 s
la recta tangente es horizontal à v = 0
e) ¿En qué intervalo de tiempo estuvo detenido?
Detenido en el intervalo [4 s; 10 s]
f) ¿En qué intervalos su velocidad fue constante?
2 s ≤ t ≤ 2,5 s
la curva x(t) es una recta à a = 0
à velocidad
constante
12 s ≤ t ≤ 12,5 s
la pendiente de la recta tangente es positiva à v > 0
la curva x(t) es una recta à a = 0 velocidad constante
g) Calcule la máxima rapidez alcanzada.
Rapidez = | velocidad |
vmax = velocidad en el intervalo 2 s < t < 2,5
(entre los 0 s y los 2s es ascensor acelera)
vmax = distancia / tiempo = (4,5 m – 3 m) / (2,5 s – 2 s) = 3 m/s
vmin = velocidad en el intervalo 12 s < t < 12,5 (entre los 10 s y los 12s es ascensor acelera)
vmin = distancia / tiempo = (2,25 m – 3,75 m) / / 12,5 s – 12 s) = - 3 m/s
Rapidez max = máximo entre |vmax| y | vmin| = 3 m/s
h) Grafique la velocidad en función del tiempo, (en los tramos acelerados considere que la aceleración es constante).
Ecuaciones horarias
x = xo + vo (t – to) + 1/ 2 a (t – to)^2 (ecuación I)
v = vo + a (t – to) (ecuación II)
Donde
x = posición final
xo = posición
inicial
vo = velocidad
inicial
t = tiempo final
to = tiempo
inicial
a = aceleración
v = velocidad final
Cuadro de valores x, v y a en cada intervalo
|
|
x (m) |
xo (m) |
vo(m/s) |
to(s) |
t (s) |
v (m/s) |
a (m/s2) |
|
[ 0 ; 2s) |
3 |
0 |
0 |
0 |
2 |
(B) = 3 |
(A) = 1,5 |
|
[2s ; 2,5s) |
4,5 |
3 |
3 |
2 |
2,5 |
3 |
0 |
|
[2,5s ; 4s) |
6,75 |
4,5 |
3 |
2,5 |
4 |
0 |
( C) =- 2 |
|
[4s ; 10s) |
6,75 |
6,75 |
0 |
4 |
10 |
0 |
0 |
|
[ 10s ; 12s) |
3,75 |
6,75 |
0 |
10 |
12 |
( E)= -3 |
(D) = -1,5 |
|
[12s ; 12,5s) |
2,25 |
3,75 |
-3 |
12 |
12,5 |
-3 |
0 |
|
[12,5s ; 14 s] |
0 |
2,75 |
-3 |
12,5 |
14 |
0 |
(F) = 2 |
(A)
Reemplazando en (I)
3 m = 0 m + 0 m/s (2s – 0 s) + 1/ 2 a (2s
– 0 s)^2
Despejando a
a = 3 m * 2 / (2s)^2 = 1,5 m/s2
(B)
Reemplazando en (II)
v = 0 m/s + 1,5 m/s2 (2s – 0 s) = 3 m/s
( C)
Reemplazando en (II)
0 m/s = 3 m/s + a (4s – 2,5s)
Despejando a
a = - 3m/s / (4s – 2,5s) = -2 m/s2
(D)
Reemplazando en (I)
3,75 m = 6,75 m + 0 m/s (12 s – 10 s) + 1/
2 a (12s – 10 s)^2
Despejando a
a = (3,75 m – 6,75 m) *2 / (12s – 10 s)^2
= -1,5 m/s2
( E)
Reemplazando en (II)
v = 0 m/s – 1,5 m/s2 (12s – 10
s) = - 3 m/s
(F)
Reemplazando en (II)
0 = - 3 m/s + a (14s – 12,5 s)
Despejando a
a = 3 m/s / (14s – 12,5 s) = 2 m/s2
Cuadro de velocidad para cada intervalo
(resumen del cuadro de x, v y a)
|
|
v(t) |
|
[ 0 ; 2s) |
1,5 m/s2 t |
|
[2s ; 2,5s) |
3 m/s |
|
[2,5s ; 4s) |
3m/s – 2 m/s2
(t – 2,5s) |
|
[4s ; 10s) |
0 m/s |
|
[ 10s ; 12s) |
-1,5 m/s2
(t – 10s) |
|
[12s ; 12,5s) |
-3 m/s |
|
[12,5s ; 14 s] |
-3m/s + 2 m/s2
( t – 12,5s) |
i) ¿En qué intervalo la velocidad es positiva? ¿En qué intervalo negativa? ¿Qué significa?
0 s < t < 4 s à v > 0 à ascensor asciende
10 s < t < 14 s à v < 0 à ascensor desciende
j) ¿Qué significado físico tiene el área bajo la curva v(t)?
Δx = x – xo = área bajo la curva v(t) en
el intervalo
Haciendo uso de eso, calcule la posición del ascensor a los 11 segundos.
v(11s) = -1,5 m/s2 (11s – 10s) = -1,5 m/s
Δx = triangulo azul + rectángulo amarillo + triangulo verde +
triangulo rojo = 3 m/s * 2 s/2 + 3m/s (2,5 s – 2 s) + 3 m/s (4s – 2,5 s) /2 + (-1.5
m/s) (11 s – 10s) / 2 = 6 m
x(11s) = x(0s) + Δx = 0 m + 6 m = 6 m
k) Grafique la aceleración del ascensor en función del tiempo.
Cuadro de aceleración para cada intervalo
(resumen del cuadro de x, v y a)
|
|
a(t) |
|
[ 0 ; 2s) |
1,5
m/s2 |
|
[2s ; 2,5s) |
0 |
|
[2,5s ; 4s) |
– 2 m/s2
|
|
[4s ; 10s) |
0 |
|
[ 10s ; 12s) |
-1,5 m/s2 |
|
[12s ; 12,5s) |
0 |
|
[12,5s ; 14 s] |
2 m/s2 |
2,5 s ≤ t < 4 s
y 10 s ≤ t < 12 s à a
< 0
m) ¿Cómo puede conocer el signo de la aceleración mirando el gráfico x(t)?
La concavidad de la curva x(t):
cóncava
à a > 0
convexa à a < 0
¿Y si mira solo el gráfico v(t)?
La pendiente de la recta tangente a la
curva v(t)
Pendiente positiva à a > 0
Pendiente negativa à a < 0
n) ¿En qué intervalos el ascensor aumenta su rapidez? ¿En cuales disminuye su rapidez?
Justifique.
|
intervalo |
|
Rapidez |
|
0 s ≤ t <
2 s |
.v > 0 a
> 0 |
= signo à aumenta |
|
2,5 s ≤ t
< 4 s |
.v > 0 a <
0 |
≠ signo à disminuye |
|
10 s ≤ t < 12 s |
.v < 0 a
< 0 |
= signo à aumenta |
|
12,5 s ≤ t < 14 s |
.v < 0 a
> 0 |
≠ signo à disminuye |
Δv = v – vo = área bajo la curva del gráfico a(t) en el
intervalo
Haciendo uso de esto, calcule la velocidad del ascensor a los 3 segundos.
Variación de la velocidad =
área azul + área gris = 1,5 m/s2 * 2 s + (- 2 m/s2) * (3 s – 2 ,5s) = 2 m/s
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